2014--2015年西城区高三数学理科期末试题及答案

北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2015.1 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项． 1．设集合 1,0,1{ }A  ， 2{ | 2}B x x x   ，则集合 A B  （ ） （A）{ 1,0,1} （B）{ 1,0} （C）{0,1} （D）{ 1,1} 3．在锐角  ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 若 2a b ， 3sin 4B  ，则（ ） （A） 3A  （B） 6A  （C） 3sin 3A  （D） 2sin 3A  4．执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为（ ） （A） 4 （B）5 （C） 6 （D） 7 2．设命题 p ： 平面向量 a 和 b ，| | | | | |  a b a b ，则 p 为（ ） （A） 平面向量 a 和 b ，| | | | | | ≥a b a b （B） 平面向量 a 和 b ，| | | | | |  a b a b （C）  平面向量 a 和 b ，| | | | | |  a b a b （D）  平面向量 a 和 b ，| | | | | | ≥a b a b a=2，x=3 开始 xy a x=x+110 3y x  输出 x 结束 否 是 5．设函数 ( ) 3 cosf x x b x  ， x  R ，则“ 0b  ”是“函数 ( )f x 为奇函数”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 8. 设 D 为不等式组 1, 2 1, 2 1 x y x y x y       ≤ ≥ ≤ 表示的平面区域，点 ( , )B a b 为坐标平面 xOy 内一点，若对于 区域 D 内的任一点 ( , )A x y ，都有 1OA OB ≤ 成立，则 a b 的最大值等于（ ） （A）2 （B）1 （C）0 （D）3 6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A）最长棱的棱长为 6 （B）最长棱的棱长为3 （C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D）侧面四个三角形都是直角三角形 侧(左)视图正(主)视图 俯视图 2 2 11 1 1 1 7. 已知抛物线 2: 4C y x ，点 ( ,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线 C 上存在一点Q ，使得 90OQPÐ = o ，则实数 m 的取值范围是（ ） （A） (4,8) （B） (4, )+¥ （C） (0,4) （D） (8, )+¥ 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9. 复数 2 i 1 2iz   ，则| |z  _____． 10．设 1 2,F F 为双曲线 C： 2 2 2 1( 0)16 x y aa    的左、右焦点，点 P 为双曲线 C 上一点，如果 1 2| | | | 4PF PF  ，那么双曲线 C 的方程为____；离心率为____. 11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成 等 差 数 列 ， 每 列 中 的 各 数 从 上 到 下 成 等 比 数 列 ， 那 么 x y z   ______． 12． 如图，在 ABC 中，以 BC 为直径的半圆分别交 AB ， AC 于点 E ， F ，且 2AC AE ，那么 AF AB  ____； A  _____． 13．现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序，要求 2 个小品节目之间恰好有 3 个 唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答） 14. 设 P，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线 PQ 旋转 （ ） 角后能与自身重合，那么符合条件的直线 PQ 有 _____ 条. 2 x 3 y a 3 2 1 2 5 8 z E F CB A 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) 2 3sin cos cos4 4 2 x x xf x   , x∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ） 设点 B 是图象上的最高点，点 A 是图象与 x 轴的交点，求 BAOtan 的值. 16．（本小题满分 13 分） 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市： 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概 率 1 2 1 8 3 8 （2）购买基金： 投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 概 率 p 1 3 q （Ⅰ）当 1 4p = 时，求 q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后 他们中至少有一人获利的概率大于 4 5 ，求 p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这 两种方案中选择一种，已知 1 2p = ， 1 6q = ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投 资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由． A x B O y 17．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱柱 1111 DCBAABCD 中， AA1  底面 ABCD ， 90BAD   ， BCAD // ， 且 1 2 2A A AB AD BC    ，点 E 在棱 AB 上，平面 1A EC 与棱 1 1C D 相交于点 F. （Ⅰ）证明： 1AF ∥平面 1BCE ； （Ⅱ）若 E 是棱 AB 的中点，求二面角 1A EC D  的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥 1 1B A EF 的体积的最大值. 18．（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) ( 0)f x ax bx a   和 ( ) lng x x 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相 同. （Ⅰ）若点 P 的坐标为 1( , 1)e  ，求 ,a b 的值； （Ⅱ）已知 a b ，求切点 P 的坐标. 19．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 2 2 116 12 x y  的右焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 e，点 ( ,0)( 4)P m m  满 足条件 | | | | FA eAP  . （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，记 PMF 和 PNF 的面积分别 为 1S ， 2S ，求证： 1 2 | | | | S PM S PN  . B C DA B1 C1 E F A1 D1 20．（本小题满分 13 分） 设函数 ( ) (9 )f x x x  ，对于任意给定的 m 位自然数 0 1 2 1m mn a a a a  （其中 1a 是个位数 字， 2a 是十位数字，），定义变换 A ： 0 1 2( ) ( ) ( ) ( )mA n f a f a f a    . 并规定 (0) 0A  ．记 1 0( )n A n ， 2 1( )n A n ，， 1( )k kn A n  ，． （Ⅰ）若 0 2015n  ，求 2015n ； （Ⅱ）当 3m  时，证明：对于任意的 *( )m mN 位自然数 n 均有 1( ) 10mA n  ； （Ⅲ）如果 * 0 10 ( , 3)mn m m  N ，写出 mn 的所有可能取值.（只需写出结论） 北京市西城区 2014 — 2015 学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2015.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9．1 10． 2 2 14 16 x y  5 11．17 4 12． 1 2 π 3 13．96 14．13 注：第 10，12 题第一问 2 分，第二问 3 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：因为 ( ) 2 3sin cos cos4 4 2 x x xf x   3sin cos2 2 x x  ……………… 2 分 = π2sin( )2 6 x  ， ……………… 4 分 所以 2π 4π1 2 T   . 故函数 ( )f x 的最小正周期为 4π . ……………… 6 分 由题意，得 π π π2 π 2 π2 2 6 2 xk k  ≤ ≤ ， 解得 4π 2π4 π 4 π+3 3k x k ≤ ≤ ， 所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 4π 2π[4 π ,4 π+ ],( )3 3k k k  Z . ……………… 9 分 （Ⅱ）解：如图过点 B 作线段 BC 垂直于 x 轴于点C . 由题意，得 3 3π4 TAC   ， 2BC ， A xO C B y 所以 2tan 3π BCBAO AC    . ………… 13 分 16．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三 种，且三种投资结果相互独立， 所以 p + 1 3 + q =1. ……………… 2 分 又因为 1 4p = ， 所以q = 5 12 ． ……………… 3 分 （Ⅱ）解：记事件 A 为 “甲投资股市且盈利”，事件 B 为“乙购买基金且盈利”，事 件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4 分 则C AB AB AB= U U ，且 A，B 独立. 由上表可知， 1( ) 2P A = ， ( )P B p= . 所以 ( ) ( ) ( ) ( )P C P AB P AB P AB= + + ……………… 5 分 1 1 1(1 )2 2 2p p p= ´ - + ´ + ´ 1 1 2 2 p= + . ……………… 6 分 因为 1 1 4( ) 2 2 5P C p= + > ， 所以 3 5p> . ……………… 7 分 又因为 1 13p q+ + = ， 0q≥ ， 所以 2 3p≤ . 所以 3 2 5 3p≤< . ……………… 8 分 （Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记 X 为丙投资股票的获利金额（单位： 万元）， 所以随机变量 X 的分布列为： X 4 0 2 P 1 2 1 8 3 8 … … … … … 9 分 则 1 1 3 54 0 ( 2)2 8 8 4EX         . ……………10 分 假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记 Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万 元）， 所以随机变量Y 的分布列为： Y 2 0 1 P 1 2 1 3 1 6 … … … … … 11 分 则 1 1 1 52 0 ( 1)2 3 6 6EY         . …………… 12 分 因为 EX EY ， 所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13 分 17．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）证明：因为 1111 DCBAABCD  是棱柱， 所以平面 ABCD∥平面 1 1 1 1A B C D . 又因为平面 ABCD 平面 1A ECF EC ，平面 1 1 1 1A B C D 平面 1 1A ECF A F ， 所以 1A F ∥ EC . …………………2 分 B C A1 D1 D A B1 C1 E F x y z M 又因为 1A F  平面 1B CE ， EC  平面 1B CE ， 所以 1AF ∥平面 1B CE . …………………4 分 （Ⅱ）解：因为 1AA  底面 ABCD ， 90BAD   ， 所以 1AA ， AB ， AD 两两垂直，以 A 为原点，以 AB ， AD ， 1AA 分别为 x 轴、 y 轴 和 z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5 分 则 1(0,0,2)A ， (1,0,0)E ， (2,1,0)C ， 所以 1 (1,0, 2)A E   , 1 (2,1, 2)AC   . 设平面 1A ECF 的法向量为 ( , , ),m x y z 由 1 0A E m   ， 1 0AC m   , 得 2 0, 2 2 0. x z x y z       令 1z  ,得 (2, 2,1)m   . …………………7 分 又因为平面 DEC 的法向量为 (0,0,1)n  ， …………………8 分 所以 1cos , 3| | | | m nm n m n          ， 由图可知，二面角 1A EC D  的平面角为锐角， 所以二面角 1A EC D  的余弦值为 1 3 . …………………10 分 （Ⅲ）解：过点 F 作 1 1FM A B 于点 M , 因为平面 1 1A ABB  平面 1 1 1 1A B C D ， FM  平面 1 1 1 1A B C D , 所以 FM  平面 1 1A ABB , 所以 1 1 1 1 1 1 1 3B A EF F B A E A B EV V S FM      …………………12 分 1 2 2 2 3 2 3FM FM    . 因为当 F 与点 1D 重合时， FM 取到最大值 2（此时点 E 与点 B 重合）， 所以当 F 与点 1D 重合时，三棱锥 1 1B A EF 的体积的最大值为 4 3 . ………………14 分 18.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：由题意，得 2 1( ) 1e e e a bf     ， …………………1 分 且 ( ) 2f x ax b   ， 1( )g x x   ， …………………3 分 由已知，得 1 1( ) ( )e ef g  ，即 2 ee a b  ， 解得 22ea  ， 3eb  . …………………5 分 （Ⅱ）解：若 a b ，则 ( ) 2f x ax a   ， 1( )g x x   ， 设切点坐标为 ( , )s t ，其中 0s  , 由题意，得 2 lnas as s  ， ① 12as a s   ， ② …………………6 分 由②，得 1 (2 1)a s s   ，其中 1 2s  ， 代入①，得 1 ln2 1 s ss   . （*） …………………7 分 因为 1 0(2 1)a s s   ，且 0s  ， 所以 1 2s  . …………………8 分 设函数 1( ) ln2 1 xF x xx   ， 1( , )2x  ， 则 2 (4 1)( 1)( ) (2 1) x xF x x x      . …………………9 分 令 ( ) 0F x  ，解得 1x  或 1 4x  (舍). …………………10 分 当 x 变化时， ( )F x 与 ( )F x 的变化情况如下表所示， x 1( ,1)2 1 (1, ) ( )F x  0  ( )F x ↗ ↘ …… …… …… …12 分 所以当 1x  时， ( )F x 取到最大值 (1) 0F  ，且当 1( ,1) (1, )2x  时 ( ) 0F x  . 因此，当且仅当 1x  时 ( ) 0F x  . 所以方程（*）有且仅有一解 1s  . 于是 ln 0t s  ， 因此切点P的坐标为 (1,0) . …………………13分 19．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解：因为椭圆 C 的方程为 2 2 116 12 x y  ， 所以 4a  , 2 3b  , 2 2 2c a b   , ………………2 分 则 1 2 ce a   ，| | 2FA  ，| | 4AP m  . ………………3 分 因为 | | 2 1 | | 4 2 FA AP m   ， 所以 8m  . ………………5 分 （Ⅱ）解：若直线 l 的斜率不存在， 则有 21 SS  ，| | | |PM PN ，符合题意. …………6 分 若直线 l 的斜率存在，则设直线 l 的方程为 )2(  xky ， ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN . 由      ),2( ,11216 22 xky yx 得 2 2 2 2(4 3) 16 16 48 0k x k x k     ， ……………… 7 分 可知 0 恒成立，且 34 16 2 2 21  k kxx ， 34 4816 2 2 21   k kxx . ……………… 8 分 因为 8 )2( 8 )2( 88 2 2 1 1 2 2 1 1    x xk x xk x y x ykk PNPM ……………… 10 分 )8)(8( )8)(2()8)(2( 21 1221   xx )8)(8( 32)(102 21 2121   xx kxkx 0)8)(8( 3234 161034 48162 21 2 2 2 2     xx kk kkk kk ， 所以 MPF NPF   . ……………… 12 分 因为 PMF 和 PNF 的面积分别为 1 1 | | | | sin2S PF PM MPF    ， 2 1 | | | | sin2S PF PN NPF    ， ……………… 13 分 所以 1 2 | | | | S PM S PN  . ……………… 14 分 20．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）解： 1 14 0 8 20 42n      ， 2 20 14 34n    ， 3 18 20 38n    ， 4 18 8 26n    ， 5 14 18 32n    ， 6 18 14 32n    ，…… 所以 2015 32n  ． ……………… 3 分（Ⅱ）证明：因为函数 29 81( ) (9 ) ( )2 4f x x x x      ， 所以对于非负整数 x ，知 ( ) (9 ) 20f x x x  ≤ .（当 4x  或 5 时，取到最大值）… 4 分 因为 1 2( ) ( ) ( ) ( )mA n f a f a f a    ， 所以 ( ) 20A n m≤ ． ……………… 6 分 令 1( ) 10 20mg m m  ，则 3 1(3) 10 20 3 0g     ． 当 3m≥ 时， 1 1( 1) g( ) 10 20( 1) 10 20 9 10 20 0m m mg m m m m            ， 所以 ( 1) g( ) 0g m m   ，函数 ( )g m ，（ mN ，且 3m≥ ）单调递增． 故 g( ) g(3) 0m ≥ ，即 110 20 ( )m m A n  ≥ ． 所以当 3m≥ 时，对于任意的 m 位自然数 n 均有 1( ) 10mA n  . …………………9 分 （Ⅲ）答： mn 的所有可能取值为 0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38． …………………14 分