2016东城区高三数学文期末试题及答案

东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 （文科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1） C （2）C （3）D （4）A （5）B （6）B （7）C （8）D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 5 4 （10） 5 （11） 25 （12） 4 （13） 10 （14） 64 2 511 2 4 注：两个空的填空题第一个空填对得 3 分，第二个空填对得 2 分． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（Ⅰ）设数列{ }na 的公差为 d ，由题意知 2 3 10a a  ，即 12 +3 10a d  ， 由 1 2a  ，解得 2d  . 所以 2 2( 1) 2na n n    ，即 2na n , n N . ………………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 2(2 2 ) 2n n nS n n   ，所以 2 kS k k  . 又 3 2 3 6a    ， 1 2( 1)ka k   ， 由已知可得 2 1 3k ka a S  ，即 2 2(2 2) 6( )k k k   ， 整理得 2 2 0k k   ， *k  N . 解得 1k   （舍去）或 2k  . 故 2k  . ………………………………13 分 （16）（共 13 分） 解：（Ⅰ）由表格可知， ( )f x 的周期 ( )2 2T       ， 所以 2 2   . 又由  sin 2 0 1   ，且 0 2   ，所以 2   . 所以 ( ) sin(2 ) cos22f x x x   . ………………………………6 分 （Ⅱ） 2( ) ( ) 2sin cos2 2sin 1 2sin 2sing x f x x x x x x       21 32(sin )2 2x    . 由sin [ 1,1]x  ，所以当 1sin 2x  时， ( )g x 有最大值 3 2 ； 当 sin 1x   时， ( )g x 有最小值 3 . ………………………………13 分 （17）（共 13 分）w!w!w.!x!k!b!1.com 解：（Ⅰ）由题可知，第 2 组的频数为 0.35 100 35  人，第3组的频率为 30 0.300100  . 即①处的数据为35，②处的数据为 0.300 . ………………………………3 分 （Ⅱ）因为第3，4 ，5组共有 60 名学生,所以利用分层抽样,在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组 分别为: 第3组: 30 6 360   人；第 4 组: 20 6 260   人；第5组: 10 6 160   人. 所以第3， 4 ，5组分别抽取3人， 2 人，人. ………………………………6 分 （Ⅲ）设第3组的3位同学为 1A ， 2A ， 3A ，第 4 组的 2 位同学为 1B ， 2B ，第5组的位同学为 1C ， 则从 6 位同学中抽两位同学有15 种可能，分别为: 1 2( , )A A ， 1 3( , )A A ， 1 1( , )A B ， 1 2( , )A B ， 1 1( , )A C ， 2 3( , )A A ， 2 1( , )A B ， 2 2( , )A B ， 2 1( , )A C ， 3 1( , )A B ， 3 2( , )A B ， 3 1( , )A C ， 1 2( , )B B ， 1 1( , )B C ， 2 1( , )B C . 其中第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的有: 1 1( , )A B ， 1 2( , )A B ， 2 1( , )A B ， 2 2( , )A B ， 3 1( , )A B ， 3 2( , )A B ， 1 1( , )B C ， 2 1( , )B C ， 1 2( , )B B 9种可能. 所以第 4 组的两位同学至少有一位同学被选中的概率 P  9 3 15 5  . ……………………… 13 分 （18）（共 13 分） 证明：（Ⅰ）因为CD  平面 ADE ， AE  平 面 ADE ， 所以CD AE . 又因为 AE DE ， CD DE D , 所 以 AE  平 面 CDE . 又因为 AE  平面 ACE ， 所以平面 ACE  平面 CDE . ………………………………7 分 （Ⅱ）在线段 DE 上存在一点 F ,且 1 3 EF ED  ，使 AF  平面 BCE . 设 F 为线段 DE 上一点, 且 1 3 EF ED  . 过点 F 作 FM  CD 交CE 于 M ，则 1 3FM CD . 因为CD  平面 ADE , AB  平面 ADE ， 所以CD AB . 又 FM  CD ， 所 以 FM AB . 因 为 3CD AB ， 所以 FM AB . 所以四边形 ABMF 是平行四边形. 所以 AF BM . 又因为 AF  平面 BCE ， BM  平面 BCE ， 所 以 AF  平面 BCE . ………………………………13 分 （19）（共 14 分） 解：（Ⅰ）当 1a  时， ( ) e xf x x  ， ( ) 1 e xf x   .x.k.b.1 当 0x  时， 1y   ，又 (0) 0f   ， 所 以 曲 线 ( )y f x 在 点 (0 , (0))f 处 的 切 线 方 程 为 1y   . ………………………………4 分 A B C E D F M （Ⅱ）由 ( ) e xf x x a  ，得 ( ) 1 e xf x a   . 当 0a  时， ( ) 0f x  ，此时 ( )f x 在 R 上单调递增. 当 x a 时， ( ) e (1 e ) 0a af a a a a     ，当 1x  时， (1) 1 e > 0f a  ， 所以当 0a  时，曲线 ( )y f x 与 x 轴有且只有一个交点； …………………8 分 当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，得 lnx a  . ( )f x 与 ( )f x 在区间 ( , )  上的情况如下： x ( , ln )a  ln a ( ln , )a  ( )f x  0  ( )f x  极大值  若曲线 ( )y f x 与 x 轴有且只有一个交点， 则有 ( ln ) 0f a  ，即 lnln e 0aa a    .解得 1 ea  . 综上所述，当 0a  或 1 ea  时，曲线 ( )y f x 与 x 轴有且只有一个交点. ………………… 12 分 （Ⅲ）曲线 ( ) e xf x x a  与曲线 3( )g x x 最多有3 个交点. ………………… 14 分 （20）（共 14 分） 解：(Ⅰ)由椭圆过点 (0 2)， ，则 2b  . 又 3 2a b  ， 故 2 2a  . 所以椭圆C 的方程为 128 22  yx . ………………………………4 分 (Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是 1: 22l y x  ， 由 2 2 1 22 18 2 y x x y       ， 解得 1 1 0 2 x y   ， ，或 2 2 2 2, 0. x y     故 2 12 1 k ， 2 12 2 k . ………………………………8 分 ② 21 kk  为定值，且 021  kk . 设直线的方程为 mxy  2 1 . 由 2 2 1 2 18 2 y x m x y       ， 消 y ，得 0422 22  mmxx . 当 01684 22  mm ，即 22  m 时，直线与椭圆交于两点. 设 ),( 11 yxA . ),( 22 yxB ,则 1 2 2x x m   ， 42 2 21  mxx . 又 2 1 1 1 1   x yk ， 2 1 2 2 2   x yk ， 故 2 1 2 1 2 2 1 1 21    x y x ykk  )2)(2( )2)(1()2)(1( 21 1221   xx xyxy . 又 mxy  11 2 1 ， mxy  22 2 1 ， 所以 )2)(1()2)(1( 1221  xyxy )2)(12 1()2)(12 1( 1221  xmxxmx )1(4))(2( 2121  mxxmxx 0)1(4)2)(2(42 2  mmmm . 故 021  kk . ………………………………14