2010—2011 学年度南昌市高三年级调研测试卷
数 学 (理科)
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4
页，共 150 分．
第 I 卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡
上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若
在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式
( ) ( ) ( )P A B P A P B 24πS R
如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径
( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，
34 π3V R
那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径
( ) (1 )k k n k
n nP k C p p
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知集合 { | ln }A x y x ，集合 { 2, 1,1,2}B ，则 A B
A． (1,2) B．{1,2} C．{ 1, 2} D． (0, )
2．已知复数 z 的实部为 1 ，虚部为 2，则
5i
z =
A． 2 i B． 2 i C． 2 i D． 2 i
3．若函数
2( ) ( )f x x ax a R ，则下列结论正确的是
A．存在 a∈R， f x 是偶函数 B．存在 a∈R， f x 是奇函数
C．对于任意的 a∈R， f x 在(0,＋∞)上是增函数
D．对于任意的 a∈R， f x 在(0,＋∞)上是减函数
4．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是
边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，
那么这个几何体的体积为
A．
3
2
B． 2
C． 3
D． 4
5．已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且满足
3 2 13 2
S S
，，则数列{ }na 的公差是
A．
1
2 B．1 C． 2 D．3
6．若下框图所给的程序运行结果为 S=20，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是
A． 9k B． 8k C． 8k D． 8k ]
7．已知函数 sin( )y A x m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为
π
2 ，直线
π
3x
是
其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是
A.
π4sin 4 6y x B.
π2sin 2 23y x
C.
π2sin 4 23y x D.
π2sin 4 26y x
8．设
],1[,1
]1,0[,
)( 2
2
exx
xx
xf
（其中 e 为自然对数的底数），则
2
0
)(
e
dxxf
的值为
A．
4
3 B． 3
5
C． 3
7
D． 3
8
9．设圆C 的圆心在双曲线
2 2
2 1( 0)2
x y aa
的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若
圆C 被直线 : 3 0l x y 截得的弦长等于 2，则 a
A． 14 B． 6 C． 2 D． 2
10．如图，在透明塑料制成的长方体 ABCD—A1B1C1D1 容器内灌进一些水，将容器底面一
边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形 EFGH 的面积不改变；
③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行；
④当 1E AA 时， AE BF 是定值.
其中正确说法是
A． ①②③ B．①③ C．①②③④ D．①③④
二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填写在题中横线上．
11．函数 f(x)=
2
2
9
log ( 1)
x
x
的定义域为_________.
12．已知O 为坐标原点，点 (3,2)M ，若 ( , )N x y 满足不等式组
1
0
4
x
y
x y
，则OM ON
的
最大值为__________.
13.直三棱柱 1 1 1ABC ABC 的各顶点都在同一球面上，若 2,1 1 AAACAB , 120BAC ，则
此球的表面积等于 。
14．已知下面数列和递推关系：
①数列{an}(an = n)有递推关系 a n+2= 2an+1–an；
②数列 )}({ 2nba nn 有递推关系： ;33 123 nnnn bbbb
③数列 )}({ 3ncc nn 有递推关系： ;464 1234 nnnnn ccccc
请猜测出数列 }}({ 5ndd nn 的一个类似的递推关系：___________________________.
15.（在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则按所做的第①题给分）
①已知圆的极坐标方程为 cos2 ,则该圆的圆心到直线 1cos2sin 的距离为
____________.
② 若 不 等 式
4| 2 | | 3|x x a a
对 任 意 的 实 数 x 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
____________________.
三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。其中(16)～(19)每小题 12 分,(20)题 13 分,(21)题 14
分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤.
16．（本小题满分 12 分）
已知函数 3cos22sin3)( 2 xxxf
（1）当
)2,0( x
时，求函数 )(xf 的值域；
（2）若 5
28)( xf
，且
)12
5,6( x
，求
sin(4 )3x
的值．
17．（本小题满分 12 分）
在直角梯形 PBCD 中，
4,2,2
PDCDBCCD
，A 为 PD 的中点，如下左图。
将 PAB 沿 AB 折到 SAB 的位置，使 BCSB ，点 E 在 SD 上，且
SDSE 3
1
，如下
右图。
（1）求证： SA 平面 ABCD；
（2）求二面角 E—AC—D 的正切值．
18. （本小题满分 12 分）
某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场.如
图，运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直
径的两个半圆组成.跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道，运动
场除跑道外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方
米造价为 150 元，草皮每平方米造价为 30 元
(1)设半圆的半径 OA= r (米),试建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S( r ) ；
(2)由于条件限制 [30,40]r ,问当 r 取何值时,运动场造价最低?（ 取 3.14）
19.（本小题满分 12 分）
设函数 3 23 , ( ) ln ( , )f x ax ax g x bx x a b R ，已知它们在 1x 处的切线互相平
行.
（1）求 b 的值；
（2）若函数
( ), 0( ) ( ), 0
f x xF x g x x
，且方程 2F x a 有且仅有四个解，求实数 a 的取值范围.
20.（本小题满分 13分）
从椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点 1,F M 是
椭圆的右顶点， N 是椭圆的上顶点，且 ( 0)MN OP
.
(1)求该椭圆的离心率；
(2)若过右焦点 2F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于 A 、B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点
为 1A ，直线 1A B 与 x 轴交于点 (4,0)R ，求椭圆C 的方程.
21.（本小题满分 14 分）
已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 na 满 足 1
22
1 2 nnnn aaaa , 且 42 342 aaa , 其 中
Nn .
(1)求数列 na 的通项公式;
(2)设数列 }{ nb 满足
n
n
n n
nab 2)12(
,是否存在正整数 ,m n (1 )m n ，使得 nm bbb ,,1 成
等比数列？若存在，求出所有的 ,m n 的值；若不存在，请说明理由.
(3) 令
1n
n
nc a
,记数列 }{ nc 的前 n 项积为 nT ,其中 Nn ,试比较 nT 与 9 的大小,并加以证
明.
2010—2011 学年度南昌市高三年级调研测试卷
数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 10 题，每小题 5 分，共 50 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D C D D C C D
二、填空题：（本大题共 5 题，每小题 5，共 25 分）
11 ． [3,+∞] 12 ． 12 13 ． 8
14． nnnnnnn dCdCdCdCdCdCd 6
61
5
62
4
63
3
64
2
65
1
66
15.① 5
5
②{ | 0 1 4}a a a 或
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分）
16.解：（1）由已知
.4)62sin(242cos2sin33cos22sin3)( 2 xxxxxxf
…2 分
当
)2,0( x
时，
7 12 ( , ),sin(2 ) ( ,1]6 6 6 6 2x x
……………………4 分
故函数 )(xf 的值域是（3，6] ………………………………………………………6 分
（2）由 5
28)( xf
，得 5
284)62sin(2 x
，即 5
4)62sin( x
……………8 分
因为 12
5,6( x
），所以 5
3)62cos( x
…………………………… …………10 分
故
24sin(4 ) 2sin(2 )cos(2 )3 6 6 25x x x
……………………………12 分
17.（1）证明：在图中，由题意可知，
ABCDPDBA , 为正方形，所以在图中， 2, SAABSA ，
四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，
因为 BCSB ，AB BC，
所以 BC 平面 SAB，……………………………………3 分
又 SA 平面 SAB，所以 BC SA，又 SA AB，
所以 SA 平面 ABCD， …………………………………6 分
（2）解法一： 在 AD 上取一点 O，使
ADAO 3
1
，连接 EO。
因为
SDSE 3
1
，所以 EO//SA…………………………7 分
所以 EO 平面 ABCD，过 O 作 OH AC 交 AC 于 H，连接 EH，
则 AC 平面 EOH，所以 AC EH。
所以 EHO 为二面角 E—AC—D 的平面角，…………………………………9 分
.3
4
3
2 SAEO
在 AHORt 中，
.3
2
2
2
3
245sin,45 AOHOHAO
…11 分
22tan
OH
EOEHO
，即二面角 E—AC—D 的正切值为 .22 ……………12 分
解法二：如图，以 A 为原点建立直角坐标系，
2 4(0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (0,0,2), (0, , )3 3A B C D S E
…………………7 分
易知平面 ACD 的法向为 )2,0,0(AS
设平面 EAC 的法向量为 ),,( zyxn
)3
4,3
2,0(),0,2,2( AEAC
……………………9 分
由
0
0
AEn
ACn
，所以
02
0
zy
yx
，可取
1
2
2
z
y
x
所以 ).1,2,2( n ……………………………………………………………………11 分
所以 3
1
32
2
||||
,cos
ASn
ASnASn
所以 22,tan ASn ,即二面角 E—AC—D 的正切值为 .22 …………………12 分
18．解: (1)塑胶跑道面积
2
2 2 10000[ ( 8) ] 8 22
rS r r r
80000 8 64rr
-…………………4 分
∵ 2 10000r ∴
1000 r
……………………………………………………6 分
(2) 设 运 动 场 的 造 价 为 y 元
80000 80000150 ( 8 64 ) 30 (10000 8 64 )y r rr r
80000300000 120 ( 8 ) 7680rr
…………………………………………8 分
令
80000( ) 8f r rr
∵ 2
80000'( ) 8f r r
当 30,40r 时 '( ) 0f r
∴函数 y
80000300000 120 ( 8 ) 7680rr
在[30,40] 上为减函数. ……10 分
∴当 40r 时, min 636460.8y .
即运动场的造价最低为 636460.8 元. ………………………………………………12 分
19．解：（1） 2' 3 3 ' 1 0f x ax a f ，
1' 2 ' 1 2 1g x bx g bx
，…2 分
依题意： 2 1 0b ，所以
1
2b
；……………………………………………………4 分
（2） 0,1x 时，
1' 0g x x x
， 1,x 时，
1' 0g x x x
，………5 分
所以当 1x 时， g x 取极小值
11 2g
；………………………………………6 分
当 0a 时，方程 2F x a 不可能有四个解；………7 分
当 0a 时， , 1x 时， ' 0f x ，
1,0x 时 ' 0f x ，
所以 1x 时， f x 取得极小值 ' 1f =2 a ，又 0 0f ，
所以 F x 的图像如下：
从图像可以看出 2F x a 不可能有四个解。…………10 分
当 0a 时， , 1x 时， ' 0f x ， 1,0x 时 ' 0f x ，
所以 1x 时， f x 取得极小值 ' 1f =2 a ，又 0 0f ，
所以 F x 的图像如下：
从图像看出方程 2F x a 有四个解，则
21 22 a a
，
所以实数 a 的取值范围是
2( ,2)2 。………………12 分
20.（本小题满分 13 分）
解：（1）令 x c ，得
2by a
，
所以点 P 的坐标为
2
( , )bc a
，………………………2 分
由 0MN OP
得到：
2b
ba
c a
， ……………………………………………4 分
所以
2 2, 2b c a c ，即离心率
2
2e
………………………………………………5 分
（2）设直线l 的方程为： 0x my c m ，与椭圆方程
2 2
2 2 12
x y
c c
联立得到： 2 2 2 2 22 2 2m y mcy c y c 即： 2 2 22 2 0m y mcy c
…6 分
记 1 1,A x y（ ）， 2 2,B x y（ ），
x
y
O 1
2a
1
2
1
1
2a
1
21
xO
y
则
2
1 2 1 22 2
2 ,2 2
mc cy y y ym m
……………………………………………………7 分
由 A 关于 x 轴的对称点为 1A ，得 1 1 1( , )A x y ，
则直线 1A B 的方程是：
1 1
2 1 2 1
y y x x
y y x x
，过点 4,0R 得到：
1 2 1 2 1 1 2 14y my my y y my c y y …………………………………9 分
即： 1 2 1 22 4my y c y y
所以：
2
2 2
2 242 2
mc mccm m
……………………………………………………11 分
得到： 4c c ，所以： 2,c ……………………………………………………12 分
所以所求椭圆方程为：
2 2
18 4
x y
…………………………………………………13 分
21.解:(1)因为 1
22
1 2 nnnn aaaa ,即 0)2)(( 11 nnnn aaaa ………1 分
又 0na ,所以有 02 1 nn aa ,所以 12 nn aa
所以数列 na 是公比为 2 的等比数列…………………………………………………2 分
由 42 342 aaa 得 4882 111 aaa ,解得 21 a
故数列 na 的通项公式为
n
na 2 )N( n …………………………………………4 分
(2)
n
n
n n
nab 2)12(
= 12 n
n
，所以 12,12,3
1
1
n
nbm
mbb nm
，
若 nm bbb ,,1 成等比数列，则
2 1( ) ( )2 1 3 2 1
m n
m n
，
即
2
24 4 1 6 3
m n
m m n
．…………………………………………………………5 分
由
2
24 4 1 6 3
m n
m m n
，可得
2
2
3 2 4 1m m
n m
，所 以 22 4 1 0m m ，…7 分
从而
6 61 12 2m
，又 m *N ，且 1m ，所以 2m ，
此时 12n ．故当且仅当 2m ， 12n .使得 1, ,m nb b b 成等比数列………………8 分
(3) 构造函数 ( ) ln(1 ) ( 0)f x x x x
则
' 1( ) 11 1
xf x x x
，…………………………………………………………9 分
当 0x 时，
' ( ) 0f x ，即 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，
所以 ( ) (0) 0f x f ln(1 ) 0x x ，…………………………………………10 分
所以
ln ln 1 ln 1 2 2n n n
n
n n nc a
，所以 2 3
1 2 3ln 2 2 2 2n n
nT
，…11 分
记 2 3
1 2 3
2 2 2 2n n
nA
，
则 2 3 4
1 1 2 3 1
2 2 2 2 2 2n n n
n nA
，…………………………………………12 分
所以： 2 3 1 1
1 1 1 1 1 21 12 2 2 2 2 2 2n n n n n
n nA A
…………………13 分
即 2nA ，所以 ln 2nT ，所以
2 9nT e ………………………………………14 分
微信/支付宝扫码支付