北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（理工类） 2015．1
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．设i 为虚数单位，则复数 1 i
iz 在复平面内对应的点所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线l 交抛物线于 ,A B 两点．若 AB 中点 M 到抛物线准线
的距离为 6，则线段 AB 的长为
A． 6 B．9 C．12 D．无法确定
3．设函数 ( ) sin(2 )3f x x 的图象为 C ，下面结论中正确的是
A．函数 ( )f x 的最小正周期是
B．图象 C 关于点 ( ,0)6
对称
C．图象 C 可由函数 ( ) sin 2g x x 的图象向右平移
3
个单位得到
D．函数 ( )f x 在区间 ( , )2
上是增函数
4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是
A． 4 2 6 B．8
C． 4 2 3 D． 4 3
5． ， 表示不重合的两个平面， m ，l 表示不重合的两条直线．若 m ，l ，
l ，则“l ∥ m ”是“l ∥ 且l ∥ ”的
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在 ABC 中， π
4B ，则sin sinA C 的最大值是
A．1 2
4
B． 3
4 C． 2
2 D． 2 2
4
7．点O 在 ABC 的内部，且满足 2 4OA OB OC 0
，则 ABC 的面积与 AOC 的面
积之比是
A． 7
2 B． 3 C． 5
2 D．2
8.设连续正整数的集合 1,2,3,...,238I ，若 T 是 I 的子集且满足条件：当 x T 时，
7x T ，则集合T 中元素的个数最多是（ ）
A. 204 B. 207 C. 208 D. 209
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．
9．角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 (1,2)P ，则sin(π )
的值是 ．
10．双曲线 2 2:C x y （ 0 ）的离心率是 ；渐近线方程是 ．
11．设不等式组
2 4 0,
0,
0
x y
x
y
表示平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一点 P ，则点 P
落在圆 2 2 1x y 内的概率为 ．
12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1 点响 1 声，2 点响 2 声，3 点响 3 声，……，
12 点响 12 声（12 时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为 1 秒．在一次大
钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是 12 点的报时，则此人至少需等待
秒才能确定时间；如果此次是 11 点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．
13．在锐角 AOB 的边OA 上有异于顶点O 的 6 个点，边OB 上有异于顶点O 的 4 个点，加
上点O ，以这 11 个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．
14．已知函数 1
sin π( ) ( )π πx x
xf x x R ．下列命题：
①函数 ( )f x 既有最大值又有最小值；
②函数 ( )f x 的图象是轴对称图形；
③函数 ( )f x 在区间[ π,π] 上共有 7 个零点；
④函数 ( )f x 在区间 (0,1) 上单调递增．
其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分 13 分）
退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某
城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁（含 20 岁和 80 岁）之间
的 600 人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制
频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年
人”， [60,80]为“老年人”.
（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的 600 人的平均年龄；
（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在 20-80 年龄段的人口分布的概率．从该城市 20-80
年龄段市民中随机抽取 3 人，记抽到“老年人”的人数为 X ，求随机变量 X 的分
布列和数学期望．
O
频率
组距
20 30 40 50 60 8070
0.01
0.03
0.02
年龄
1 6．（本小题满分 14 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAB 底面 ABCD ，
PA AB ，点 E 是 PB 的中点，点 F 在边 BC 上移动．
（Ⅰ）若 F 为 BC 中点，求证： EF //平面 PAC ；
（Ⅱ）求证： AE PF ；
（Ⅲ）若 2PB AB ，二面角 E AF B 的余弦值等于 11
11
，试判断点 F 在边 BC 上的
位置，并说明理由.
17．（本小题满分 13 分）
若有穷数列 1a ， 2a ， 3, , ma a （ m 是正整数）满足条件： 1( 1,2,3, , )i m ia a i m ，
则称其为“对称数列”．例如， 1,2,3,2,1 和 1,2,3,3,2,1 都是“对称数列”．
（Ⅰ）若 }{ nb 是 25 项的“对称数列”，且 ,13b ,14b 15 ,b ， 25b 是首项为 1，公比为 2 的等
比数列．求 }{ nb 的所有项和 S ；
（Ⅱ）若 }{ nc 是 50 项的“对称数列”，且 ,26c ,27c 28 ,c ， 50c 是首项为 1，公差为 2 的等
差数列．求 }{ nc 的前 n 项和 nS ，1 50,n n N .
D
P
C
B
F
A
E
18．（本小题满分 13 分）
设函数 2
e( ) ,1
ax
f x ax
R ．
（Ⅰ）当 3
5a 时,求函数 )(xf 的单调区间；
（Ⅱ）设 ( )g x 为 ( )f x 的导函数，当 1[ ,2e]ex 时，函数 ( )f x 的图象总在 ( )g x 的图象的上
方，求 a 的取值范围．
19．（本小题满分 14 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
过点 3(1, )2
，离心率为 3
2
．过椭圆右顶点 A 的两
条斜率乘积为 1
4
的直线分别交椭圆C 于 ,M N 两点．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线 MN 是否过定点 D ？若过定点 D ，求出点 D 的坐标；若不过，请说明理由．
20．（本小题满分 13 分）
已知函数 1 2 3( ) ( )( )( )f x x x x x x x ， 1x ， 2x ， 3x R ,且 1 2 3x x x ．
（Ⅰ）当 1 0x ， 2 1x ， 3 2x 时，若方程 ( )f x mx 恰存在两个相等的实数根，求实数
m 的值；
（Ⅱ）求证：方程 ( ) 0f x 有两个不相等的实数根；
（Ⅲ）若方程 ( ) 0f x 的两个实数根是 , ，试比较 1 2
2
x x 与 , 的大小并说
明理由．
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