甲 乙
6 6 7 6 8
8 8 2 8 3 6 7
丰台区 2014—2015 学年度第一学期期末练习 2015.01
高三数学（文科）
第一部分（选择题 共 40 分）
选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．在复平面内，复数 2i
1 i
对应的点的坐标是
(A) (-1,1) (B) (-1, -1) (C) (1, -1) (D) (1,1)
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，如果 a1=2，a3+ a5=22，那么 S3 等于
(A) 8 (B) 15 (C) 24 (D) 30
3．命题 p： x>0， e 1x ，则 p 是
(A) 0 0x ， 0e 1x (B) 0 0x ， 0e 1x
(C) 0x ， e 1x (D) 0x ， e 1x
4．已知 32log 2a ， 1
4
log 2b ，
1
32c
，则 a，b，c 的大小关系是
(A) a > b > c (B) c > b > a (C) c > a >b (D) a>c>b
5．甲、乙两名同学在 5 次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设 1x ， 2x 分别表示甲、乙两名同学测试
成绩的平均数， 1s ， 2s 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有
(A) 1 2x x ， 1 2s s (B) 1 2x x ， 1 2s s
(C) 1 2x x ， 1 2s s (D) 1 2x x ， 1 2s s
6．已知函数 siny a bx （b>0 且 b≠1）的图象如图所示，那么函数 log ( )by x a 的图象可能是
(A) (B)
(C) (D)
7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图
可能是
(A) (B)
(C) (D)
8．在平面直角坐标系 xOy 中，如果菱形 OABC 的边长为 2，点 A 在 x 轴上，则菱形内（不含边界）整点
（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是
(A) {1，2} (B) {1，2，3} (C) {0，1，2} (D) {0，1，2，3}
第二部分（非选择题 共 110 分）
一、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9．已知集合 2{ 2 0}A x x x ， {1,2,3,4}B ，则 A B ．
10．已知向量 a b ，且 ( ,1)a x ， (1, 2)b ，那么实数 x= ； a b ．
11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．
12．如果变量 x，y 满足条件
2 4 0,
2 8 0,
0,
x y
x y
x
且 3z x y ，那么 z 的取值范围是___．
13．已知圆 C： 2 2 2 4 0x y x y ，那么圆心坐标是 ；如果圆 C 的弦 AB 的中
点坐标是(-2，3)，那么弦 AB 所在的直线方程是___．
14．设函数 ( )f x 与 ( )g x 是定义在同一区间[ , ]a b 上的两个函数，如果函数
( ) ( )y f x g x 在区间[ , ]a b 上有 *( )k k N 个不同的零点，那么称函数 ( )f x 和 ( )g x 在区间[ , ]a b 上为
“ k 阶关联函数”．现有如下三组函数：
① ( )f x x ， ( ) sin 2g x x ；
② ( ) 2 xf x ， ( ) lng x x ； ③ ( ) | 1|f x x ， ( )g x x ．
其中在区间[0,4]上是“ 2 阶关联函数”的函数组的序号是___．（写出所有．．满足条件的函数组的序号）
二、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共 13 分）
已知函数 ( ) 2sin cos cos(2 ) cos(2 )6 6f x x x x x ， Rx ．
（Ⅰ）求 ( )12f 的值；
（Ⅱ）求函数 )(xf 在区间[ , ]2
上的最大值和最小值，及相应的 x 的值．
16.（本小题共 13 分）
某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考
试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出频率分布
直方图，如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的 a 值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于
90 分的概率；
（Ⅱ）设 A，B，C 三名学生的考试成绩在区间[80,90)内，M，N 两名学生的考试成绩在区间[60,70)内，
现从这 5 名学生中任选两人参加座谈会，求学生 M，N 至少有一人被选中的概率；
（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内 (只需写出结论) ．
（注：将频率视为相应的概率）
17.（本小题共 14 分）
如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠BAD=60°，平面 SAD⊥平面 ABCD，SA=SD，E，
P，Q 分别是棱 AD，SC，AB 的中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面 SAD；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面 SEQ；
（Ⅲ）如果 SA=AB=2，求三棱锥 S-ABC 的体积．
18.（本小题共 13 分）
已知函数 1( ) 1exf x x ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的极小值；
（Ⅱ）过点 (0, )B t 能否存在曲线 ( )y f x 的切线，请说明理由．
19.（本小题共 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的一个顶点为 ( 2,0)A ，离心率为 6
3
．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）直线l 过点 A ，过O 作l 的平行线交椭圆 C 于 P，Q 两点，如果以 PQ 为直径的圆与直线l 相切，
求l 的方程．
20.（本小题共 13 分）
已知数列{ }na 的前 n 项和 nS 满足
1n n
nS a
， ( 1 ， * )nN ．
（Ⅰ）如果 0 ，求数列{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）如果 2 ，求证：数列 1{ }3na 为等比数列，并求 nS ；
（Ⅲ）如果数列{ }na 为递增数列，求 的取值范围．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区 2014—2015 学年度第一学期期末练习 2015．01
高三数学（文科）答案及评分参考
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D B C A C
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
9．{3，4} 10．2； 10 11．4
12．[2,9] 13． ( 1,2) ； 5 0x y 14．①③
注：第 10，13 题第一个空 2 分；第二个空 3 分。
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15. 解：（Ⅰ） )62cos()62cos(cossin2)( xxxxxf
)6sin2sin6cos2(cos)6sin2sin6cos2(cos2sin xxxxx
xx 2cos32sin
)32sin(2 x ．
所以 22sin2)12( f ． …………………7 分
（另解） )6122cos()6122cos(12cos12sin2)12( f
3cos2sin6sin
2 ． …………………2 分
（Ⅱ）因为
2 x ，
所以 4 723 3 3x ．
所以 当 72 3 3x ，即 x 时， max 3y ；
当 32 3 2x ，即 7
12x 时， min 2y ． …………………13 分
所以当 x 时， max 3y ；当 7
12x 时， min 2y ．
16. 解：（Ⅰ） 0.1 0.03 0.025 0.02 0.01 0.015a
估计这名学生参加考试的成绩低于 90 分的概率为 1-0.15=0.85 …………………3 分
（Ⅱ）从这 5 位学生代表中任选两人的所有选法共 10 种，分别为：AB，AC ，AM，AN，BC，BM，
BN，CM，CN，MN．代表 M，N 至少有一人被选中的选法共 7 种，分别为： AM，AN，BM，
BN，CM，CN，MN．
设“学生代表 M，N 至少有一人被选中”为事件 D，
7( )=10P D ． …………………11 分
答：学生代表 M，N 至少有一人被选中的概率为 7
10
．
（Ⅲ）样本的中位数落在分组区间[70,80)内． …………………13 分
17. （Ⅰ）证明：取 SD 中点 F，连结 AF，PF．
因为 P，F 分别是棱 SC，SD 的中点，
所以 FP∥CD，且 FP= 1
2 CD．
又因为菱形 ABCD 中，Q 是 AB 的中点，
所以 AQ∥CD，且 AQ = 1
2 CD．
所以 FP//AQ 且 FP=AQ．
所以 AQPF 为平行四边形．
所以 PQ//AF．
又因为 PQ 平面 SAD ，
AF 平面 SAD ，
所以 PQ//平面 SAD ． …………………5 分
（Ⅱ）证明：连结 BD，
因为 △SAD 中 SA=SD，点 E 棱 AD 的中点，
所以 SE⊥AD．
又 平面 SAD⊥平面 ABCD，
平面 SAD 平面 ABCD=AD，
SE 平面 SAD ，
所以 SE⊥平面 ABCD，
所以 SE⊥AC．
因为 底面 ABCD 为菱形，
E，Q 分别是棱 AD，AB 的中点，
所以 BD⊥AC，EQ∥BD．
所以 EQ⊥AC，
因为 SE EQ=E，
所以 AC⊥平面 SEQ． …………………11 分
（Ⅲ）解：因为菱形 ABCD 中，∠BAD=60°，AB=2，
所以 ABCS = 1 sin2 AB BC ABC = 3 ．
因为 SA=AD=SD=2，E 是 AD 的中点，所以 SE= 3 ．
由（Ⅱ）可知 SE⊥平面 ABC，
所以三棱锥 S-ABC 的体积 V = 1 13 ABCS SE ． …………………14 分
18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为 R．
因为 1( ) 1 xf x x e
，
所以 1( )
x
x
ef x e
．
令 ( ) 0f x ，则 0x ．
x ( ,0) 0 (0, )
( )f x - 0 +
( )f x ↘ 极小值 ↗
所以 0
1( ) = (0) 0 1 0f x f e
极小值 ． …………………6 分
（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为 0 0( , )x y ，
则切线方程为 0 0 0'( )( )y y f x x x
即 0
00 0
1( 1 ) (1 )( )x
xy x e x xe
将 (0, )B t 代入得
0
0 1 1x
xt e
．
方程
0
0 1 1x
xt e
有解，等价于过点 (0, )B t 作曲线 ( )f x 的切线存在．
令 1( ) 1x
xM x e
， 所以 ( ) x
xM x e
．
当 ( ) 0x
xM x e
时， 0 0x ．
所以 当 ( ,0)x 时， ( ) 0M x ，函数 ( )M x 在 ( ,0)x 上单调递增；
当 (0, )x 时， ( ) 0M x ， ( )M x 在 (0, )x 上单调递减．
所以 当 0 0x 时， max( ) (0) 0M x M ，无最小值．
当 0t 时，方程
0
0 1 1x
xt e
有解；
当 0t 时，方程
0
0 1 1x
xt e
无解．
综上所述，当 0t 时存在切线；当 0t 时不存在切线． ………………13 分
19. 解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点在 x 轴上，
因为 2a ， 6
3
c
a
，
所以 2 6
3c ， 2 2 2 4
3b a c ．
所以 椭圆的方程为
2 23 14 4
x y ． …………………4 分
（Ⅱ）依题意，直线l 的斜率显然存在且不为 0，设l 的斜率为 k ，
则可设直线l 的方程为 ( 2)y k x ，
则原点O 到直线l 的距离为
2
| 2 |
1
kd
k
．
设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，
则 2 23 4
y kx
x y
消 y 得 2 2(3 1) 4k x ．
可得
2 2
2 2( , )
3 1 3 1
kP
k k
，
2 2
2 2( , )
3 1 3 1
kQ
k k
．
因为 以 PQ为直径的圆与直线l 相切，
所以 1 | |2 PQ d ，即| |OP d ．
所以 2 2 2
2 2 2
2 2 | 2 |( ) ( ) ( )
3 1 3 1 1
k k
k k k
，
解得 1k ．
所以直线l 的方程为 2 0x y 或 2 0x y ． …………………14 分
20. 解：（Ⅰ） 0 时， nS n ，
当 1n 时， 1 1 1a S ，
当 2n 时， 1 1n n na S S ，
所以 1na ． …………………3 分
（Ⅱ）证明：当 2 时， 2 3n n
nS a ，
1 1
12 3n n
nS a
，
相减得 1
12 3n na a ．
所以 1
1 12( )3 3n na a ，
又因为 1
1
3a ， 1
1 2 03 3a ，
所以数列 1{ }3na 为等比数列，
所以 1 2
3 3
n
na ，
12 22 3 3 3
n
n n
n nS a
． …………………8 分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，显然 0
当 1n 时，则 1 1
1
1S a
，得 1 2
1
1a
．
当 2n 时，
1n n
nS a
，
1 1
1
1n n
nS a
，
相减得 1 2
1
1 1n na a
，
即 1
1 1( )1 1 1n na a
．
因为 1 ，所以 1 2
1 01 1a
．
所以 1{ }1na
为等比数列．
所以 1
2
1 1 1( ) ( )1 1 1 1 1 1
n n
na
．
因为数列 na 为递增数列，
所以
1 01
11
或
1 01
0 11
，
所以 的取值范围是 1 或 1 ． ……………………13 分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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