海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（文）答案及评分参考 2015.1
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）B （2）D （3）A （4）D
（5）B （6）C （7）C （8）A
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 2 分，第二空 3 分）
（9） 1( ,0)2
（10）3 （11）8
（12） 2
2
（13） 1
3
；4 （14） ( , 1] [1, )
三、解答题（共 6 小题，共 80 分）
（15）（共 13 分）
解：（Ⅰ） 的值是 π
3
. ………………2 分
0x 的值是 4
3
. ………………5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： π( ) cos(π )3f x x .
因为 1 1[ , ]2 3x ，
所以 π π 2ππ6 3 3x . ………………7 分
所以 当 ππ 03x ，即 1
3x 时， ( )f x 取得最大值1； ………………10 分
当 π 2ππ 3 3x ，即 1
3x 时， ( )f x 取得最小值 1
2
. ………………13 分
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）抽取的 5 人中男同学的人数为 5 30 350
，女同学的人数为 5 20 250
.
………………4 分
（Ⅱ）记 3 名男同学为 1 2 3, ,A A A ，2 名女同学为 1 2,B B . 从 5 人中随机选出 2 名同学，所有可能的结
果有 1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2, , , , , , ,A A A A A B A B A A A B A B 3 1 3 2 1 2, ,A B A B B B ，共 10 个.
………………6 分
用 C 表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则 C 中的结果有 6 个，它们是：
1 1 1 2 2 1 2 2, , , ,A B A B A B A B 3 1 3 2,A B A B . ………………8 分
所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 6 3( ) 10 5P C . ………………10 分
（Ⅲ） 2 2
1 2s s . ………………13 分
（17）（共 14 分）
证明：（Ⅰ）在菱形 1 1BB C C 中， BC ∥ 1 1B C .
因为 BC Ë平面 1 1AB C ， 1 1B C Ì 平面 1 1AB C ，
所以 //BC 平面 1 1AB C . ………………3 分
（Ⅱ）连接 1BC .
在正方形 1 1ABB A 中， 1AB BB^ .
因为 平面 1 1AA B B 平面 1 1BB C C ，平面 1 1AA B B 平面 1 1 1BB C C BB ， AB Ì平面 1 1ABB A ，
所以 AB ^ 平面 1 1BB C C . ………………5 分
因为 1B C Ì平面 1 1BB C C ，
所以 1AB B C^ . ………………6 分
在菱形 1 1BB C C 中， 1 1BC B C^ .
因为 1BC Ì 平面 1ABC ， AB Ì平面 1ABC ， 1BC AB B = ，
所以 1B C ^ 平面 1ABC . ………………8 分
因为 1AC Ì平面 1ABC ，
所以 1B C 1AC . ………………10 分
（Ⅲ） , , ,E F H G 四点不共面. 理由如下： ………………11 分
因为 ,E G 分别是 1 1 1,BC BC 的中点，
所以 GE ∥ 1CC .
同理可证：GH ∥ 1 1C A .
因为 GE Ì 平面 EHG ，GH Ì平面 EHG ，GE GH G = ， 1CC Ì 平面 1 1AAC C ， 1 1AC Ì 平面
1 1AAC C ，
所以 平面 EHG ∥平面 1 1AAC C .
因为 F 平面 1 1AAC C ，
所以 F 平面 EHG ，即 , , ,E F H G 四点不共面. ………………14 分
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）由题意可知椭圆 M 的标准方程为：
2
2 12
x y ，则 2, 1a b .
所以 椭圆 M 的长轴长为 2 2 . ………………2 分
因为 2 2 1c a b ，
所以 2
2
ce a
，即 M 的离心率为 2
2 . ………………4 分
（Ⅱ）若 , ,C O D 三点共线，由 CD 是线段 AB 的垂直平分线可得：
OA OB . ………………6 分
由（Ⅰ）可得 (0,1)A ，设 0 0( , )B x y . ………………7 分
所以 2 2
0 0 1x y . ①
又因为 2 2
0 02 2x y ， ② ………………10 分
由①②可得： 0
0
0,
1
x
y
（舍），或 0
0
0,
1.
x
y
………………11 分
当 0
0
0,
1
x
y
时，直线l 的方程为 0x ，显然满足题意.
所以 存在直线 l 使得 , ,C O D 三点共线，直线 l 的方程为 0x . ………………13 分
（19）（共 13 分）
（Ⅰ）解： 2
e e'( )
x xxf x x
. ………………1 分
因为 切线 0ax y 过原点 (0,0) ，
所以
0
0 0
0 0
2
0 0
e
e e
x
x xx x
x x
. ………………3 分
解得： 0 2x . ………………4 分
（Ⅱ）证明：设 2
( ) e( ) ( 0)
xf xg x xx x
，则
2
4
e ( 2 )'( )
x x xg x x
.
令
2
4
e ( 2 )'( ) 0
x x xg x x
，解得 2x . ………………6 分
x 在 (0, ) 上变化时， '( ), ( )g x g x 的变化情况如下表
x (0,2) 2 (2, )+¥
'( )g x - 0 +
( )g x ↘
2e
4
↗
所以 当 2x 时， ( )g x 取得最小值
2e
4
. ………………8 分
所以 当 0x 时，
2e( ) 14g x ³ > ，即 ( )f x x . ………………9 分
（Ⅲ）解：当 0b 时，集合{ ( ) 0}x f x bx R 的元素个数为 0；
当
2e0 4b 时，集合{ ( ) 0}x f x bx R 的元素个数为 1；
当
2e
4b 时，集合{ ( ) 0}x f x bx R 的元素个数为 2；
当
2e
4b 时，集合{ ( ) 0}x f x bx R 的元素个数为 3. ………………13 分
（20）（共 14 分）
解：（Ⅰ）因为 1 1a ， 12 2n na a p ，
所以 2 12 2 2a a p p ， 3 22 2 2 2a a p p .
因为 3 12S ，
所以 2 2 2 2 6 3 24p p p ，即 6p . ……………… 2 分
所以 1 3( 1,2,3, )n na a n .
所以 数列{ }na 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列.
所以
2( 1) 31 32 2n
n n n nS n . ……………… 4 分
（Ⅱ）若数列{ }na 是等比数列，则 2
2 1 3a a a .
由（Ⅰ）可得： 2(1 ) 1 (1 )2
p p . ……………… 6 分
解得： 0p .
当 0p 时，由 12 2n na a p 得： 1 1n na a .
显然，数列{ }na 是以 1 为首项，1 为公比的等比数列.
所以 0p . ……………… 7 分
（Ⅲ）当 0p 时，由（Ⅱ）知： 1( 1,2,3, )na n .
所以 1 1( 1,2,3, )
n
na
，即数列 1{ }
na
就是一个无穷等差数列.
所以 当 0p 时，可以得到满足题意的等差数列.
当 0p 时，因为 1 1a ， 12 2n na a p ，即 1 2n n
pa a ，
所以 数列{ }na 是以 1 为首项，
2
p 为公差的等差数列.
所以 12 2n
p pa n .
下面用反证法证明：当 0p 时，数列 1{ }
na
中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列.
假设存在 0 0p ，从数列 1{ }
na
中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为{ }nb . 设数列{ }nb
的公差为 d .
①当 0 0p 时， 0( 1,2,3, )na n .
所以 数列{ }nb 是各项均为正数的递减数列.
所以 0d .
因为 1 ( 1) ( 1,2,3, )nb b n d n ，
所以 当 11 bn d
时， 1
1 1( 1) (1 1) 0n
bb b n d b dd
，这与 0nb 矛盾.
②当 0 0p 时，令 0 01 02 2
p pn ，解得：
0
21n p
.
所以 当
0
21n p
时， 0na 恒成立.
所以 数列{ }nb 必然是各项均为负数的递增数列.
所以 0d .
因为 1 ( 1) ( 1,2,3, )nb b n d n ，
所以 当 11 bn d
时， 1
1 1( 1) (1 1) 0n
bb b n d b dd
，这与 0nb 矛盾.
综上所述， 0p 是唯一满足条件的 p 的值. ……………… 14 分
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