2014--2015年西城区高三数学文科期末试题及答案

北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2015.1 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项． 1．设集合 1,0,1,2{ }A  ， 2{ | }B x x x  ，则集合 A B  （ ） （A）{ 1,0,1} （B）{ 1,2} （C）{0,1,2} （D）{ 1,1,2} 3．在锐角  ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 若 2a b ， 3sin 4B  ，则（ ） （A） 3A  （B） 6A  （C） 3sin 3A  （D） 2sin 3A  4．执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为（ ） （A） 4 （B）5 （C） 6 （D） 7 2．设命题 p ： 2log0, 2xx x   ，则 p 为（ ） （A） 2log0, 2xx x   （B） 2log0, 2xx x  ≤ （C） 2log0, 2xx x   （D） 2log0, 2xx x  ≥ a=2，x=3 开始 xy a x=x+110 3y x  输出 x 结束 否 是 5．设函数 ( )y f x 的定义域为 R ，则“ (0) 0f  ”是“函数 ( )f x 为奇函数”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为 9：00 至 17：00，设甲在当天 13：00 至 18：00 之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是 （ ） （A） 1 3 （B） 3 4 （C） 5 8 （D） 4 5 8. 如图，在空间四边形 ABCD 中，两条对角线 ,AC BD 互相垂直，且长度分别为 4 和 6，平行 于这两条对角线的平面与边 , , ,AB BC CD DA 分别相交于点 , , ,E F G H ，记四边形 EFGH 的面积 为 y，设 BE xAB = ，则（ ） （A）函数 ( )y f x= 的值域为(0,4] （B）函数 ( )y f x= 的最大值为 8 （C）函数 ( )y f x= 在 2(0, )3 上单调递减 （D）函数 ( )y f x= 满足 ( ) (1 )f x f x= - 7． 设抛物线 2: 4W y x= 的焦点为 F，过 F 的直线与 W 相交于 A，B 两点，记点 F 到直线 l： 1x =- 的距离为 d ，则有（ ） （A） 2| | dAB ≥ （B） 2| | dAB = （C） 2| | dAB ≤ （D） 2| | dAB < A B E C D G H F 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9. 复数 i 1 iz   ，则| |z  ______. 10．设平面向量 ,a b满足| | 3a ，| | 2b ， 3  a b ，那么 ,a b的夹角  ____. 11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最 长棱的棱长为_____. 12．设 1 2,F F 为双曲线 C： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点，且直线 2y x 为双曲线 C 的一条渐近线，点 P 为 C 上一点，如果 1 2| | | | 4PF PF  ，那么双曲线 C 的方程为____； 离心率为_____. 13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支 5 元，铅笔盒每个 6 元，花费总额不能超过 50 元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于 3 个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案. 14. 设函数 3 | |, 1,( ) log , 1. x a xf x x x    ≤ （1）如果 (1) 3f  ，那么实数 a ___； （2）如果函数 ( ) 2y f x  有且仅有两个零点，那么实数 a 的取值范围是___. 侧(左)视图正(主)视图 俯视图 2 2 11 1 1 1 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 已知函数 2 π( ) 1 2sin ( )4f x x   ，x∈R . （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期； （Ⅱ）判断函数 ( )f x 在区间 π π[ , ]6 6  上是否为增函数？并说明理由. 16．（本小题满分 13 分） 已知数列{ }na 满足 2 5a  ，且其前 n 项和 2 nS pn n  ． （Ⅰ）求 p 的值和数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）设数列{ }nb 为等比数列，公比为 p ，且其前 n 项和 nT 满足 5 5T S ，求 1b 的取值范 围． 17．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱柱 1111 DCBAABCD  中， AA1  底面 ABCD ， 90BAD   ， BCAD // ， 且 1 2 2A A AD BC   ， 1AB  . 点 E 在棱 AB 上，平面 1A EC 与棱 1 1C D 相交于点 F. （Ⅰ）求证： 1A F ∥平面 1B CE ； （Ⅱ）求证： AC 平面 1 1CDD C ； （Ⅲ）写出三棱锥 1 1B A EF 体积的取值范围. （结论不 要求证明） 18．（本小题满分 13 分） 最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后 投资盈亏的情况如下： B C A1 D1 DA B1 C1 E F （1） 投资股市： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概 率 1 2 1 8 3 8 （2） 购买基金： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概 率 p 1 3 q （Ⅰ）当 1 2p = 时，求 q 的值； （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求 p 的取值范围； （Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果 出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率． 19．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 2 2 116 12 x y  的右焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 e，点 ( ,0)( 4)P m m  满 足条件 | | | | FA eAP  . （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，记 PMF 和 PNF 的面积分别 为 1S ， 2S ，若 1 22S S ,求直线 l 的方程. 20．（本小题满分 13 分） 对于函数 ( ), ( )f x g x ，如果它们的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，则称函数 ( )f x 和 ( )g x 在点 P 处相切，称点 P 为这两个函数的切点. 设函数 2( ) ( 0)f x ax bx a   , ( ) lng x x . （Ⅰ）当 1a   , 0b  时, 判断函数 ( )f x 和 ( )g x 是否相切？并说明理由； （Ⅱ）已知 a b ， 0a  ，且函数 ( )f x 和 ( )g x 相切，求切点 P 的坐标； （Ⅲ）设 0a  ，点 P 的坐标为 1( , 1)e  ，问是否存在符合条件的函数 ( )f x 和 ( )g x ，使 得它们在点 P 处相切？若点 P 的坐标为 2(e ,2) 呢？（结论不要求证明） 北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2015.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．B 2．B 3．A 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9． 2 2 10． 2π 3 11. 2 2 12． 2 2 14 16 x y  5 13．9 14． 2 或 4 ( 1,3] 注：第 12，14 题第一问 2 分，第二问 3 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：因为 2 π( ) 1 2sin ( )4f x x   πcos 2( )4x  ……………… 3 分 sin 2x ， ……………… 5 分 所以函数 ( )f x 的最小正周期 2π π2T   . ……………… 7 分 （Ⅱ）解：结论：函数 ( )f x 在区间 π π[ , ]6 6  上是增函数. ……………… 9 分 理由如下： 由 π π2 π 2 2 π2 2k x k ≤ ≤ ， 解得 π ππ π4 4k x k ≤ ≤ ， 所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 π π[ π , π ]4 4k k  ，( )k Z . ……………… 12 分 当 0k 时，知 )(xf 在区间 π π[ , ]4 4  上单调递增， 所以函数 ( )f x 在区间 π π[ , ]6 6  上是增函数. ……………… 13 分 16．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：由题意，得 1 1S p  ， 2 4 2S p  ， 因为 2 5a  ， 2 1 2S a a  ， 所以 2 4 2 1 5S p p     ， 解得 2p  . ……………… 3 分 所以 22nS n n  ． 当 2n≥ 时，由 1n n na S S   ， ……………… 5 分 得 2 2(2 ) [2( 1) ( 1)] 4 3na n n n n n        . ……………… 7 分 验证知 1n  时， 1a 符合上式， 所以 4 3na n  ， *nN . ……………… 8 分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得 1 1 (1 2 ) (2 1)1 2 n n n bT b   . ……………… 10 分 因为 5 5T S ， 所以 5 2 1(2 1) 2 5 5b     ， 解得 1 45 31b  ． ……………… 12 分 又因为 1 0b  ， 所以 1b 的取值范围是 45( ,0) (0, )31   ． ……………… 13 分 17．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）证明：因为 1111 DCBAABCD  是棱柱， 所以平面 ABCD∥平面 1 1 1 1A B C D . 又因为平面 ABCD  平面 1A ECF EC ， 平面 1 1 1 1A B C D 平面 1 1A ECF A F ， 所以 1A F ∥CE . …………………3 分 又 1A F  平面 1B CE ，CE  平面 1B CE ， 所以 1A F ∥平面 1B CE . …………………6 分 （Ⅱ）证明：在四边形 ABCD 中， 因为 90BAD   ， BCAD // ,且 BCAD 2 ， 2AD  ， 1AB  ， 所以 2 2 21 1 2AC    ， 2 2 21 1 2CD    . 所以 2 2 2AC CD AD  ， 所以 90ACD   ，即 AC CD . …………………7 分 因为 1A A  平面 ABCD AC ， 平面 ABCD ， 所以 1A A AC . 因为在四棱柱 1111 DCBAABCD  中， 1 1//A A C C ， 所以 1C C AC . …………………9 分 又因为 1,CD C C  平面 1 1CDD C ， 1CD C C C ， 所以 AC  平面 1 1CDD C . …………………11 分 （Ⅲ）解：三棱锥 1 1B A EF 的体积的取值范围是 1 2[ , ]3 3 . …………………14 分 18．（本小题满分 13 分） B C A1 D1 DA B1 C1 E F （Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三 种 且三种投资结果相互独立， 所以 p + 1 3 +q =1. ……………… 2 分 又因为 1 2p = ， 所以 q = 6 1 ． ……………… 3 分 （Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小， 得 3 8q < ， ……………… 4 分 因为 p + 1 3 + q =1， 所以 2 3 3 8q p= - < ，解得 7 24p > . ……………… 7 分 又因为 1 13p q+ + = ， 0q≥ ， 所以 2 3p≤ . 所以 7 2 24 3p≤< . ……………… 8 分 （Ⅲ）解：记事件 A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9 分 用 a ，b ， c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用 x ， y ， z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”， 则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有3 3 9  种， 它们是： ( , )a x ，( , )a y ，( , )a z ，( , )b x ，( , )b y ，( , )b z ，( , )c x ，( , )c y ，( , )c z ， ……………10 分 所以事件 A 的结果有 5 种，它们是： ( , )a x ， ( , )a y ， ( , )a z ， ( , )b x ，( , )c x . …………… 11 分 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率 5( ) 9P A  . …………13 分 19．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：因为椭圆 C 的方程为 2 2 116 12 x y  ， 所以 4a  , 2 3b  , 2 2 2c a b   , ………………2 分 则 1 2 ce a   ，| | 2FA  ，| | 4AP m  . ………………3 分 因为 | | 2 1 | | 4 2 FA AP m   ， 所以 8m  . ………………5 分 （Ⅱ）解：若直线 l 的斜率不存在，则有 21 SS  ，不合题意. ………………6 分 若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 )2(  xky ， ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN . 由      ),2( ,11216 22 xky yx 得 2 2 2 2(4 3) 16 16 48 0k x k x k     ， ……………… 7 分 可知 0 恒成立，且 34 16 2 2 21  k kxx ， 34 4816 2 2 21   k kxx . ……………… 8 分 因为 PMF 和 PNF 的面积分别为 1 1 1 | | | |2S PF y  ， 2 2 1 | | | |2S PF y  , 所以 2|| || 2 1 2 1 2 1  y y y y S S . ……………… 9 分 即 21 2yy  . 所以 221 yyy  ， 2 21 2 221 )(22 yyyyy  ， ……………… 11 分 则 2 2121 )]2()2([2)2()2(  xkxkxkxk ， 即 2 212121 )4(24)(2  xxxxxx ， 即 2 2 2 2 2 2 2 )434 16(2434 16234 4816   k k k k k k ， 解得 2 5k . ……………… 13 分 所以直线 l 的方程为 )2(2 5  xy 或 )2(2 5  xy . ……………… 14 分 20．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：结论：当 1a   , 0b  时,函数 ( )f x 和 ( )g x 不相切. …………………1 分 理由如下： 由条件知 2( )f x x  ， 由 ( ) lng x x ，得 0x  ， 又因为 ( ) 2f x x   ， 1( )g x x   ， …………………2 分 所以当 0x  时， ( ) 2 0f x x    ， 1( ) 0g x x    ， 所以对于任意的 0x  ， ( ) ( )f x g x  . 当 1a   , 0b  时,函数 ( )f x 和 ( )g x 不相切. …………………3 分 （Ⅱ）解：若 a b ，则 ( ) 2f x ax a   ， 1( )g x x   ， 设切点坐标为 ( , )s t ，其中 0s  , 由题意，得 2 lnas as s  ， ① 12as a s   ， ② …………………4 分 由②，得 1 (2 1)a s s   ， 代入①，得 1 ln2 1 s ss   . （*） …………………5 分 因为 1 0(2 1)a s s   ，且 0s  ， 所以 1 2s  . 设函数 1( ) ln2 1 xF x xx   ， 1( , )2x  ， 则 2 (4 1)( 1)( ) (2 1) x xF x x x      . …………………6 分 令 ( ) 0F x  ，解得 1x  或 1 4x  (舍). …………………7 分 当 x 变化时， ( )F x 与 ( )F x 的变化情况如下表所示， x 1( ,1)2 1 (1, ) ( )F x  0  ( )F x ↗ ↘ …………………8 分 所以当 1x  时， ( )F x 取到最大值 (1) 0F  ，且当 1( ,1) (1, )2x  时 ( ) 0F x  . 因此，当且仅当 1x  时 ( ) 0F x  . 所以方程（*）有且仅有一解 1s  . 于是 ln 0t s  ， 因此切点 P 的坐标为 (1,0) . …………………9 分 （Ⅲ）解：当点 P 的坐标为 1( , 1)e  时，存在符合条件的函数 ( )f x 和 ( )g x ，使得它们在点 P 处相切； …………………11 分 当点 P 的坐标为 2(e ,2) 时，不存在符合条件的函数 ( )f x 和 ( )g x ，使得它们在点 P 处 相 切. …………………13 分