2014--2015年丰台区高三数学理科期末试题及答案

丰台区 2014—2015 学年度第一学期期末练习 2015.01 高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共 40 分） 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合 2{ 2 0}A x x x    ， {1,2,3}B  ，那么 A B  (A) { 1,0,1,2,3} (B) { 1,0,3} (C) {1,2,3} (D) {1,2} 2．已知向量 (2,1)a ， ( , )x yb ，则“ 4x   且 2y   ”是“ ∥a b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学 生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是 (A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 (B) 两组同学的样本平均数一定相等 (C) 两组同学的样本标准差一定相等 (D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4．已知 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 的对边， 7b ， 3c ， 6 B ，那么 a 等于 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1 或 4 5．已知函数 log ( )by x a  （b>0 且 b≠1）的图象如图所示，那么函数 siny a bx  的图象可能是 (A) (B) (C) (D) 6．2014 年 11 月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有 21 个国家 和地区的领导人或代表．其间组委会安排这 21 位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排 11 人， 后排 10 人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果 对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有 (A) 18 18A 种 (B) 2 18 2 18A A 种 (C) 2 8 10 3 18 10A A A 种 (D) 20 20A 种 7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视 图可能是 (A) (B) (C) (D) 8．在平面直角坐标系 xOy 中，如果菱形 OABC 的边长为 2，点 B 在 y 轴上，则菱形内（不含边界）的整 点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是 (A) {1，3} (B) {0，1，3} (C) {0，1，3，4} (D) {0，1，2，3，4} 第二部分 （非选择题 共 110 分） 一、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．在复平面内，复数 ， 2z 对应的点分别是 A，B（如图所示），则复数 的值是 ． 10．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，如果 a1=2，a3+a5=22，那么 S3 等于 ． 11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___． 开始 结束 输出 S a=1，b=1，S=2 c=a+b S=S+c 是 c>5 否 a= b b= c 12．若变量 x，y 满足条件 2 1 0, 0, , x y x y y k         且 z x y  的最大值是 10，则 k 的值是 ． 13．过点 0( 3, )M y 作圆 O： 2 2 1x y  的切线，切点为 N ，如果 0 =0y ，那么切线的斜率是 ；如果 6OMN   ，那么 0y 的取值范围是 ． 14．设函数 ( )y f x 的定义域为 D ，如果存在非零常数T ，对于任意 x D ，都有 ( ) ( )f x T T f x   ， 则称函数 ( )y f x 是“似周期函数”，非零常数T 为函数 ( )y f x 的“似周期”．现有下面四个关于 “似周期函数”的命题： ①如果“似周期函数” ( )y f x 的“似周期”为-1，那么它是周期为 2 的周期函数； ②函数 ( )f x x 是“似周期函数”； ③函数 -( ) 2 xf x  是“似周期函数”； ④如果函数 ( ) cosf x x 是“似周期函数”，那么“ ,k k  Z ”． 其中是真命题的序号是 ．（写出所有．．满足条件的命题序号） 二、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共 13 分） 已知函数 2( ) 2 3sin( )cos( ) 2cos ( ) 14 4 4f x x x x        ， xR ． （Ⅰ）求函数 )(xf 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 )(xf 在区间[0, ]2  上的最大值和最小值及相应的 x 的值． 16. （本小题共 13 分） 某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考 试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中 样本数据分组区间为[50,60) ，[60,70) ，[70,80) ，[80,90) ， [90,100]． （Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩； （Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学，求 这名同学考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的概率； （Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取 3 名同学，这 3 名同学中考试成绩在 80 分以上（含 80 分）的人数记为 X ，求 X 的分布列及数学期望． （注：频率可以视为相应的概率） 17. （本小题共 14 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PA⊥底面 ABCD，M 是棱 PD 的中点，且 PA=AB=AC=2， 2 2BC  ． （Ⅰ）求证：CD⊥平面 PAC； （Ⅱ）求二面角 M-AB-C 的大小； （Ⅲ）如果 N 是棱 AB 上一点，且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为 10 5 ，求 AN NB 的值． 18.（本小题共 13 分） 已知函数 ( ) e 1xf x x    ． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的极小值； （Ⅱ）如果直线 1y kx  与函数 ( )f x 的图象无交点，求 k 的取值范围． 19.（本小题共 14 分） 已知椭圆 C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点 ( 3,0)F ，点 1( 3, )2M  在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）直线l 过点 F ，且与椭圆C 交于 A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为 P ，如果△OAB 的面积为 | | 4 2 | | AB OP   （  为实数），求  的值． 20.（本小题共 13 分） 已知数列{ }na 满足 1 1a  ， 1 1n na a   ， ( 1  ， 2n  且 *)nN ． （Ⅰ）求证：当 0  时，数列 1{ }1na   为等比数列； （Ⅱ）如果 2  ，求数列{ }nna 的前 n 项和 nS ； （Ⅲ）如果[ ]na 表示不超过 na 的最大整数，当 2 1   时，求数列{[( 1) ]}na  的通项公式． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 丰台区 2014—2015 学年度第一学期期末练习 2015.01 高三数学（理科）答案及评分参考 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C B B A D 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． 1 i  10．15 11．20 12．5 13． 2 2  ； 01 1y   14． ①③④ 注：第 13 题第一个空 2 分；第二个空 3 分。 三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 解：（Ⅰ） 1)4(cos2)4cos()4sin(32)( 2   xxxxf )22cos()22sin(3   xx xx 2sin2cos3  )32sin(2  x   2 2T ． …………………7 分 （Ⅱ）因为 0 2x   ， 所以 423 3 3x     ． 所以 当 2 3 2x    ，即 12 x 时， 2max y ； 当 3 4 32  x ，即 2 x 时， 3min y ． …………………13 分 所以当 12 x 时，函数有最大值是 2 ；当 2 x 时，函数有最小值是 3 ． 16. 解：（Ⅰ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为： 0.1 55 0.2 65 0.3 75 0.25 85 0.15 95          5.76 ． ………………2 分 （Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上为事件 A． ( ) 0.025 10 0.015 10 0.4P A      答：被抽到的这名同学考试成绩在 80 分以上的概率为 0.4． ……………6 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概率为 5 2 ， X 可能的取值是 0，1，2，3． 125 27)5 3()5 2()0( 300 3  CXP ； 125 54)5 3()5 2()1( 211 3  CXP ； 125 36)5 3()5 2()2( 122 3  CXP ； 125 8)5 3()5 2()3( 033 3  CXP ． X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 125 27 125 54 125 36 125 8 ……………12 分 所以 27 54 36 8 6( ) 0 1 2 3125 125 125 125 5E X          ． ……………13 分 （或 2~ (3, )5X B ，所以 2 6( ) 3 5 5E X np    ．） 17. 证明：（Ⅰ）连结 AC． 因为在△ABC 中， AB= AC=2， 2 2BC  ， 所以 222 ACABBC  ， 所以 ACAB  ． 因为 AB ∥CD ， 所以 AC CD ． 又因为 PA  底面 ABCD ， 所以 PA CD ． 因为 APAAC  ， 所以 CD⊥平面 PAC． ………………4 分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系， 则 (0,0,0)A ， (0,0,2)P ， (2,0,0)B ， (0,2,0)C ， ( 2,2,0)D  ． 因为 M 是棱 PD 的中点， 所以 ( 1,1,1)M  ． 所以 ( 1,1,1)AM   ， (2,0,0)AB  ． 设 ),,( zyxn  为平面 MAB 的法向量， 所以      0 0 ABn AMn ， 即 0 2 0 x y z x       ， 令 1y  ，则 0 1 1 x y z       ， 所以平面 MAB 的法向量 )1,-1,0(n ． 因为 PA⊥平面 ABCD， 所以 (0,0,2)AP  是平面 ABC 的一个法向量． 所以 2 2cos , 22 2 n APn AP AP n              ． 因为二面角 M-AB-C 为锐二面角， 所以二面角 M-AB-C 的大小为 4  ． ………………10 分 （Ⅲ）因为 N 是在棱 AB 上一点，所以设 )0,0,(xN ， ( ,2,0)NC x  ． 设直线 CN 与平面 MAB 所成角为 ， 因为平面 MAB 的法向量 )1,-1,0(n ， 所以sin cos( )2 n NC n NC           2 2 10 52 4x     ． 解得 1x  ，即 1AN  ， 1NB  ，所以 1AN NB  ． ………………14 分 18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为 R． 因为 ( ) 1xf x x e   ， 所以 1( ) x x ef x e   ． 令 ( ) 0f x  ，则 0x  ． x ( ,0) 0 (0, ) ( )f x - 0 + ( )f x ↘ 极小值 ↗ 所以 当 0x  时函数有极小值 ( ) = (0) 0f x f 极小值 ． ………………6 分 （Ⅱ）函数 1( ) 1 xf x x e    ． 当 0x  时 0 1( ) 0 1 0f x e     ， 0 1 1y k     ， 所以要使 1y kx  与 ( )f x 无交点，等价于 ( ) 1f x kx  恒成立． 令 1( ) 1 ( 1)xg x x kxe      ，即 ( ) (1 ) xg x k x e   ， 所以 (1 ) 1( ) x x k eg x e    ． ①当 1k  时， 1( ) 0xg x e   ，满足 1y kx  与 ( )f x 无交点； ②当 1k  时， 1 1 1 11 1( ) (1 ) 11 1 k kg k e ek k        ， 而 1 01 k  ， 1 1 1ke   ， 所以 1( ) 01g k  ，此时不满足 1y kx  与 ( )f x 无交点． ③当 1k  时，令 (1 ) 1( ) 0 x x k eg x e     ， 则 ln(1 )x k   ， 当 ( , ln(1 ))x k    时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 ( , ln(1 ))k   上单调递减； 当 ( ln(1 ), )x k    时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 ( ln(1 ), )k   上单调递增； 当 ln(1 )x k   时， min( ) ( ln(1 )) (1 )(1 ln(1 ))g x g k k k       ． 由 (1 )(1 ln(1 )) 0k k    得1 1e k   ， 即 1y kx  与 ( )f x 无交点． 综上所述 当 (1 ,1]k e  时， 1y kx  与 ( )f x 无交点． ……………13 分 19. 解：（Ⅰ）由题意知： 3c = ． 根据椭圆的定义得： 2 21 12 ( 3 3) ( )2 2a = - - + + ， 即 2a = ． 所以 2 4 3 1b = - = ． 所以椭圆 C 的标准方程为 2 2 14 x y  ． ……………4 分 （Ⅱ）由题意知，△ABC 的面积 1 | | 4= | | | | =2 2 | |ABC ABS AB OP OP    ， 整理得 2 4= | | | |OP AB   ． ① 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是 3x  ． 此时 | | 1AB = ，| | 3OP  ，所以 2 4= | | = 1| |OP AB    ． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 = ( 3)y k x- ， 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ． 由 2 2 14 = ( 3) x y y k x ìïï + =ïïíïïï -ïî 可得 2 2 2 2(4 1) 8 3 12 4 0k x k x k+ - + - = ． 显然 0> ，则 2 1 2 2 2 1 2 2 8 3 ,4 1 12 4 .4 1 kx x k kx x k ìïï + =-ïï +ïíï -ïï =ï +ïî 因为 1 1= ( 3)y k x - ， 2 2= ( 3)y k x - ， 所以 2 2 1 2 1 2| | ( ) ( )AB x x y y= - + - 2 2 1 2( 1)( )k x x= + - 2 2 1 2 1 2( 1)[( ) 4 ]k x x x x= + + - 2 2 14 4 1 k k += + ． 所以 2 2 2 22 | 3 | 3| | ( ) 11 k kOP kk -= = ++ ， 此时， 2 2 2 2 3 4 1= = 11 1 k k k k     ． 综上所述，  为定值 1 ． ……………14 分 20. 解：（Ⅰ）当 0  时，设 1 1n nb a    ， 则 当 2n  时， 1 1 1 1 1 1 n n n n ab b a         ． 因为 1 1n na a   ， 所以 1 1 1 11 1 1 1 n n n n ab b a            1 1 1 1 1( )1 1 1 1 1 1 n n n n a a a a                   为常数． 因为 1 1 01 1a       ， 所以 数列 1{ }1na   是首项为 1    ，公比为  的等比数列． ……………4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2  时{ 1}na  为首项为 1    ，公比为  的是等比数列， 所以 1 2n na   ． 2n nna n n  ． 设 21 2 2 2 2n nA n       ， 则 2 3 12 1 2 2 2 2n nA n        ． 相减得 2 12 2 2 2n n nA n        1( 1) 2 2nn     ． 设 2 1 2 2 2n n nB n      ， nS  n nA B  2 1( 1) 2 2 2 2 n n nn      ． 即 nS  2 1( 1) 2 2 2 2 n n nn      ． ……………9 分 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知 1 1 1 1 1 1 n n na           ． 设 ( 1) 1 ( 2 1) 1n n n nc a        ， 由二项式定理可知 ( 2 1) ( 2 1)n n    为整数， 所以 ( 2 1) ( 2 1) 2, 2 ,[ ] ( 2 1) ( 2 1) 1, 2 1. n n n n n n kc n k                *( )k N ． 所以 3 ( 1)[ ] ( 2 1) ( 2 1) 2 2 n n n nc        ． ……………13 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）