2015江南十校期末大联考数学理试题及答案

安徽省江南十校 2015 届高三上学期期末大联考 数学（理）试题 第 I 卷（选择题，共 50 分） 一、选择题 1．设复数 z 满足 1 ) 2 (i z i i （ ＋ 为虚数单位，z 表示复数 z 的共轭复数），则在复平面上复数 z 对 应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．将甲、乙两名篮球运动员在 5 场篮球比赛中的得分制成茎叶图如图所示，若 x x甲 乙， 分别表示甲、 乙两名运动员 5 场比赛的平均得分，则下列结论正确的是 A． x x甲 乙 ，且甲队员比乙队员成绩稳定 B． x x甲 乙 ，且乙队员比甲队员成绩稳定 C． x x甲 乙 ，且甲队员比乙队员成绩稳定 D． x x甲 乙 且乙队员比甲队员成绩稳定 3．如图，若输入 n 的值为 4，则输出 A 的值为 A、3 B、－2 C、－ 1 3 D、 1 2 4．设{ na }是首项为 1 2  ，公差为 d（ d  0）的等差数列，Sn 为其前 n 项和， 若 S1，S2，S4 成等比数列，则 d= A、－1 B、－ 1 2 C、 1 8 D、 1 2 5．已知 0.12 , 0.1, sin1a b ln c   ，则 A、a＞b＞c B、a＞c＞b C、c＞a＞b D、b＞a＞c 6．设函数 f（x）（xR）满足 f（x＋2）＝2f（x）＋x，且当 0 2x  时， ( ) [ ],[ ]f x x x 表示不超 过 x 的最大整数，则 f（5.5）＝ A．8.5 B．10.5 C．12.5 D．14.5 7．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的 长度单位，已知直线 l 的参数方程是 3 3 4 x t y t     （t 为参数），曲线 C 的极坐标方程是 2sin 3cos   ，则直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 30. 3A B、6 C、12 D、7 3 8．设 l，m 是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A、若 l⊥m，m＝α  β，则 l⊥α； B、若 l∥m，m＝α  β，则 l∥α； C｜若α∥β，l 与α所成的角与 m 与β所成的角相等，则 l∥m； D｜若 l∥m，α∥β，l⊥α，则 m⊥β 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A、44＋ B、40＋4 C、44＋4 D、44＋2 10．已知点 A（1，－1），B（4,0），C（2,2）平面区域 D 是由所有满足 (1 ,1 )AP AB AC a b           的点 P（x，y）组成的区域，若区域 D 的面积为 8， 则 4a＋b 的最小值为 A、5 B、4 2 C、9 D、5＋4 2 第 II 卷 二、填空题（25 分） 11、椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     上任意一点 P 到两焦点的距离之和为 6，且椭圆的离心率为 1 3 ，则 椭圆的方程为＿＿＿＿ 12、已知 m＞0，实数 x，y 满足 0 0 x y x y m       ，若 z＝x＋2y 的最大值为 2，则实数 m＝＿＿＿＿ 13、设直线（k＋1）x＋（k＋2）y－2＝0 与两坐标轴围成的三角形面积为 kS ，则 1 2 10S S S   ＝ ＿＿＿ 14、已知二项展开式 5(1 )ax ＝ 2 3 4 5 1 2 3 4 51 a x a x a x a x a x     ，集合 A＝{80，40，32，10}， 若 ( 1,2,3,4,5)ia A i  ，则 a＝＿＿＿＿＿＿ 15、已知函数 f（x）＝｜sinx｜＋｜cosx｜－sin2x－1（xR），则下列命题正确的是＿＿＿＿（写 出所有正确命题的序号）。 （1）f（x）是周期函数； （2）f（x）的图象关于 2x  对称； （3）f（x）的最小值为 2 －2； （4）f（x）的单调递增区间为 3[ , ]( )4 4k k k z     （5）若 f（x）在（0， n ）内恰有 2015 个零点，则 n 的取值范围为 1007.5＜n＜1008 三、解答题 16．已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且（a＋b）（sinA－sinB）＝（c－b） sinC （I）求角 A 的大小； （II）若 cosB 是方程 3x2－10x＋3＝0 的一个根，求 sinC 的值。 17．已知函数 2( ) ( ) xf x x ax e   ，其中 e 是自然对数的底数， （I）讨论 f（x）在其定义域上的单调性； （II）当 [0, )x  时，求 f（经）取得最小值时 x 的值。 18．全国高中数学联合竞赛于每年 10 月中旬的第一个星期日举行，竞赛分一试和加试，其中，加试 有 4 题，小明参加了今年的竞赛，他能够容对加试的第一、二、三、四题的概率分别为 0.5， 0.5,0.2,0.2，且答对各题互不影响。 （I）求小明在加试中至少答对 3 题的概率； （II）记 X 为小明在加试中答对的题的个数，求 X 的分布列和数学期望。 19、（本小题满分 13 分） 如图，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，且 PB 与底面 ABCD 所成的 角为 45º，E 为 PB 的中点，过 A，E，D 三点的平面记为 ，PC 与 的交点为 Q。 （I）试确定 Q 的位置并证明； （II）求四棱锥 P－ABCD 被平面 所分成上下两部分的体积之比； （III）若 PA＝2，截面 AEQD 的面积为 3，求平面 与平面 PCD 所成的锐二面角的正切值。 20．已知正三角形 OEF 的三个顶点（O 为坐标原点）都在抛物线 x2＝y 上，圆 D 为三角形 OEF 的 外接圆，圆 C 的方程为 2 2( 5cos ) ( 5sin 2) 1( )x y R        ，过圆 C 上任意一点 M 作 圆 D 的两条切线 MA，MB，切点分别为 A，B，设 d＝｜MA｜ （I）求圆 D 的方程； （II）试用 d 表示 MA MB  ，并求 MA MB  的最小值。 21．设数列{ na }各项均为正数，且满足 2 1n n na a a   （I）求证：对一切 （II）已知{ na }前 n 项和为 Sn，求证：对一切