A B
C
1A 1B
1C
M
(第 9 题图)
一、填空题：
1．若复数 满足 (为虚数单位),则 ___▲___.
2．某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比为 3:4:7,现用分层抽样的方法抽取
容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 15 件,那么样本容量 n 为___▲____．
3．已知向量 ),1,0(),1,2( ba 若 ,//)( aba 则实数 ▲ ．
4．某算法的伪代码如下图所示,若输出 y 的值为 3,则输入 x 的值为___▲___.
5．已知{ }na 是等差数列，若 7 52 3 0a a ，则 9a 的值是 ▲ .
6．已知函数 ( ) 4 ( 0, 0)af x x x ax
在 3x 时取得最小值,则 a ▲ .
7．若 1cos( )3 3
，则sin(2 )
的值是 ▲ ．
8．在平面直角坐标系 xOy 中,直线 032 yx 被圆 4)1()2( 22 yx
截得的弦长为 ▲ ．
9．如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，若各条棱长均为 2，且 M
为 1 1AC 的中点，则三棱锥 1M AB C 的体积是 ▲ ．
10．设函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x≤ 时， 2( )f x x x ，
则关于 x 的不等式 ( ) 2f x 的解集是 ▲ ．
11．已知函数 )0)(sin(2)( xxf 的图象关于直线
3
x 对称，且 ,0)12( f 则 的最小
值为______▲____
12．如图，在矩形 ABCD 中， 2 2AB BC ， ，点 E 为 BC 的中点，
点 F 在边 CD 上，
若 2AB AF
，则 AE BF
的值是 ▲ ．
13.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x b 是曲线 lny a x 的切线，
则当 a ＞0 时，实数 b 的最小值是 ▲ ．
14．在正项等比数列 na 中， 5 6 7
1 , 32a a a ，则满足 1 2 1 2n na a a a a a 的最大正
整数 n 的值为 ▲ ．
二、解答题:
15．已知 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，
3B ．
（1）若 2a ， 2 3b ，求 c 的值； （2）若 tan 2 3A ，求 tanC 的值．
16．如图， 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且 PB PD ．
（1）求证： BD PC ；（2）若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为l ，求证： //BC l ．
17．如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知 AB 为直径，且 2AB km, O 为圆心， C 为
圆周上靠近 A 的一点，D 为圆周上靠近 B 的一点，且CD ∥ AB ．现在准备从 A 经过C 到 D
建造一条观光路线，其中 A 到C 是圆弧 AC ， C 到 D 是线 段CD .设 radAOC x ，观光路
线总长为 kmy .
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）求观光路线总长的最大值.
18. 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 21 , FF 分 别 是 椭 圆
(第 17 题图)
OA
C D
B
)0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的左、右焦点，顶点 B 的坐标为 ),0( b ，连结 2BF 并延长交椭圆于点 A，过
点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 CF1 .
（1）若点 C 的坐标为 )3
1,3
4( ,且 22 BF ,求椭圆的方程；（2）若 ,1 ABCF 求椭圆离心率 e 的值.
19．设等比数列 }{ na 的首项为 ,21 a 公比为 qq( 为正整数），且满足 33a 是 18a 与 5a 的等差中项；
数列 }{ nb 满足 ).,(02
3)(2 *2 NnRtbnbtn nn
（1）求数列 }{ na 的通项公式；（2）试确定 t 的值，使得数列 }{ nb 为等差数列.
20．已知函数 2( ) ( ) exf x x a 在 2x 时取得极小值．
（1）求实数 a 的值； （2）是否存在区间 ,m n ，使得 ( )f x 在该区间上的值域为 4 4[e ,e ]m n ？
若存在，求出 m ， n 的值；若不存在，说明理由．
数学参考答案与评分标准
数学Ⅰ 必做题部分
一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需写出解题过程，请把答案直接填
写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）
二、解答题: 本大题共 6 小题， 15~17 每小题 14 分，18~20 每小题 16 分，共计 90 分．请在答题．．
卡指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明．．．．．．．．．．、．证．明．过程或演算步骤．．．．．．．．
15．（1）由余弦定理得， 2 2 2 2 cosb c a c a B ， …………………………3 分
因为
3B ， 2a ， 2 3b ，
所以 212 4 2c c ，即 2 2 8 0c c …………………………5 分
解之得 4c ， 2c （舍去）．
所以 4c . ……………………………7 分
所以 2cosy x x ， 0, 2x
…………………………………………7 分
(2)记 2cosf x x x ,则 ( ) 1 2sinf x x ， ………………………………9 分
令 ( ) 0f x ，得
6x ， ………………………………………………11 分
列表
x (0，
6
)
6
(
6
，
2
)
( )f x ＋ 0 －
f (x) 递增 极 大
值 递减
所以函数 f x 在 π
6x 处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13 分
即 ( ) 36 6f ，
答：观光路线总长的最大值为 36
千米． ……………………………14 分
19．（Ⅰ）因为 ,所以 ，
解得 （舍），则 ------------- 3 分
又 ，所以 ----------------------------5 分
（Ⅱ）由 ，得 ，
所以 ,则由 ，得 ------------ 8 分
而当 时， ，由 （常数）知此时数列 为等差数列 ------------- 10 分
20．（本小题满分 16 分）
【解】（1） ( ) e ( )( 2)xf x x a x a ，
由题意知 (2) 0f ，解得 2a 或 4a ． …………………………… 2 分
当 2a 时， ( ) e ( 2)xf x x x ，
易知 ( )f x 在 (0,2) 上为减函数，在 (2, ) 上为增函数，符合题意；
当 4a 时， ( ) e ( 2)( 4)xf x x x ，
易知 ( )f x 在 (0,2) 上为增函数，在 (2,4) ， (4, ) 上为减函数，不符合题意．
所以，满足条件的 2a ． …………………………… 5 分
（2）因为 ( ) 0f x ≥ ，所以 0m≥ ． …………………………… 7 分
① 若 0m ，则 2n≥ ，因为 4(0) 4 ef n ，所以 2 4( 2) e enn n ． …………… 9 分
设
2( 2)( ) e ( 2)xxg x xx
≥ ，则
2 2
2
4 ( 2)( ) e 0xx xg x x x
≥ ，
所以 ( )g x 在[2, ) 上为增函数．
由于 4(4) eg ，即方程 2 4( 2) e enn n 有唯一解为 4n ．…………………………… 11 分
② 若 0m ，则 2 ,m n ，即 2n m 或 0 2m n ．
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