海淀区高三年级第一学期期中练习
数学（文科） 2015.11
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．已知集合 P { ｜ - ≤0}，M {0,1,3,4}，则集合 P M 中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列函数中为偶函数的是
A． B． | | C． D．
3．在 中，∠A 60°，| | 2，| | 1，则 的值为
A． B．- C．1 D．-1
4．数列{ }的前 项和 ，若 － 2 －1( ≥2)，且 3，则 1 的值为
A．0 B．1 C．3 D．5
5．已知函数 ，下列结论中错误．．的是
A． B． 的最小正周期为
C． 的图象关于直线 对称 D． 的值域为[ , ]
6．“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
7．如图，点 O 为坐标原点，点 A（1,1）.若函数 （ >0，且
≠1）及 （ ，且 ≠1）的图象与线段 OA 分别交于
点 M，N，且 M，N 恰好是线段 OA 的两个三等分点，则 ， 满
足
A． < 1 D． > >1
8.已知函数
1, 1,
, 1 1,
1, 1,
x
f x x x
x
，函数 2 1( ) 4g x ax .若函数 ( ) ( )y f x g x 恰好有 2 个不同
的零点，则实数 a 的取值范围是
A. (0, )
B. ( ,0) (2, )
C. 1( , ) (1, )2
D. ( ,0) (0,1)
s
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9.函数 ( ) 2 2xf x 的定义域为_____.
10.若角 的终边过点（1，-2），则 cos( )2
=_____.
11. 若等差数列 na 满足 1 4a ， 3 9 10 8a a a a ，则 na = ______.
12.已知向量 (1,0)a ，点 4,4A ，点 B 为直线 2y x 上一个动点.若 AB
// ，则点 B 的坐标为____.
13.已知函数 ( ) sin( )( 0)f x x .若 ( )f x 的图像向左平移
3
个单位所得的图像与 ( )f x 的图
像重合，则 的最小值为____.
14.对于数列 na ，若 m ， ( )n N m n ，均有 ( )为常数m na a t tm n
，则称数列 na 具有性质
( )P t .
（i）若数列 na 的通项公式为 2
na n ，且具有性质 ( )P t ，则t 的最大值为____；
（ii）若数列 na 的通项公式为 2
n
aa n n
，且具有性质 (7)P ，则实数 a 的取值范围是____.
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分 13 分）
已知等比数列 na 的公比 0q ，且 1 1a ， 3 2 44a a a .
（Ⅰ）求公比 q 和 3a 的值；
（Ⅱ）若 na 的前 n 项和为 nS ，求证 2n
n
S
a
.
16.（本小题满分 13 分）
已知函数 ( ) 3sin(2 ) cos(2 )6 6f x x x .
（Ⅰ）求
6f
的值；
（Ⅱ）求函数 f x 的最小正周期和单调递增区间.
17．（本小题满分 13 分）
如图，在四边形 ABCD 中，AB=8，BC=3，CD=5，
3A ，
1cos 7ADB .
（Ⅰ）求 BD 的长；
（Ⅱ）求 BCD 的面积.
18. （本小题满分 13 分）
已知函数 3 21 13f x x x ax .
（Ⅰ）若曲线 y f x 在点（0,1）处切线的斜率为-3，求函数 f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 f x 在区间【-2， a 】上单调递增，求 a 的取值范围.
19.（本小题满分 14 分）
已知数列{ na }的各项均不为 0，其前 项和为
Sn
，且满足 1a
=
a ， 2 nS
=
1n na a
.（Ⅰ）求 2a 的值；
（Ⅱ）求{ na }的通项公式；
（Ⅲ）若 9a ，求
Sn
的最小值
.
20.
（本小题满分
14
分）
已知 x 为实数，用[ x ]表示不超过 x 的最大整数，例如 1.2 1 ， 1.2 2 ， 1 1
.对于函数 ( )f x ，若存在 m R 且 m Z ，使得 f m f m ，则称函数 ( )f x 是 函数
.（Ⅰ）判断函数 2 1
3f x x x ， sing x x 是否是 函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）已知 af x x x
，请写出 a 的一个值，使得 f x 为 函数，并给出证明；
（Ⅲ）设函数 ( )f x 是定义在 R 上的周期函数，其最小周期为T .若 ( )f x 不是 函数，求T 的最
小值.
海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案
数学（文科） 2015.11
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. B2.B3. C 4. A 5.D 6. C 7. A 8. D
二、填空题:本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9. [1, ) 10. 2 5
5 11. 5n 12. (2,4)
13. 6 14. 3；[12, )
说明；第 14 题第一空 3 分，第二空 2 分
三、解答题: 本大题共 6 小题，共 80 分.
15．解：
（Ⅰ）法一因为 3 2 44a a a 所以 2
3 34a a ，所以 3 4a ,
---------------------------3 分
因为 2 3 41
aq ，所以 2q ,
因为 0na ，所以 0q ，即 2q .
---------------------------6 分
法二：因为 3 2 44a a a ，所以 2 4
1 14a q a q ，所以有 2 4q ，所以 2q .
因为 0na ，所以 0q ，即 2q .
---------------------------3 分
所以 2
3 1 4a a q .
--------------------------6 分
（Ⅱ）当 2q 时， 1 1
1 2n n
na a q ,
--------------------------８分
所以 1(1 ) 2 11
n
n
n
a qS q
.
--------------------------10 分
所以 1 1
2 1 122 2
n
n
n n
n
S
a
.
因为 1
1 02n ，所以 1
12 22
n
n
n
S
a
--------------------------13 分
法二：当 2q 时， 1 1
1 2n n
na a q .
--------------------------８分
所以 1(1 ) 2 11
n
n
n
a qS q
.
--------------------------10 分
所以 1 1
2 1 122 2
n
n
n n
n
S
a
.
所以 1
12 02
n
n
n
S
a ，所以 2n
n
S
a
.
----------------------- ---13 分
法三：当 2q 时， 1 1
1 2n n
na a q ,
--------------------------８分
所以 1(1 ) 2 11
n
n
n
a qS q
,
--------------------------10 分
要证 2n
n
S
a
，只需要 2n nS a ，只需 2 1 2n n ,
上式显然成立，得证.
--------------------------13 分
16.解：
（Ⅰ）因为 π π( ) 3sin(2 ) cos(2 )6 6f x x x
所以 π π π π π( ) 3sin(2 ) cos(2 )6 6 6 6 6f
π π 3 33sin( ) cos( ) 36 6 2 2
-------------------------4 分
（Ⅱ）因为 π π( ) 3sin(2 ) cos(2 )6 6f x x x
所以 3 π 1 π( ) 2( sin(2 ) cos(2 ))2 6 2 6f x x x
π π π π2[cos sin(2 ) sin cos(2 )]6 6 6 6x x
π π2sin[(2 ) ]6 6x
2sin2x
--------------------------8 分
所以周期 2π π2T .
--------------------------10 分
令 π π2 π 2 2 π+2 2k x k ，
--------------------------11 分
解得 π ππ π+4 4k x k ， k Z .
所以 ( )f x 的单调递增区间为 π π( π , π+ ),4 4k k k Z .
-------- ------------------13 分
法二：因为 π π( ) 3sin(2 ) cos(2 )6 6f x x x
所以 π π π π( ) 3(sin2 cos cos2 sin ) (cos2 cos sin2 sin )6 6 6 6f x x x x x
-------------------6 分
3 1 3 13( sin2 cos2 ) ( cos2 sin2 )2 2 2 2x x x x
2sin2x
--------------------------8 分
所以周期 2π π2T , --------------------------10 分
令 π π2 π 2 2 π+2 2k x k ，--------------------------11 分
解得 π ππ π+4 4k x k ， k Z ,
所以 ( )f x 的单调递增区间为 π π( π , π+ ),4 4k k k Z .--------------------------13 分
17．解：
（Ⅰ）在 ABD 中，因为 1cos 7ADB ， (0,π)ADB ,
所以 4 3sin 7ADB .--------------------------3 分
根据正弦定理，有
sin sin
BD AB
A ADB
, --------------------------6 分
代入 8, ,3AB A
解得 7BD .法二：作 BE AD 于 E .
只要 2'( ) 2f x x x a 在[ 2, ]a 上的最小值大于等于 0 即可. ---------------------------9 分
因为函数 2'( ) 2 0f x x x a 的对称轴为 1x ，
当 2 1a 时， '( )f x 在[ 2, ]a 上的最小值为 '( )f a ，
解 2'( )= 3 0f a a a ，得 0a 或 3a ，所以此种情形不成立--------------------------11 分
当 1 a 时， '( )f x 在[ 2, ]a 上的最小值为 '( 1)f ，
解 '( 1) 1 2 0f a 得 1a ，所以 1a ，
综上，实数 a 的取值范围是 1a . ------------ ---------------13 分
19．解：
（Ⅰ）因为 12 n n nS a a ，所以 1 1 22S a a ，即 1 1 22a a a ，
因为 1 0a a ，所以 2 2a . ---------------------------2 分
（Ⅱ）因为 12 n n nS a a ，所以 1 12 n n nS a a ，两式相减，
得到 1 12 ( )n n n na a a a ，
因为 0na ，所以 1 1 2n na a ，---------------------------4 分
所以 2 1 2{ },{ }k ka a 都是公差为 2 的等差数列，
当 2 1n k 时， 1 2( 1) 1na a k n a , --------------------------6 分
当 2n k 时， 2 2( 1) 2na k k , --------------------------8 分
所以 1,
, n
n a na
n n
为奇数,
为偶数.
（Ⅲ）
当 9a 时， 10,
, n
n na
n n
为奇数,
为偶数. --------------------------9 分
因为 12 n n nS a a ，
所以
1 ( 10)( 1), 2
1 ( 9) , 2
n
n n n
S
n n n
为奇数,
为偶数,
--------------------------11 分
所以当 n 为奇数时， nS 的最小值为 5 15S ，
当 n 为偶数时， nS 的最小值为 4 10S ，--------------------------13 分
所以当 5n 时， nS 取得最小值为 15 . --------------------------14 分
20.解：
（Ⅰ） 2 1( ) 3f x x x 是 函数， ( ) sin πg x x 不是 函数; --------------------------4 分
（Ⅱ）法一：取 1k ， 3 (1,2)2a ，--------------------------5 分
则令 3[ ] 1, 1 2
am m ，--------------------------7 分
此时 3 3( ) ([ ]) (1)2 2f f f
所以 ( )f x 是 函数. --------------------------9 分
法二：取 1k ， 1 (0,1)2a ，--------------------------5 分
则令 1[ ] 1, 2m m ，--------------------------7 分
此时 1 1( ) ([ ]) ( 1)2 2f f f
所以 ( )f x 是 函数. --------------------------9 分
（说明：这里实际上有两种方案：
方案一：设 *k N ，取 2 2( , )a k k k ，
令[ ] , am k m k
，则一定有
2
[ ] (0,1)a a km m kk k
，
且 ( ) ([ ])f m f m ，所以 ( )f x 是 函数. ）
方案二：设 *k N ，取 2 2( , )a k k k ，
令[ ] , am k m k
，则一定有
2
[ ] ( ) (0,1)a k am m kk k
，
且 ( ) ([ ])f m f m ，所以 ( )f x 是 函数. ）
（Ⅲ）T 的最小值为 1. --------------------------11 分
因为 ( )f x 是以T 为最小正周期的周期函数，所以 ( ) (0)f T f .
假设 1T ，则[ ] 0T ，所以 ([ ]) (0)f T f ，矛盾. --------------------------13 分
所以必有 1T ，
而函数 ( ) [ ]l x x x 的周期为 1，且显然不是是 函数，
综上，T 的最小值为 1. --------------------------14 分
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