开始
m =1, i=1
m=m (2-i)+1
i= i +1
m=0?
结束
输出 i
是
否
北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（理工类） 2016．1
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1．已知集合 | 1 1M x x ， | 01
xN x x
，则 M N
A． | 0 1x x B． | 0 1x x C． | 0x x D． | 1 0x x
2．复数 i(1 i)z （i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为
A． (1,1) B． ( 1, 1) C．(1, 1) D． ( 1,1)
3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为
A． 3 B． 4 C．5 D．6
第 3 题图
4．在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统
计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h～120km/h，试
估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有
80 90 100 110 120 130 车速（km/h）
频率
组距
0.005
0.010
0.020
0.030
0.035
A．30辆 B．300辆
C．170 辆 D．1700 辆
4 题图
5．“ 1a ”是“函数 ( ) cosf x a x x 在 R 上单调递增”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6． 已知点 )0,22(Q 及抛物线 2 4x y 上一动点 ( , )P x y ，则 y PQ 的最小值是
A． 1
2 B．1 C． 2 D． 3
7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是
A．27 B．30
C．32 D．36
第 7 题图
8．设函数 ( )f x 的定义域 D ，如果存在正实数 m ，使得对任意 x D ，都有 ( ) ( )f x m f x ，则
称 ( )f x 为 D 上的“ m 型增函数”．已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 0x 时，
( )f x x a a （ aR ）．若 ( )f x 为 R 上的“20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是
A． 0a B． 5a C． 10a D． 20a
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．
3
4
3
正视图 侧视图
俯视图
9．函数 2sin(2 ) 16y x 的最小正周期是 ，最小值是 ．
10．若 x ， y 满足约束条件
2
2 1
1
x y
x y
y
≤ ，
≥ ，
≤ ，
则 z x y 的最大值为 ．
11．在各项均为正数的等比数列{ }na 中，若 2 2a = ，则 1 32a a+ 的最小值是 ．
12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不
与老师相邻，则不同站法种数为 ．
13．已知 BA, 为圆 9)()(: 22 nymxC ( ,m nR )上两个不同的点（C 为圆
心），且满足| | 2 5CA CB ，则 AB ．
14．已知点O 在 ABC 的内部，且有 xOA yOB zOC 0
，记 , ,AOB BOC AOC 的面积分
别 为 AOB BOC AOCS S S ， ， ． 若 1x y z ， 则 : :AOB BOC AOCS S S ； 若
2, 3, 4x y z ，则 : :AOB BOC AOCS S S ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分 13 分）
某中学高一年级共 8 个班，现从高一年级选 10 名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选
取 3 名同学，其它各班各选取 1 名同学．现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到社区老年中心参
加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（Ⅰ）求选出的 3 名同学来自不同班级的概率；
（Ⅱ）设 X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望．
16．（本小题满分 13 分）
如图，在 ABC 中，点 D 在 BC 边上， 7,4 2CAD AC ， 2cos 10ADB ．
（Ⅰ）求 sin C 的值；
（Ⅱ）若 5,BD 求 ABD 的面积．
17．（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面
A
DB C
ABCD 是菱形，且 60DAB ．点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F ．
（Ⅰ）求证： AB ∥ EF ；
（Ⅱ）若 PA PD AD ，且平面 PAD 平面 ABCD ，
求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值．
18．（本小题满分 14 分）
已知函数 ( ) lnf x ax x ,其中 aR ．
（Ⅰ）若 ( )f x 在区间[1,2] 上为增函数，求 a 的取值范
围；
（Ⅱ）当 ea 时，（ⅰ）证明： ( ) 2 0f x ；
（ⅱ）试判断方程 ln 3( ) 2
xf x x
是否有实数解，并说明理由．
19．（本小题满分 14 分）
已知圆 :O 2 2 1x y 的切线l 与椭圆 :C 2 23 4x y 相交于 A ， B 两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）求证：OA OB ；
（Ⅲ）求 OAB 面积的最大值.
20．（本小题满分 13 分）
已知有穷数列： *
1 2 3, , , , ( , 3)ka a a a k k N 的各项均为正数，且满足条件：
① 1 ka a ；② 1
1
2 12 ( 1,2,3, , 1)n n
n n
a a n ka a
．
（Ⅰ）若 13, 2k a ，求出这个数列；
（Ⅱ）若 4k ，求 1a 的所有取值的集合；
（Ⅲ）若 k 是偶数，求 1a 的最大值（用 k 表示）．
北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高三年级统一考试
数学答案（理工类） 2016．1
一、选择题：（满分 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B D A C A B
二、填空题：（满分 30 分）
题号 9 10 11 12 13 14
答案 π ， 1 4 4 2 12 4 1:1:1 4 : 2 :3
（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）
三、解答题：（满分 80 分）
15．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）设“选出的 3 名同学来自不同班级”为事件 A，则
1 2 0 3
3 7 3 7
3
10
49( ) .60
C C C CP A C
所以选出的 3 名同学来自班级的概率为 49
60
． ……………………………5 分
（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能值为 0，1，2，3，则
0 3
3 7
3
10
7( 0) 24
C CP X C
；
1 2
3 7
3
10
21( 1) 40
C CP X C
；
2 1
3 7
3
10
7( 2) 40
C CP X C
；
3 0
3 7
3
10
1( 3) 120
C CP X C
．
所以随机变量 X 的分布列是
X 0 1 2 3
P 7
24
21
40
7
40
1
120
随机变量 X 的数学期望
7 21 7 1 9( ) 0 1 2 324 40 40 120 10E X ． …………………………13 分
16．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）因为 2cos 10ADB ，所以 7 2sin 10ADB ．
又因为
4CAD ，所以
4C ADB ．
所以 sin sin( ) sin cos cos sin4 4 4C ADB ADB ADB
7 2 2 2 2 4
10 2 10 2 5
． ………………………7 分
（Ⅱ）在 ACD 中，由
ADC
AC
C
AD
sinsin
，得
7 4
sin 2 5 2 2sin 7 2
10
AC CAD ADC
．
所以 1 1 7 2sin 2 2 5 72 2 10ABDS AD BD ADB ． …………13 分
17．（本小题满分 13 分）
（Ⅰ）证明：因为底面 ABCD 是菱形，所以 AB ∥CD ．
又因为 AB 面 PCD，CD 面 PCD，所以 AB ∥面 PCD．
又因为 , , ,A B E F 四点共面，且平面 ABEF 平面 PCD EF ，
所以 AB ∥ EF ． ………………………5 分
（Ⅱ）取 AD 中点G ，连接 ,PG GB ．
因为 PA PD ，所以 PG AD ．
又因为平面 PAD 平面 ABCD ，
且平面 PAD 平面 ABCD AD ，
所以 PG 平面 ABCD ．所以 PG GB ．
在菱形 ABCD 中，因为 AB AD ，
60DAB ，G 是 AD 中点，
所以 AD GB ．
如图，建立空间直角坐标系G xyz ．设 2PA PD AD a ，
则 (0,0,0), ( ,0,0)G A a ，
(0, 3 ,0), ( 2 , 3 ,0), ( ,0,0), (0,0, 3 )B a C a a D a P a ．
又因为 AB ∥ EF ，点 E 是棱 PC 中点，所以点 F 是棱 PD 中点．所以 3 3( , , )2 2
a aE a ，
3( ,0, )2 2
a aF ．所以 3 3( ,0, )2 2
a aAF ， 3( , ,0)2 2
a aEF ．
设平面 AFE 的法向量为 ( , , )x y zn ，则有 0,
0.
AF
EF
n
n
所以
3 ,
3 .3
z x
y x
令 3x ，则平面 AFE 的一个法向量为 (3, 3,3 3)n ．
因为 BG 平面 PAD ，所以 (0, 3 ,0)GB a 是平面 PAF 的一个法向量．
因为 3 13cos , 1339 3
GB a< GB >
aGB
nn
n
，
所以平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值为 13
13
． ……………………13 分
18．（本小题满分 14 分）
解：函数 ( )f x 定义域 ),0( x ， 1( )f x a x
．
（Ⅰ）因为 ( )f x 在区间[1,2] 上为增函数，所以 ( ) 0f x 在 [1,2]x 上恒成立，
即 1( ) 0f x a x
， 1a x
在 [1,2]x 上恒成立，
则 1 .2a ………………………………………………………4 分
（Ⅱ）当 ea 时， ( ) e lnf x x x , e 1( ) xf x x
．
（ⅰ）令 0)( xf ，得 1
ex ．
令 ( ) 0f x ,得 1(0, )ex ，所以函数 )(xf 在 1(0, )e
单调递增．
令 ( ) 0f x ,得 1( , )ex ，所以函数 )(xf 在 1( , )e
单调递减．
所以， max
1 1 1( ) ( ) e ln 2e e ef x f ．
所以 ( ) 2 0f x 成立． …………………………………………………9 分
（ⅱ）由（ⅰ）知， max( ) 2f x ， 所以 2|)(| xf ．
设 ln 3( ) , (0, ).2
xg x xx
所以 2
ln1)(
x
xxg ．
令 0)( xg ，得 ex ．
令 ( ) 0g x ,得 (0,e)x ，所以函数 )(xg 在(0,e) 单调递增，
令 ( ) 0g x ,得 (e, )x ，所以函数 )(xg 在 (e, ) 单调递减；
所以， max
lne 3 1 3( ) (e) 2e 2 e 2g x g ， 即 2)( xg ．
所以 )(|)(| xgxf ，即 |)(| xf ln 3
2
x
x
．
所以，方程 |)(| xf ln 3
2
x
x
没有实数解． ……………………………14 分
19．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由题意可知 2 4a ， 2 4
3b ，所以 2 2 2 8
3c a b ．
所以 6
3
ce a
．所以椭圆C 的离心率为 6
3
． …………………………3 分
（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则 : 1l x ．
在
2 23 14 4
x y 中令 1x 得 1y ．
不妨设 (1,1), (1, 1)A B ，则 1 1 0OA OB ．所以OA OB ．
同理，当 : 1l x 时，也有 OA OB ．
若切线l 的斜率存在，设 :l y kx m ，依题意
2
1
1
m
k
，即 2 21k m ．
由 2 23 4
y kx m
x y
，得 2 2 2(3 1) 6 3 4 0k x kmx m ．显然 0 ．
设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ,则 1 2 2
6
3 1
kmx x k
，
2
1 2 2
3 4
3 1
mx x k
．
所以 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y kx m kx m k x x km x x m .
所以 1 2 1 2OA OB x x y y 2 2
1 2 1 2( 1) ( )k x x km x x m
2
2 2
2 2
3 4 6( 1) 3 1 3 1
m kmk km mk k
2 2 2 2 2 2
2
( 1)(3 4) 6 (3 1)
3 1
k m k m k m
k
2 2
2
4 4 4
3 1
m k
k
2 2
2
4( 1) 4 4 03 1
k k
k
．
所以OA OB ．
综上所述，总有OA OB 成立． ………………………………………………9 分
（Ⅲ）因为直线 AB 与圆 O 相切，则圆 O 半径即为 OAB 的高，
当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知 2AB ．
则 1OABS .
当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，
2 2
1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]AB k x x x x
2
2 2
2 2
6 3 41 ( ) 43 1 3 1
km mk k k
2
2 2 2 2
2
2 1 9 (3 4)(3 1)3 1
k k m m kk
2 2
2 2 2 2
2 2
2 1 2 112 3 4 12 3( 1) 43 1 3 1
k kk m k kk k
2
2
2
2 1 9 13 1
k kk
．
所以
2 2 4 2 2
2
2 2 4 2 4 2
4(1 )(9 1) 4(9 10 1) 44(1 )(3 1) 9 6 1 9 6 1
k k k k kAB k k k k k
2
4 2
2
2
16 4 164 16 4 419 6 1 3 39 6
k
k k k k
（当且仅当 3
3k 时，等
号成立）．所以 4 3
3AB ．此时, max
2 3(S ) 3OAB .
综上所述，当且仅当 3
3k 时， OAB 面积的最大值为 2 3
3
．…………………14 分
20．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）因为 13, 2k a ，由①知 3 2a ；
由②知， 2 1
2 1
1 22 3a aa a
，整理得， 2
2 22 3 1 0a a ．解得， 2 1a 或 2
1
2a ．
当 2 1a 时，不满足 2 3
2 3
2 12a aa a
，舍去；
所以，这个数列为 12, ,22
． …………………………………………………3 分
（Ⅱ）若 4k ，由①知 4a 1a ．
因为 1
1
2 12 ( 1,2,3)n n
n n
a a na a
，所以 1
1
1( 2 )(1 ) 0n n
n n
a a a a
．
所以 1
1
2n na a 或 1
1 ( 1,2,3)n
n
a na ．
如果由 1a 计算 4a 没有用到或者恰用了 2 次 1
1
n
n
a a ，显然不满足条件；
所以由 1a 计算 4a 只能恰好 1 次或者 3 次用到 1
1
n
n
a a ，共有下面 4 种情况：
（1）若 2
1
1a a
， 3 2
1
2a a ， 4 3
1
2a a ，则 4 1
1
1
4a aa
，解得 1
1
2a ；
（2）若 2 1
1
2a a ， 3
2
1a a
， 4 3
1
2a a ，则 4 1
1
1a aa
，解得 1 1a ；
（3）若 2 1
1
2a a ， 3 2
1
2a a ， 4
3
1a a
，则 4 1
1
4a aa
，解得 1 2a ；
（4）若 2
1
1a a
， 3
2
1a a
， 4
3
1a a
，则 4 1
1
1a aa
，解得 1 1a ；
综上， 1a 的所有取值的集合为 1{ ,1,2}2
． ………………………………………………8 分
（Ⅲ）依题意，设 *2 , ,m 2k m m N ．由（II）知， 1
1
2n na a 或 1
1 ( 1,2,3, 2 1)n
n
a n ma ．
假设从 1a 到 2ma 恰用了i 次递推关系 1
1
n
n
a a ，用了 2 1m i 次递推关系 1
1
2n na a ，
则有 ( 1)
2 1
1( )2
it
ma a ，其中 2 1 ,t m i t Z ．
当i 是偶数时， 0t ， 2 1 1
1( )2
t
ma a a 无正数解，不满足条件；
当i 是奇数时，由 1
2 1 1
1( ) , 2 1 2 22
t
ma a a t m i m 得 2 2 2
1
1( ) 22
t ma ，
所以 1
1 2ma ．
又当 1i 时，若 2 1 3 2 2 1 2 2 2
2 1
1 1 1 1, , , ,2 2 2m m m
m
a a a a a a a a
，
有 2 2
2 1 1
1( )2
m
ma a
，
2 2
2 1
1
2 m
ma aa
，即 1
1 2ma ．
所以， 1a 的最大值是 12m ．即 12
1 2
k
a
．…………………………………13 分
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