2016朝阳区高三文科数学期末试题及答案

开始 m =1, i=1 m=m (2-i)+1 i= i +1 m=0? 结束 输出 i 是 否 北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文史类） 2016.1 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 { 1,0,1}, { 1 1}A B x x      ，则 A BI = A．{0,1} B．{ 1,0} C．{0} D．{ 1,0,1} 2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是 A． ( )f x x B． 1( )f x x  C． ( ) exf x  D． ( ) sinf x x 3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为 A．3 B． 4 C．5 D．6 第 3 题图 4．在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统 计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h～120km/h，试 估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 80 90 100 110 120 130 车速（km/h） 频率 组距 0.005 0.010 0.020 0.030 0.035 A．30辆 B． 300辆 C．170 辆 D．1700 辆 第 4 题图 5. 已知 m，n 表示两条不同的直线， ， 表示两个不同的平面，且 m n  ， ,则下列说法正 确的是 A．若 / /  ，则 / /m n B．若 m  ，则  C．若 / /m  ，则 / /  D．若  ，则 m n 6.设斜率为 2 的直线l 过抛物线 2 ( 0)y ax a  的焦点 F,且与 y 轴交于点 A ,若 OAF （O 为坐标原 点）的面积为 4,则抛物线方程为 A. 2 4y x  B. 2 4y x C. 2 8y x  D. 2 8y x 7. 已知 BA, 为圆 9)()(: 22  nymxC ( ,m nR )上两个不同的点（ C 为圆心），且满足 13||  CBCA ，则 AB A. 23 B. 23 2 C. 2 D. 4 8. 设函数 ( )f x 的定义域为 D ，如果存在正实数 m ，使得对任意 x D ，当 x m D  时，都有 ( ) ( )f x m f x  ，则称 ( )f x 为 D 上的“ m 型增函数”.已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数， 且当 0x  时， ( )f x x a a   （ aR ），若 ( )f x 为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值 范围是 A. 0a  B. 20a  C. 10a  D. 5a  第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.计算:i(1 i)  (i 为虚数单位). 10. 双曲线 2 2 13 yx   的渐近线方程为 . 11. 在 ABC 中，若 1BC  ， 2AC  ， 1cos 4C  ，则 AB  ,sin A  . 12．已知正数 x ， y 满足约束条件      053 02 yx yx ，则 21( )2 x yz  的最小值为 . 13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ，侧面积为 . 第 13 题图 14. 在 ABC 中， AB AC ， D 为线段 AC 的中点，若 BD 的长为定值l ，则 ABC 面积的最大 值为 （用l 表示）. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分 13 分） 已知数列{ }na 是等差数列，数列{ }nb 是各项均为正数的等比数列，且 1 1 3a b  ， 2 2 14a b  ， 3 4 5 3a a a b   ． （Ⅰ）求数列{ }na 和{ }nb 的通项公式； （Ⅱ）设 *,n n nc a b n  N ，求数列{ }nc 的前 n 项和． 16. （本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) cos 3sin cosf x x x x a   的图象过点 ( ,1)6  . （Ⅰ）求实数 a 的值及函数 ( )f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 ( )f x 在[0, ]2  上的最小值. 3 4 3 正视图 侧视图 俯视图 17. （本小题满分 13 分） 某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选 1 名男同学和 1 名女同学，组成社区服务小组．现 从这个社区服务小组的 6 名同学中随机选取 2 名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每 位同学被选到的可能性相同）． （Ⅰ）求选出的 2 人都是女同学的概率； （Ⅱ）设 “选出的 2 人来自不同年级且是 1 名男同学和 1 名女同学”为事件 N，求事件 N 发生的 概率． 18. （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形．点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与 棱 PD 交于点 F ． （Ⅰ）求证： AB ∥ EF ； （Ⅱ）若 PA AD ，且平面 PAD  平 面 ABCD ，试证明 AF  平面 PCD ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段 PB 上是否存在点 M ,使得 EM  平面 PCD ?（直接给出结论，不 需要说明理由） 19. （本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) (2 1)ln 2kf x k x xx     ， k R . （Ⅰ）当 1k  时，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当 ek  时，试判断函数 ( )f x 是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数 ( )f x 的单调区间. 20. （本小题满分 14 分） 已知圆 :O 2 2 1x y  的切线l 与椭圆 :C 2 23 4x y  相交于 A ， B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证:OA OB ； （Ⅲ）求 OAB 面积的最大值. 北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高三年级统一考试 数学答案（文史类） 2016.1 一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D B C A D 二、填空题：（满分 30 分） 题号 9 10 11 12 13 14 答案 1 i 3y x  2 , 15 8 1 16 12 , 27 22 3 l （注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题：（满分 80 分） 15. （本小题满分 13 分） 解:（Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d ，等比数列 nb 的公比为 q ，且 0q  . 依题意有， 1 1 2 1 1 14, 3( 3 ) . a d b q a d b q      由 1 1 3a b  ,又 0q  ， 解得 3, 2. q d    所以 1 ( 1) 3 2( 1) 2 1, 2 1n na a n d n n a n         即 , n N . 1 1 1 3 3 3n n n nb b q      , n N . ………………………………………7 分 （Ⅱ）因为 2 1 3 ,n n n nc a b n     所以前 n 项和 1 2 1 2( ) ( )n n nS a a a b b b         1 2(3 5 2 1) (3 3 3 )nn          (3 2 1) 3(1 3 ) 2 1 3 nn n     3( 2) (3 1).2 nn n    所以前 n 项和 *3( 2) (3 1),2 n nS n n n    N ．………………………………13 分 16. （本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）由 2( ) cos 3sin cosf x x x x a   1 cos2 3sin 2 2 2 x x a   1sin(2 )6 2x a    . 因为函数 ( )f x 的图象过点 ( ,1)6  ， 所以 1( ) sin(2 ) 16 6 6 2f a        .解得 1 2a   . 函数 ( )f x 的最小正周期为  . …………………………………………………………7 分 （Ⅱ）因为 0 2x   ，所以 2x       . 则 sin(2 )x      . 所以当 2x     ，即 x   时，函数 ( )f x 在[0, ]2  上的最小值为 1 2  . ……………13 分 17.（本小题满分 13 分） 解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为 A，B，C，女同学分别记为 X，Y，Z． 从 6 名同学中随机选出 2 人参加活动的所有基本事件为： {A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}， {C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共 15 个． ……………4 分 （Ⅰ）设“选出的 2 人都是女同学”为事件 M， 则事件 M 包含的基本事件有{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共 3 个， 所以，事件 M 发生的概率 3 1( ) 15 5P M   ．……………………………………8 分 （Ⅱ）事件 N 包含的基本事件有 {A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共 6 个， 所以，事件 N 发生的概率 6 2( ) 15 5P N   ． ……………………………………13 分 18. （本小题满分 14 分） （Ⅰ）证明：因为底面 ABCD 是正方形， 所以 AB ∥CD ． 又因为 AB  平面 PCD，CD  平面 PCD ， 所以 AB ∥平面 PCD ． 又因为 , , ,A B E F 四点共面，且平面 ABEF  平面 PCD EF ， 所以 AB ∥ EF ．……………………5 分 （Ⅱ）在正方形 ABCD 中，CD AD ． 又因为平面 PAD  平面 ABCD ， 且平面 PAD  平面 ABCD AD ， 所以CD  平面 PAD ． 又 AF  平面 PAD 所以CD AF ． 由（Ⅰ）可知 AB ∥ EF ， 又因为 AB ∥CD ,所以 CD ∥ EF .由点 E 是棱 PC 中点，所以点 F 是棱 PD 中点． 在△ PAD 中，因为 PA AD ，所以 AF PD ． 又因为 PD CD D ，所以 AF  平面 PCD．…………………………………11 分 （Ⅲ）不存在． …………………………………………………………14 分 19. （本小题满分 13 分） 解：函数 ( )f x 的定义域： ),0( x . 22 2 2 )12)(()12(2212)( x xkx x kxkx x k x kxf  . （Ⅰ）当 1k  时， xxxxf 21ln)(  . 2 )12)(1()( x xxxf  . 有 3211ln)1( f ，即切点（1,3）， 21 )12)(11()1( 2  fk . 所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处切线方程是 )1(23  xy ， 即 12  xy .………………………………………………………………………4 分 （Ⅱ）若 ek  ， e( ) (2e 1)ln 2f x x xx     . 2 ( e)(2 1)( ) x xf x x    . 令 0)(  xf ，得 1 ex   （舍）， 2 1 2 x . 则 min 1 1 e 1( ) ( ) (2e 1)ln 2 2(1 ln 2)e ln 2 1 012 2 2 2 f x f           . 所以函数 ( )f x 不存在零点. ………………………………………………………8 分 （Ⅲ） 2 )12)(()( x xkxxf  . 当 0 k ，即 0k 时， 当 2 10  k ，即 02 1  k 时， x ),0( k k )2 1,( k 1 2 ),2 1(  )(xf  ＋ 0 － 0 ＋ )(xf ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当 2 1 k ，即 2 1k 时， x )2 1,0( 1 2 ),2 1(  )(xf  － 0 ＋ )(xf ↘ 极小值 ↗ x )2 1,0( 1 2 ),2 1(  )(xf  － 0 ＋ )(xf ↘ 极小值 ↗ x )2 1,0( ),2 1(  )(xf  ＋ ＋ )(xf ↗ ↗ 当 2 1 k ，即 2 1k 时， 综 上 ， 当 0k 时， )(xf 的单调增区间是 ),2 1(  ;减区间是 )2 1,0( . 当 02 1  k 时， )(xf 的单调增区间是 ),0( k , ),2 1(  ;减区间是 )2 1,( k . 当 2 1k 时， )(xf 的单调增区间是 ),0(  ; 当 2 1k 时， )(xf 的单调增区间是 )2 1,0( ， ),( k ; 减区间是 ),2 1( k . ……………………………13 分 20. （本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由题意可知 2 4a  ， 2 4 3b  ，所以 2 2 2 8 3c a b   ． 所以 6 3 ce a   ．所以椭圆C 的离心率为 6 3 ． …………………………3 分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则 : 1l x   ． 在 2 23 14 4 x y  中令 1x  得 1y   ． 不妨设 (1,1), (1, 1)A B  ，则 1 1 0OA OB     ．所以OA OB ． 同理，当 : 1l x   时，也有OA OB ． 若切线l 的斜率存在，设 :l y kx m  ，依题意 2 1 1 m k   ，即 2 21k m  ． 由 2 23 4 y kx m x y      ，得 2 2 2(3 1) 6 3 4 0k x kmx m     ．显然 0  ． 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ,则 1 2 2 6 3 1 kmx x k     ， 2 1 2 2 3 4 3 1 mx x k   ． 所以 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x m       . x )2 1,0( 1 2 ),2 1( k k ),( k )(xf  ＋ 0 － 0 ＋ )(xf ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 1 2 1 2OA OB x x y y    2 2 1 2 1 2( 1) ( )k x x km x x m     2 2 2 2 2 3 4 6( 1) 3 1 3 1 m kmk km mk k      2 2 2 2 2 2 2 ( 1)(3 4) 6 (3 1) 3 1 k m k m k m k       2 2 2 4 4 4 3 1 m k k    2 2 2 4( 1) 4 4 03 1 k k k     ． 所以OA OB ． 综上所述，总有OA OB 成立． ………………………………………………9 分 （Ⅲ）因为直线 AB 与圆 O 相切，则圆 O 半径即为 OAB 的高. 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知 2AB  ．则 1OABS  . 当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知， 2 2 1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]AB k x x x x    2 2 2 2 2 6 3 41 ( ) 43 1 3 1 km mk k k       2 2 2 2 2 2 2 1 9 (3 4)(3 1)3 1 k k m m kk      2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 112 3 4 12 3( 1) 43 1 3 1 k kk m k kk k            2 2 2 2 1 9 13 1 k kk    ． 所以 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4(1 )(9 1) 4(9 10 1) 44(1 )(3 1) 9 6 1 9 6 1 k k k k kAB k k k k k            2 4 2 2 2 16 4 164 16 4 419 6 1 3 39 6 k k k k k            （当且仅当 3 3k   时，等号成立）． 所以 max 4 3 3AB  ．此时, max 2 3(S ) 3OAB  . 综上所述，当且仅当 3 3k   时， OAB 面积的最大值为 2 3 3 ．…………14 分