2014--2015年朝阳区高三文科数学期末试题及答案

北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文史类） 2015.1 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项. 1. 设i 为虚数单位，则复数 1 iz   的模 z = A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 2. 已知全集U  R ，若集合  2 0A x x x   ，则 U A ð A.  0x x  ，或 1x  B.  0x x  ，或 1x  C.  0 1x x  D. 1x x  3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A.1 B. 2 C.3 D. 4 正视图 侧视图 俯视图 4.执行如右图所示的程序框图,则输出的 i 的值是 A.3 B.4 C.5 D.6 5.若 ,a b 是两个非零的平面向量，则 “ a = b ”是“ ( ) ( ) = 0a + b a b ”的 A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，塔 AB 底部为点 B ，若 ,C D 两点相距为 100m 并且与点 B 在同一水平线上，现从 ,C D 两点测得塔顶 A 的仰角分别为 45o 和 30o ，则塔 AB 的高约为（精确到 0.1m， 3 1.73 ， 2 1.41 ） A. 36.5 B. 115.6 C. 120.5 D. 136.5 7.已知定义在 R 上的函数 ( 1) 1, ( ) 2 2 1,x x x x f x x       若直线 y a 与函数 ( )f x 的图象恰有 两个公共点，则实数 a 的取值范围是 A.  0,2 B. 0,2 C. 0,2 D.  1,2 8. 如图，在正方体中 1 1 1 1ABCD A BC D ， M 为 BC 的中点，点 N 在四边形 1 1CDDC 及其 内部运动．若 1 1MN AC ，则 N 点的轨迹为 A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上． 9. 双曲线 2 2: 14 xC y  的离心率是 ；渐近线方程是 ． 10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂 80 户居民月收入,列出频率分布表 如下: 按家庭人均月 收入分组(百 元) 第一组  10,16 第二组  16, 22 第三组  22, 28 第四组  28,34 第五组  34, 40 第六组  40,46 频率 0.1 0.2 0.15 a 0.1 0.1 则这 80 户居民中, 家庭人均月收入在 2800,3400 元之间的有 户（用数字作 答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭 中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 . A B CD A1 B1 C1D1 M N . 11. 已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线 2 1y x  上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则 圆C 的标准方程是 ______. 12. 某单位有职工共 60 人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育 运动的共 28 人，喜欢文艺活动的共 26 人，还有 12 人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人. 13. 在平面直角坐标系中，若关于 ,x y 的不等式组 0, , ( 1) y y x y k x       表示一个三角形区域，则实 数 k 的取值范围是______. 14. 设 2 2 1 2( ) cos ( 1)sin cos 3sinf x a x a x x x    （ 2 2 1 2 0a a  ），若无论 x 为何值， 函数 ( )f x 的图象总是一条直线，则 1 2a a 的值是______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分 13 分） 某幼儿园有教师 30人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下： 本科 研究生 合计 35 岁以下 5 2 7 35 ～ 50 岁 （ 含 35 岁 和 50 岁） 17 3 20 50 岁以上 2 1 3 （Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率； （Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，求有 35 岁以下的研究生或 50 岁以上的研究生的概率. 16. （本小题满分 13 分） 已知平面向量 a = (sin ,cos )x x ，b = (sin , cos )x x ，c = ( cos , sin )x x  ，xR ， 函数 ( ) ( )f x   a b c . （Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 2 2 2f      ，求sin 的值. 17. （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PD  平面 ABCD ．点 E 是线段 BD 的中点，点 F 是线段 PD 上的动点． （Ⅰ）若 F 是 PD 的中点，求证： EF //平面 PBC ； （Ⅱ）求证： CE BF ； （Ⅲ）若 2AB  ， 3PD  ，当三棱锥 P BCF 的体积等于 4 3 时，试判断点 F 在边 PD 上的位置，并说明理由. 18.18.（本小题满分 13 分） 已知公比为 q 的等比数列 na ( )n N 中， 2 2a  ，前三项的和为 7 . （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若 0 1q  ，设数列{ }nb 满足 1 2 ...n nb a a a    ， n N ,求使 0 1nb  的 n 的 最小值. 19. （本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) e lnxf x a x  ， aR . （I）若 1x  是 ( )f x 的极值点，求 a 的值： （Ⅱ）当 ea  时，求证： ( ) ef x  . D A P C E F B 20. （本小题满分 14 分） 已知离心率为 3 2 的椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     与直线 2x  相交于 ,P Q 两点（点 P 在 x 轴上方），且 2PQ  ．点 ,A B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的两个动点，且 APQ BPQ   ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）求四边形 APBQ 面积的取值范围． S>15? 北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案（文史类） 2015.1 一、选择题：（满分 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D B C D B A 二、填空题：（满分 30 分） 题 号 9 10 11 12 13 14 答 案 5 2 ； 1 2y x  28;0.3 2 21 1 1) ( )3 3 9x+ y  （ 22 0k  4 （注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题：（满分 80 分） 15. （本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件 A ， 由题可知幼儿园总共有教师 30 人，其中“具有研究生学历”的共 6 人. 则 6 1( ) = =30 5P A . 答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为 1 5 . ………4 分 （Ⅱ）设幼儿园中 35 岁以下具有研究生学历的教师为 A1 ，A2 ，35～50 岁(含 35 岁和 50 岁) 具有研究生学历的教师为 B1 ，B2 ，B3 ， 50 岁以上具有研究生学历的教师为C ，从幼儿园 所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，所有可能结果有 15 个，它们是： （ A1 ， A2 ），（ A1 ， B1 ），（ A1 ， B2 ），（ A1 ， B3 ），（ A1 ，C ），（ A2 ， B1 ），（ A2 ， B2 ）， （ A2 ， B3 ），（ A2 ，C ），（ B1 ， B2 ），（ B1 ， B3 ），（ B1 ，C ），（ B2 ， B3 ），（ B2 ，C ）， （ B3 ，C ）， 记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究生或 50 岁以 上的研究生”为事件 D ，则 D 中的结果共有 12 个，它们是：（ A1 ，A2 ），（ A1 ，B1 ），（ A1 ， B2 ），（ A1 ， B3 ），（ A1 ，C ），（ A2 ， B1 ），（ A2 ， B2 ），（ A2 ， B3 ），（ A2 ，C ），（ B1 ， C ），（ B2 ，C ），（ B3 ，C ），故所求概率为 12 4( ) = =15 5P D ． 答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取 2 人，有 35 岁以下的研究生或 50 岁以 上的研究生的概率为 4 5 . ………………13 分 16.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）因为 a = (sin ,cos )x x ， b = (sin , cos )x x ， c = ( cos , sin )x x  ， 所以  ( ) sin cos ,sin cosx x x x   b c ， ( ) ( )f x   a b c =sin (sin cos ) cos (sin cos )x x x x x x   . 则 ( )f x  2 2sin 2sin cos cosx x x x  =sin 2 cos2x x 2 sin(2 )4x   . 则当 2 2 22 4 2k x k         时，即 8 8k x k       时， 函数 ( )f x 为减函数， k Z . 所以函数 ( )f x 的单调递减区间是 ,8 8k k        ， k Z . ………………7 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ( ) 2 sin(2 )4f x x   ，又 2 2 2f      ， 则 22 sin( )4 2    ， 1sin( )4 2    . 因为 2 2sin ( ) cos ( ) 14 4       ，所以 3cos( )4 2     . sin sin ( )4 4          π π π πsin( )cos cos( )sin4 4 4 4      . 所以当 3cos( )4 2    时，sin  1 2 3 2 6 2 2 2 2 2 4     ； 当 3cos( )4 2     时，sin  1 2 3 2 2 6( )2 2 2 2 4      . ………………13 分 17. （本小题满分 14 分） （Ⅰ）证明： 在 PDB 中，因为点 E 是 BD 中点，点 F 是 PD 中点， 所以 EF // PB ． 又因为 EF  平面 PBC ， PB  平面 PBC ， 所以 EF //平面 PBC ．…………4 分 （Ⅱ）证明： 因为 PD  平面 ABCD ， 且CE  平面 ABCD ， 所以 PD CE ． 又因为底面 ABCD 是正方形，且点 E 是 BD 的中点， 所以CE BD ． 因为 BD PD D ，所以CE  平面 PBD ， 而 BF  平面 PBD ，所以CE BF ． …………9 分 （Ⅲ）点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点． 说明如下： 由（Ⅱ）可知， CE  平面 PBF ． 又因为 PD  平面 ABCD ， BD  平面 ABCD ，所以 PD BD . 设 PF x ． 由 2AB  得 2 2BD  ， 2CE  ， 所以 1 1 1 22 2 23 2 6 3P BCF C BPFV V PF BD CE x x           ． 由已知 2 4 3 3x  ， 所以 2x  ． 因为 3PD  ，所以点 F 为边 PD 上靠近 D 点的三等分点．…………14 分 18. （本小题满分 13 分） （Ⅰ）由已知得， 2 1 2 3 2 7 a a a a      ，解得 2q  ， 1 1a  或 1 2q  ， 1 4a  ． 则数列 na 的通项公式为 12n na  或 31( )2 n na  ， n N ……………5 分 （Ⅱ）因为 0 1q  ，所以 31( )2 n na  ， n N . ( 5) 2 1 0 ... ( 3) 2 1 2 1 1... ( ) ( )2 2 n n n n nb a a a             ， n N . D A P C E F B 由 0 1nb  ，即 ( 5) 210 ( ) 12 n n   ，即 ( 5) 02 n n   ，即 即 5n  .则使 0 1nb  的最小的 n 的值为 6 ． …………………13 分 19. （本小题满分 13 分） （I）函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) . 因为 ( ) ex af x x    , 又 1x  是 ( )f x 的极值点,所以 (1) e 0f a    ，解得 ea  . 经检验， 1x  是 ( )f x 的极值点， 所以 a 的值为 e . ………5 分 （Ⅱ）证明： 方法 1： 当 ea  时， ( ) e elnxf x x  . 所以 e e e( ) e x x xf x x x     . 若 0 1x  ，则1exx ，所以 e e>0xx  . 所以函数 ( )f x 在 (1, ) 单调递增. 所以当 1x  时， min( ) (1) ef x f  . ( 0x  时， e elnx x   ; x   时， e elnx x   .) 所以 ( ) ef x  . ………13 分 方法 2： 当 ea  时， ( ) e elnxf x x  ， 所以 e e e( ) e x x xf x x x     . 设 ( ) e exg x x  ，则 ( ) e ( 1)xg x x   ，所以 ( )g x 在 (0, ) 单调递增. 又 (1) 0g  ，所以当 (0,1)x 时， ( ) 0g x  ，即 ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 (0,1) 单调递减； 当 (1, )x  时， ( ) 0g x  ，即 ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 在 (1, ) 单调递增. （接下来表述同解法 1 相应内容） 所以 ( ) ef x  . ………13 分 20.（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由已知得 3 2e  ，则 1 2 b a  ，设椭圆方程为 2 2 2 2 1( 0)4 x y bb b    由题意可知点 (2,1)P 在椭圆上， 所以 2 2 4 1 14b b   ．解得 2 2b  ． 故椭圆 C 的标准方程为 2 2 18 2 x y  ． ………4 分 （Ⅱ）由题意可知，直线 PA ，直线 PB 的斜率都存在且不等于 0． 因为 APQ BPQ   ，所以 PA PBk k  ． 设直线 PA 的斜率为 k ，则直线 : 1 ( 2)PA y k x   （ 0k  ）． 由 2 24 8 (1 2 ), x y y kx k        得 2 2 2(1 4 ) 8 (1 2 ) 16 16 4 0k x k k x k k       ……(1). 依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式 0  成立. 即  2 2 2 264 (1 2 ) 4(1 4 ) 16 16 4 0k k k k k        , 化简得 216(2 1) 0k   ，解得 1 2k   . 因为 2 是方程（1）的一个解，所以 2 2 16 16 42 1 4A k kx k     ． 所以 2 2 8 8 2 1 4A k kx k    ． 当方程（1）根的判别式 0  时， 1 2k   ，此时直线 PA 与椭圆相切. 由题意，可知直线 PB 的方程为 1 ( 2)y k x    ． 同理，易得 2 2 2 2 8( ) 8( ) 2 8 8 2 1 4( ) 1 4B k k k kx k k          ． 由于点 ,A B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的两个动点， APQ BPQ   ， 且能存在四边形 APBQ ，则直线 PA 的斜率 k 需满足 1 2k  . 设四边形 APBQ 面积为 S ，则 1 12 22 2APQ BPQ A BS S S PQ x PQ x         2 2 2 2 1 8 8 2 8 8 2 2 1 4 1 4B A k k k kPQ x x k k          2 16 1 4 k k   由于 1 2k  ，故 2 16 16 11 4 4 kS k kk    . 当 1 2k  时， 1 4 4kk   ，即 1 10 1 44 kk    ，即 0 4S  . (此处另解：设 t k ，讨论函数 1( ) 4f t tt   在 1 ,2t      时的取值范围. 2 2 2 1 4 1( ) 4 tf t t t     ，则当 1 2t  时， ( ) 0f t  ， ( )f t 单调递增. 则当 1 2t  时， ( ) (4, )f t   ，即 S   0,4 .) 所以四边形 APBQ 面积 S 的取值范围是 0,4 . ………14 分