江苏省梁丰高级中学 2012 届高三数学第一学期期末考全真模拟卷
（必做题）
一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在相应的位置上．．．．．．．
1．若复数 3 ( ,1 2
a i a R ii
为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 ▲ .
2．已知集合 2 2{ | 3 0}, { | 2, [ 2,1]}A x x x B y y x x ，
则 A B ▲ .
3．已知函数 ( ) sin( )( 0,| | )2f x A x 的部分图象如图，
则 = ▲ .
4．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低
分后，则剩下数据的方差 2s ▲ ．（参考公式： 2 2
1
1 ( )
n
i
i
s x xn
）
5．已知直线 ,m l ，平面 , ，且 ,m l .
下列命题中，其中正确命题的个数是 ▲ .
①若 // ，则 m l ； ②若 ，则 //m l ；
③若 m l ，则 // ； ④若 //m l ，则 .
6．与双曲线 14
2
2 yx 有相同的焦点，且过点 (4, 3)P 的双曲线的标准方程是 ▲ .
7．已知 1 1tan ,tan( )2 3
， , 均为锐角，则 等于 ▲ .
8．程序框图如下，若恰好经过．．．．6 次．循环输出结果，则 a= ▲ ．
9. 在 ABC 中， 3, 1,AB AC D 为 BC 的中点，则 AD BC ▲ .
10．先后抛掷两枚质地均匀的骰子（各个面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具），
若骰子朝上的面的点数记为 ,a b ，则事件| | 2a b 的概率为 ▲ ．
11．已知两圆 2 2 2( 1) ( 1)x y r 和 2 2 2( 2) ( 2)x y R 相交于 ,P Q 两点，若点 P 坐
标为 (1,2) ，则点Q 的坐标为 ▲ ．
Y
结束
开始 0, 1T i ( 1 )iT T a a a Z 且 输出 T200T
N1i i
12.数列 na 中, 1 1
1 , ( )2 1 1
n
n
n
naa a n Nn na
，
则数列 na 的前 2012 项的和为 ▲ .
13．点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点，N 是边 BC 的中点，则 AN AM
的最大值是 ▲ .
14.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设
施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线
24( ) 1 3f x x 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 ,M N ，交曲线于点 P ，则
OMN （O 为坐标原点）的面积的最小值为 ▲ .
二.解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
15．在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ．已知 (2cos , 3sin )m A A ，
(cos , 2cos )n A A ， 1m n ．
（1）若 2 3a ， 2c ，求 ABC 的面积；
（2）求 2
cos(60 )
b c
a C
的值．
16．在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AA ,1 BC 601 ACA ， 1 1AA AC BC ，
21 BA ．
（1）求证：平面 1A BC 平面 1 1ACC A ；
（2）如果 D 为 AB 的中点，求证： 1BC ∥平面 1ACD ．
17．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围
均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为 S 平方米，其中 : 1: 2a b ．
（1）试用 ,x y 表示 S ；
（2）若要使 S 最大，则 ,x y 的值各为多少？
18．设椭圆
2 2
2: 12
x yM a
2a 的右焦点为 1F ，直线
2
: 2
2
a
axl 与 x 轴交于点 A ，
若 1 12 0OF AF （其中O 为坐标原点）．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）设 P 是椭圆 M 上的任意一点， EF 为圆 12: 22 yxN 的任意一条直径（ E 、
F 为直径的两个端点），求 PFPE 的最大值．
19．设函数 2( ) ( 1)f x x x ．
（1）求 ( )f x 的极值；
（2）讨论函数 2( ) ( ) 2 2 lnF x f x x x ax x 零点的个数，并说明理由；
（3）设函数 2( ) 2 4 (xg x e x x t t 为常数），若使 3 ( ) ( )f x x m g x 在[0, ) 上
恒成立的实数 m 有且只有一个，求实数t 的值．（ 7 310e ）
20．已知等比数列{ }na 的首项 1 2011a ，公比 1
2q ，数列{ }na 前 n 项和记为 nS ，前 n
项积记为 nT ．
（1）证明： 2 1nS S S ；
（2）判断 nT 与 1nT 的大小，并求 n 为何值时， nT 取得最大值；
（3）证明：若数列{ }na 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若
所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为 1 2, , , nd d d ，则数列{ }nd 为等比数
列．
一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案填写在相应的位置上．．．．．．．
1．若复数 3 ( ,1 2
a i a R ii
为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为 ▲ .
6
2．已知集合 2 2{ | 3 0}, { | 2, [ 2,1]}A x x x B y y x x ，
则 A B ▲ .
0,2
3．已知函数 ( ) sin( )( 0,| | )2f x A x 的部分图像如图，则 = ▲ . 2
3
4．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低
分后，
则剩下数据的方差 2s ▲ ． （参考公式： 2 2
1
1 ( )
n
i
i
s x xn
）15；
5．已知直线 ,m l ，平面 , ，且 ,m l .
下列命题中，其中正确命题的个数是 ▲ .
2
①若 // ，则 m l ；②若 ，则 //m l ；
③若 m l ，则 // ；④若 //m l ，
6．与双曲线 14
2
2 yx 有相同的焦点，且过点 (4, 3)P 的双曲线的标准方程是 ▲ .
14
2
2
yx ；
7．已知 1 1tan ,tan( )2 3
， , 均为锐角，则 等于 ▲ .
4
；
8．程序框图如下，若恰好经过．．．．6．次．循环输出结果，则 a= ▲ ．2
Y
结束
7 7 9
8 5 7 7 7 7
9 1 3 6
（第 8 题）
开始 0, 1T i ( 1 )iT T a a a Z 且 输出 T200T
N1i i
C
NP
9.在 ABC 中， 3, 1,AB AC D 为 BC 的中点，则 AD BC ▲ . 4
10．先后抛掷两枚质地均匀的骰子（各个面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具），
若骰子朝上的面的点数记为 ,a b ，则事件| | 2a b 的概率为 ▲ ． 2
9
；
11．已知两圆 2 2 2( 1) ( 1)x y r 和 2 2 2( 2) ( 2)x y R 相交于 ,P Q 两点，若点 P 坐
标为 (1,2) ，则点Q 的坐标为 ▲ ．
(2,1)
12.数列 na 中, 1 1
1 , ( )2 1 1
n
n
n
naa a n Nn na
，
则数列 na 的前 2012 项的和为 ▲ . 2012
2013
；
假设 1 ,n
n
b na
∴ 1
1
1 ,( 1)n
n
b n a
………1 分
∵ 1 1 1
n
n
n
naa n na
，
∴ 1
1
1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1)( 1)
n n
nn n n
n
b b nan a na nan n na
＝ 1 1 1n
n n
na
na na
…………………………………3 分
{ }nb 是首项为 2，公差为 1 的等差数列. ………………………………4 分
2 ( 1) 1 1,nb n n 1 1
( 1)n
n
a nb n n
= 1 1
1n n
, …………6 分
1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( )2 2 3 1nS n n
= 11 1 1
n
n n
. …………8 分
13．点 M 是边长为 2 的正方形 ABCD 内或边界上一动点，N 是边 BC 的中点，则 AN AM
的最大值是 ▲ .6
13．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AC＝BC＝1，点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，点
P 是△ABC（包括边界）内任一点．则 AN MP 的取值范围为 ▲ ． 3 3,4 4
14.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设
施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线
24( ) 1 3f x x 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 ,M N ，交曲线于点 P ，则 OMN
（O 为坐标原点）的面积的最小值为 ▲ .
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分
为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲
线 2( ) 1 ( 0)f x ax a 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 ,M N ，交曲线于点 P ，
设 ( , ( ))P t f t
（1）将 OMN （O 为坐标原点）的面积 S 表示成t 的函数 ( )S t ；
（2）若在 1
2t 处， ( )S t 取得最小值，求此时 a 的值及 ( )S t 的最小值.
（1） 2y ax ，切线的斜率为 2at ，切线l 的方程为
2(1 ) 2 ( )y at at x t
令 0,y 得
2 2 2 21 1 2 1
2 2 2
at at at atx tat at at
21( ,0)2
atM at
,令 0t ,得 2 2 2 21 2 1 , (0,1 )y at at at N at
MON 的面积
2 2 2
21 1 (1 )( ) (1 )2 2 4
at atS t atat at
(2)
2 4 2 2 2
2 2
3 2 1 ( 1)(3 1)( ) 4 4
a t at at atS t at at
0, 0a t ,由 ( ) 0S t ,得 2 13 1 0,
3
at t
a
得
当 2 13 1 0,
3
at t
a
即 时, ( ) 0S t
当 2 13 1 0, 0
3
at t
a
即 时, ( ) 0S t
1 , ( )
3
t S t
a
当 时 有最小值
已知在 1
2t 处, ( )S t 取得最小值 ,故有 1 1 4,2 33
a
a
故当 4 1,3 2a t 时,
2
min
4 1(1 )1 23 4( ) ( ) 4 12 34 3 2
S t S
二.解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
15．在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ．已知 (2cos , 3sin )m A A ，
(cos , 2cos )n A A ， 1m n ．
（1）若 2 3a ， 2c ，求 ABC 的面积；
（2）求 2
cos(60 )
b c
a C
的值．
（1）由 22cos 2 3sin cos 1A A A 可知，sin 2 16A
，……………4 分
因为 0 A ，所以 112 ,6 6 6A
,所以 2 6 2A ，即
3A ……6 分
由正弦定理可知：
sin sin
a c
A C
，所以 1sin 2C ，因为 20, 3C
所以
6C ，所以
2B ……………………8 分
所以 1 2 2 3 2 32ABCS ……………………10 分
（2）原式 0
sin 2sin
sin cos 60
B C
A C
=
0
sin 2sin
3 cos 602
B C
C
0
0
sin(120 ) 2sin
3 cos 602
C C
C
0
3 3cos sin2 2
3 cos 602
C C
C
=
0
0
3 cos 60
2
3 cos 602
C
C
……………………14 分
16．在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AA ,1 BC 601 ACA ， 1 1AA AC BC ，
21 BA ．
（1）求证：平面 1A BC 平面 1 1ACC A ；
（2）如果 D 为 AB 的中点，求证： 1BC ∥平面 1ACD ．
（1）在 0
1 1 160 , 1,A AC A AC AA AC 中， 1 1,AC ……………………2 分
1 11, 1,A BC AC 中，BC 1 12, BC AC A B ，……………………4 分
又 1 1 1, ,AA BC BC ACC A 平面 ……………………6 分
1BC A BC 平面
. 1 1 1A BC ACC A 平面 平面 . ……………………8 分
（2）连接 1 1,AC AC O交 于 ，连接 DO,
则由 D 为 AB 中点，O 为 1AC 中点得，OD ∥ 1BC , ……………………11 分
OD 平面 11 , BCDCA 平面 DCA1 ，∴ 1BC ∥平面 DCA1 ……………………14 分
17．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围
均是宽为1米的小路（阴影部分所示），大棚所占地面积为 S 平方米，其中 : 1: 2a b ．
（1）试用 ,x y 表示 S ；
（2）若要使 S 最大，则 ,x y 的值各为多少？(1)
由题可得： 1800, 2xy b a ，
则
3 3 3y a b a …………………………4 分
3( 2) ( 3) (3 8) (3 8) 3
yS x a x b x a x 81808 3 3x y .……8 分
(2)方法一: 8 1800 48001808 3 1808 (3 )3S x xx x
……………10 分
48001808 2 3 1808 240 1568,x x
……………12 分
当且仅当 48003x x
,即 40x 时取等号, S 取得最大值.此时 1800 45y x
.
所以当 40, 45x y 时， S 取得最大值 …………………………14 分
方法二:设 4800( ) 1808 (3 )S f x x x
( 0)x ，……………10 分
2 2
4800 3(40 )(40 )( ) 3 x xf x x x
，
……………12 分
令 ( ) 0f x 得 40x ，
当 0 40x 时, ( ) 0f x ,当 40x 时, ( ) 0f x .
∴当 40x 时, S 取得最大值.此时 45y
所以当 40, 45x y 时， S 取得最大值. …………………………14 分
x 米
18．设椭圆
2 2
2: 12
x yM a
2a 的右焦点为 1F ，直线
2
: 2
2
a
axl 与 x 轴交于点 A ，
若 1 12 0OF AF （其中O 为坐标原点）．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）设 P 是椭圆 M 上的任意一点， EF 为圆 12: 22 yxN 的任意一条直径
（ E 、 F 为直径的两个端点），求 PFPE 的最大值．
（1）由题设知，
2
2
,0
2
aA
a
， 2
1 2,0F a ，………………………1 分
由 1 12OF AF 0
，得
2
2
22 2
2
2
2 a
a
aa ．……………………4 分
解得 62 a ．
所以椭圆 M 的方程为 126:
22
yxM ．………………………………………6 分
（2）方法 1：设圆 12: 22 yxN 的圆心为 N ，
则 NPNFNPNEPFPE
NF NP NF NP
2 2 2
1NP NF NP ．………………………………………………10 分
从而求 PFPE 的最大值转化为求 2
NP 的最大值．
因为 P 是椭圆 M 上的任意一点，设 00 , yxP
所以 126
2
0
2
0 yx ，即 2
0
2
0 36 yx ．
因为点 2,0N ，所以 12122 2
0
2
0
2
0
2
yyxNP ．
因为 0 2, 2y ，所以当 10 y 时， 2
NP 取得最大值 12．……………15 分
所以 PFPE 的最大值为 11．………………………………………………16 分
方法 2：设点 1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , )E x y F x y P x y ，
因为 ,E F 的中点坐标为 (0,2) ，所以 2 1
2 1
,
4 .
x x
y y
……………………………6 分
所以 1 0 2 0 1 0 2 0( )( ) ( )( )PE PF x x x x y y y y …………………………7 分
1 0 1 0 1 0 1 0( )( ) ( )(4 )x x x x y y y y
2 2 2 2
0 1 0 1 1 04 4x x y y y y
2 2 2 2
0 0 0 1 1 14 ( 4 )x y y x y y ．…………………………………9 分
因为点 E 在圆 N 上，所以 2 2
1 1( 2) 1x y ，即 2 2
1 1 14 3x y y ．…………10 分
因为点 P 在椭圆 M 上，所以
2 2
0 0 16 2
x y ，即 2 2
0 06 3x y ．…………………11 分
所以 PE PF 2
0 02 4 9y y 2
02( 1) 11y ．……………………………12 分
因为 0 [ 2 , 2]y ，所以当 0 1y 时， min
11PE PF ．………………14 分
方法 3：①若直线 EF 的斜率存在，设 EF 的方程为 2y kx ，…………………6 分
由
1)2(
2
22 yx
kxy ，解得
1
1
2
k
x ．……………………………………7 分
因为 P 是椭圆 M 上的任一点，设点 00 , yxP ，
所以 126
2
0
2
0 yx ，即 2
0
2
0 36 yx ．…………………………………8 分
所以 0 02 2
1 , 2
1 1
kPE x y
k k
，
0 02 2
1 , 2
1 1
kPF x y
k k
………………9 分
所以
11)1(21)2(
1
)2(
1
1 2
0
2
0
2
02
2
2
02
2
0
yyx
k
ky
k
xPFPE
．
………………………………10 分
因为 0 2, 2y ，所以当 10 y 时， PFPE 取得最大值 11．……………11 分
②若直线 EF 的斜率不存在，此时 EF 的方程为 0x ，
由 2 2
0
( 2) 1
x
x y
，解得 1y 或 3y ．
不妨设， 0,3E ， 0,1F ．……………………………………………………12 分
因为 P 是椭圆 M 上的任一点，设点 00 , yxP ，
所以 126
2
0
2
0 yx ，即 2
0
2
0 36 yx ．
所以 0 0,3PE x y ， 0 0,1PF x y ．
所以 2 2 2
0 0 0 04 3 2( 1) 11PE PF x y y y ．
因为 0 2, 2y ，所以当 10 y 时， PFPE 取得最大值 11．……………13 分
综上可知， PFPE 的最大值为 11．……………………………………………14 分
19．设函数 2( ) ( 1)f x x x ．
（1）求 ( )f x 得极小值；
（2）讨论函数 2( ) ( ) 2 2 lnF x f x x x ax x 零点的个数，并说明理由？
（3）设函数 2( ) 2 4 (xg x e x x t t 为常数），若使 3 ( ) ( )f x x m g x 在[0, ) 上
恒成立的实数 m 有且只有一个，求实数t 的值．（ 7 310e ）
（1） ( )f x 的极大值为 1 4( )3 27f ； ( )f x 的极小值为 (1) 0f ．……………………3 分
（2）当 0 a e 时，函数零点的个数为 0 ；
当 0a 或 a e 时，函数零点的个数为1；
当 a e 时，函数零点的个数为 2 ． ……………………11 分
（3） 2t ． ……………………16 分
20．已知等比数列{ }na 的首项 1 2011a ，公比 1
2q ，数列{ }na 前 n 项和记为 nS ，前 n
项积记为 nT ．
（1）证明： 2 1nS S S ；
（2）判断 nT 与 1nT 的大小，并求 n 为何值时， nT 取得最大值；
（3）证明：若数列{ }na 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；
若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为 1 2, , , nd d d ，则数列{ }nd 为等
比数列．
（1）证：
1
2
1
1 1 1 1
1[1 ( ) ] 1 12 [1 ( ) ]1 3 21 ( )2
n
n
n
a
S S S a S
≤ ，当 n = 1 时，等号成立
………………2 分
2
3
2
2 2 1 2
1[1 ( ) ] 1 12 [1 ( ) ]1 6 21 ( )2
n
n
n
a
S S S a S
≥ ，当 n = 2 时，等号成立
∴S2≤Sn≤S1． ………………4 分
（2）解： 1 1 2 1
1
1 2
| | | | 2011| || | | | 2
n n n
n n
n n
T a a a a aT a a a
∵ 11 10
2011 20111
2 2
，∴当 n≤10 时，|Tn + 1| > |Tn|，当 n≥11 时，|Tn + 1| < |Tn|
故|Tn| max = |T11| ………………7 分
又 T10 < 0，，T11 < 0，T9 > 0，T12 > 0，∴Tn 的最大值是 T9 和 T12 中的较大者
∵ 10 312
10 11 12
9
1[2011( ) ] 12
T a a aT
，∴T12 > T9
因此当 n = 12 时，Tn 最大． ………………10 分
（3）证：∵ 112011( )2
n
na ，∴| an |随 n 增大而减小，an 奇数项均正，偶数项均负
①当 k 是奇数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为 1 2k k ka a a ， ， ，则
1 1
1 1 1
1 1( ) ( )2 2 2
k k
k k k
aa a a a
， 1 1
2 1
12 2 ( )2 2
k
k k
aa a
，
∴ 1 22k k ka a a ，因此 1 2k k ka a a ， ， 成等差数列，
公差 1 1
2 1 1 1
31 1[( ) ( ) ]2 2 2
k k
k k k k
ad a a a
………………12 分
②当 k 是偶数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为 2 1k k ka a a ， ， ，则
1 1
1 1 1
1 1( ) ( )2 2 2
k k
k k k
aa a a a
， 1 1
2 1
12 2 ( )2 2
k
k k
aa a
，
∴ 1 22k k ka a a ，因此 2 1k k ka a a ， ， 成等差数列，
公差 1 1 1
2 1 1
31 1[( ) ( ) ]2 2 2
k k
k k k k
ad a a a
………………14 分
综上可知， { }na 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且
1
1
3
2k k
ad ∵ 1 2n
n
d
d
，∴数列{dn}为等比数列． ………………16 分
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