2011南昌市高三调研考试试卷有答案（数学文）

2010—2011 学年度南昌市高三年级调研测试卷 数 学 (文科) 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页，共 150 分． 第 I 卷 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡 上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若 在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   24πS R 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ， 34 π3V R 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 )k k n k n nP k C p p   一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．已知集合 { | ln }A x y x  ，集合 { 2, 1,1,2}B    ，则 A B  A． (1,2) B．{1,2} C．{ 1, 2}  D． (0, ) 2．已知复数 z 的实部为 1 ，虚部为 2，则 5i z = A． 2 i B． 2 i C． 2 i  D． 2 i  3．若函数 2( ) ( )f x x ax a   R ，则下列结论正确的是 A．存在 a∈R，  f x 是偶函数 B．存在 a∈R，  f x 是奇函数 C．对于任意的 a∈R，  f x 在(0,＋∞)上是增函数 D．对于任意的 a∈R，  f x 在(0,＋∞)上是减函数 4．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆， 那么这个几何体的体积为 A． 3 2  B． 2  C． 3  D． 4  5．已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且满足 3 2 13 2 S S  ，，则数列{ }na 的公差是 A． 1 2 B．1 C． 2 D．3 6．若下框图所给的程序运行结果为 S=20，那么判断框中应填入的关于 k 的条件是 A． 9k  B． 8k  C． 8k  D． 8k  7．已知函数 sin( )y A x m    的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 π 2 ，直线 π 3x  是 其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 A. π4sin 4 6y x     B. π2sin 2 23y x      C. π2sin 4 23y x      D. π2sin 4 26y x      8．已知函数    2 1, 1, log , 1.a a x xf x x x     ≤ 若  f x 在 ,  上单调递增，则实数 a 的取值范围为 A． 1,2 B． 2,3 C． 2,3 D． 2, 9．直线 l 过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点，且与抛物线的交于 A 、 B 两点，若线段 AB 的 长是 8， AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线方程是 A． 2 12y x B． 2 8y x C． 2 6y x D． 2 4y x 10．如图，在透明塑料制成的长方体 ABCD—A1B1C1D1 容器内灌进一些水，将容器底面一 边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形 EFGH 的面积不改变； ③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行； ④当 1E AA 时， AE BF 是定值. 其中正确说法是 A． ①②③ B．①③ C．①②③④ D．①③④ 二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填写在题中横线上． 11．函数 f(x)= 2 2 9 log ( 1) x x   的定义域为_________. 12．已知O 为坐标原点，点 (3,2)M ，若 ( , )N x y 满足不等式组 1 0 4 x y x y       ，则OM ON  的 最大值为__________. 13．已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的所有棱长都等于 6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表 面积等于 。 14．图 1 是一个水平摆放的小正方体木块，图 2， 图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成的，按 照这样的规律放下去，至第五个叠放的图形中， 小正方体木块总数是：____________________. 15．若不等式 4| 2 | | 3|x x a a      对任意的实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ____________________. 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。其中(16)～(19)每小题 12 分,(20)题 13 分,(21)题 14 分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤. 16．（本小题满分 12 分） 已知函数 3cos22sin3)( 2  xxxf （1）当 )2,0( x 时，求函数 )(xf 的值域； （2）若 5 28)( xf ，且 )12 5,6( x ，求 sin(4 )3x  的值． 17．（本小题满分 12 分） 在直角梯形 PBCD 中， 4,2,2  PDCDBCCD  ，A 为 PD 的中点，如下左图。 将 PAB 沿 AB 折到 SAB 的位置，使 BCSB  ，点 E 在 SD 上，且 1 3SE SD  ， ,M N 分 别是线段 ,AB BC 的中点，如右图． （1）求证： SA 平面 ABCD； （2）求证：平面 AEC ∥平面 SMN ． 18．（本小题满分 12 分） 某学校要建造一个面积为 10000 平方米的运动场.如 图，运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、BC 为直 径的两个半圆组成.跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道，运动 场除跑道外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方 米造价为 150 元，草皮每平方米造价为 30 元 (1)设半圆的半径 OA= r (米),试建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S( r ) ； (2)由于条件限制 [30,40]r  ,问当 r 取何值时,运动场造价最低?（ 取 3.14） 19．（本小题满分 12 分） 设函数   3 23 , ( ) ln ( , )f x ax ax g x bx x a b R     ，已知它们在 1x  处的切线互相平行. （1）求 b 的值； （2）若函数 ( ), 0( ) ( ), 0 f x xF x g x x    ，且方程   2F x a 有且仅有四个解，求实数 a 的取值范围. 20．（本小题满分 13 分） 从椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点 1,F M 是 椭圆的右顶点， N 是椭圆的上顶点，且 ( 0)MN OP    ． (1)求该椭圆的离心率； (2)若过右焦点 2F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于 A 、B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点 为 1A ，直线 1A B 与 x 轴交于点 (4,0)R ，求椭圆C 的方程． 21．（本小题满分 14 分） 已 知 数 列  na 是 各 项 不 为 0 的 等 差 数 列 ， nS 为 其 前 n 项 和 ， 且 满 足 2 2 1n na S  , 令 1 1 n n n b a a    ，数列 }{ nb 的前 n 项和为 nT . (1)求数列 na 的通项公式及数列 }{ nb 的前 n 项和 nT ； (2)是否存在正整数 ,m n (1 )m n  ，使得 1, ,m nT T T 成等比数列？若存在，求出所有的 ,m n 的 值；若不存在，请说明理由． 2010—2011 学年度南昌市高三年级调研测试卷 数学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题:（本大题共 10 题，每小题 5 分，共 50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D C D D C B D 二、填空题：（本大题共 5 题，每小题 5，共 25 分） 11．[3,+∞) 12．12 13．84 14．45 15. { | 0 1 4}a a a  或 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分） 16.解：（1）由已知 .4)62sin(242cos2sin33cos22sin3)( 2  xxxxxxf …2 分 当 )2,0( x 时， 7 12 ( , ),sin(2 ) ( ,1]6 6 6 6 2x x        ……………………4 分 故函数 )(xf 的值域是（3，6] ………………………………………………………6 分 （2）由 5 28)( xf ，得 5 284)62sin(2  x ，即 5 4)62sin(  x ………………8 分 因为 12 5,6( x ），所以 5 3)62cos(  x ………………………………………10 分 故 24sin(4 ) 2sin(2 )cos(2 )3 6 6 25x x x        ……………………………………12 分 17.（1）证明：由题意可知， ABCDPDBA , 为正方形， 所以在图中， 2,  SAABSA ， 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， 因为 BCSB  ，AB  BC， 所以 BC  平面 SAB， ………………………………3 分 又 SA 平面 SAB，所以 BC  SA，又 SA  AB， 所以 SA  平面 ABCD，………………………………6 分 （2）证明：连接 BD，设 ,BD MN G BD AC O   ， 连接 ,SG EO ， 正方形 ABCD 中，因为 ,M N 分别是线段 ,AB BC 的中点，所以 //MN AC ， 且 2DO OG ，……………………9 分 又 SDSE 3 1 ，所以： 2DE SE ，所以 //EO SG 所以平面 //SMN 平面 EAC 。……………………………12 分 18．解: (1)塑胶跑道面积 2 2 2 10000[ ( 8) ] 8 22 rS r r r        80000 8 64rr     ……………………………… …4 分 ∵ 2 10000r  ∴ 1000 r    ………………………………………………6 分 (2) 设 运 动 场 的 造 价 为 y 元 80000 80000150 ( 8 64 ) 30 (10000 8 64 )y r rr r             80000300000 120 ( 8 ) 7680rr       …………………………………………8 分 令 80000( ) 8f r rr   ∵ 2 80000'( ) 8f r r   当  30,40r  时 '( ) 0f r  ∴函数 y 80000300000 120 ( 8 ) 7680rr       在[30,40] 上为减函数. …10 分 ∴当 40r  时, min 636460.8y  . 即运动场的造价最低为 636460.8 元. ………………………………………………12 分 19．解：（1）    2' 3 3 ' 1 0f x ax a f    ，    1' 2 ' 1 2 1g x bx g bx      ，……3 分 依题意： 2 1 0b   ，所以 1 2b  ； …………………………………………………6 分 x y O 1 2a 1 2 1 （2）  0,1x 时，   1' 0g x x x    ，  1,x  时，   1' 0g x x x    ， 所以当 1x  时，  g x 取极小值   11 2g  ；………………………………………8 分 因为 0a  ，  , 1x   时，  ' 0f x  ，  1,0x  时  ' 0f x  ，所以 1x   时，  f x 取得极小值  1f  =2 a ，………………………………………………………10 分 又  0 0f  ，所以  F x 的图像如下： 从图像看出方程   2F x a 有四个解，则 21 22 a a  ， 所以实数 a 的取值范围是 2 ,22       。………………12 分 20. 解：（1）令 x c  ，得 2by a  ，所以点 P 的坐标为 2 , bc a     ，……………2 分 由  0MN OP    得到： 2b ba c a  ，…………………………………………4 分 所以 2 2, 2b c a c  ，即离心率 2 2e  …………………………………………6 分 （2）设直线l 的方程为：  0x my c m   ，与椭圆方程 2 2 2 2 12 x y c c   联 立 得 到 ：  2 2 2 2 22 2 2m y mcy c y c    即： 2 2 22 2 0m y mcy c    ………8 分 记 1 1,A x y（ ）， 2 2,B x y（ ）， 则 2 1 2 1 22 2 2 ,2 2 mc cy y y ym m      …………………………………………………9 分 由 A 关于 x 轴的对称点为 1A ，得 1 1 1( , )A x y ， 则直线 1A B 的方程是： 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x    ，过点  4,0R 得到：       1 2 1 2 1 1 2 14y my my y y my c y y      ………………………………10 分 即：   1 2 1 22 4my y c y y   所以：   2 2 2 2 242 2 mc mccm m     得到： 4c c  ，所以： 2,c  ……………………………………………………12 分 所以所求椭圆方程为： 2 2 18 4 x y  …………………………………………………13 分 21. 解：(1)因为 na 是等差数列，由 2 1 2 1 2 1 ( )(2 1) (2 1)2 n n n n a a na S n a       ， 又因为 0na  ，所以 2 1na n  ，……………………………………………………2 分 由 1 1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n        ， …………………………4 分 所以 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nT n n n           .………………………7 分 （2）由（1）知， 2 1n nT n   ，所以 1 1 , ,3 2 1 2 1m n m nT T Tm n     ，…………8 分 若 1, ,m nT T T 成 等 比 数 列 ， 则 2 1( ) ( )2 1 3 2 1 m n m n   ， 即 2 24 4 1 6 3 m n m m n    ． … 9 分 由 2 24 4 1 6 3 m n m m n    ， 可得 2 2 3 2 4 1m m n m    ， ………………………11 分 所 以 22 4 1 0m m    ， …………………………………………………………12 分 从而 6 61 12 2m    ，又 *m N ，且 1m  ，所以 2m  ， ………………13 分 此时 12n  ．故当且仅当 2m  ， 12n  ， 数列 nT 中的 1, ,m nT T T 成等比数列．………………………………………………14 分