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开始S←1,k←1
开始k←k+1
开始S←S+2k
输出 S
结束
是
否
第 6 题
k>4?
江苏省盐城市 2010/2011 学年度高三年级第一次调研考试
数 学 试 题
(总分 160 分, 考试时间 120 分钟) 2011-1-20
一、填空题：本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.
1．已知集合 4, 2,0,2,4 , | 1 3 P Q x x ,则 P Q ▲ .
2．若复数 1 23 4 , 1 2 (z i z i i 是虚数单位),则 1 2z z = ▲ .
3．命题: ,sin 2x R x 的否定是 ▲ .
4．某单位有职工 100 人,其中不到 35 岁的有 45 人,35 岁到 49 岁的有 25 人,
50 岁及以上的有 30 人.现在用分层抽样的方法抽取 20 人进行问卷调查,
则 35 岁到 49 岁的应抽取 ▲ 人．
5．从长度分别为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条,
则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ▲ .
6．运行如图所示的程序框图,则输出的结果 S= ▲ .
7．函数 23cos(2 ) 2 2 sin4
y x x 的最小正周期为 ▲ .
8．观察下列几个三角恒等式:
① tan10 tan 20 tan 20 tan 60 tan 60 tan10 1 ；
② tan5 tan100 tan100 tan( 15 ) tan( 15 ) tan5 1 ；
③ tan13 tan35 tan35 tan 42 tan 42 tan13 1 .
一般地,若 tan ,tan ,tan 都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 ▲ .
9．已知点 ( , )P a b 关于直线l 的对称点为 ( 1, 1) P b a ,
则圆 2 2: C x y 6 2 0 x y 关于直线 l 对称的圆 C 的方程为 ▲ .
10．设 ,x y 满足约束条件
1
2 1
0, 0
y x
y x
x y
,若目标函数 0, 0z abx y a b 的最大值为35,
则 a b 的最小值为 ▲ .
11．已知平面 , , ,直线 ,l m 满足： , , , m l l m ,那么
① m ； ②l ； ③ ； ④ .
可由上述条件可推出的结论有 ▲ (请将你认为正确的结论的序号都填上).
12．在 ABC 中, 60ACB ,sin :sin 8:5A B ,则以 ,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为 ▲ .
O x
y
C
AB
第 15 题
C1
A
B
C
D
E
F
A1
B1
第 16 题
O
l
x
y
A
B
F
·M
第 17 题
13．已知{ na }是公差不为0的等差数列,{ nb } 是等比数列,其中 1 1 2 2 4 32, 1, ,2a b a b a b ,
且存在常数α、β ,使得 na = log nb 对每一个正整数 n 都成立,则 = ▲ .
14．已知函数
2 3 4 2011
( ) 1 2 3 4 2011
x x x xf x x ,
2 3 4 2011
( ) 1 2 3 4 2011
x x x xg x x ,
设 ( ) ( 3) ( 3) F x f x g x ,且函数 ( )F x 的零点均在区间[ , ]( , , ) a b a b a b Z 内,
则 b a 的最小值为 ▲ .
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸
的指定区域内.
15．(本小题满分 14 分)
如图,O 为坐标原点,点 , ,A B C 均在⊙O 上,点 A 3 4( , )5 5
,
点 B 在第二象限,点C (1,0) .
（Ⅰ）设 COA ,求sin 2 的值；
（Ⅱ）若 AOB 为等边三角形,求点 B 的坐标.
16．(本小题满分 14 分)
在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠ABC＝90°,
E、F 分别为 A1C1、B1C1 的中点, D 为棱 CC1 上任一点.
（Ⅰ）求证：直线 EF∥平面 ABD；
（Ⅱ）求证：平面 ABD⊥平面 BCC1B1.
17．(本小题满分 16 分)
已知抛物线 :C 2 2 ( 0)y px p 的准线为l ,焦点为 F .⊙M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切．
过原点O 作倾斜角为
3
的直线 n ,交l 于点 A , 交⊙M 于另一点 B ,且 2AO OB .
（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若 P 为抛物线C 上的动点,求 PM PF 的最小值；
（Ⅲ）过l 上的动点 Q 向⊙M 作切线,切点为 ,S T ,
求证：直线 ST 恒过一个定点,并求该定点的坐标.
18．(本小题满分 14 分)
因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中
投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放 (1 4 a a ,且 )a R 个单位的药剂,它在水中释放
的浓度 y (克/升)随着时间 x (天)变化的函数关系式近似为 ( )y a f x ,其中
16 1 (0 4)8( ) 15 (4 10)2
xxf x
x x
.
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,
当水中药剂的浓度不低于 4(克/升)时,它才能起到有效治污的作用.
（Ⅰ）若一次投放 4 个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?
（Ⅱ）若第一次投放 2 个单位的药剂,6 天后再投放 a 个单位的药剂,要使接下来的 4 天中能够持续有效治污,
试求 a 的最小值(精确到 0.1,参考数据: 2 取 1.4).
19．(本小题满分 16 分)
已知数列 na 满足 1 2,a 前 n 项和为 nS , 1
1( )
2 ( )
n
n
n
pa n na a n n
为奇数
为偶数
.
（Ⅰ）若数列 nb 满足 2 2 1 ( 1)n n nb a a n ,试求数列 nb 前 n 项和 nT ；
（Ⅱ）若数列 nc 满足 2n nc a ,试判断 nc 是否为等比数列,并说明理由；
（Ⅲ）当 1
2p 时,问是否存在 *n N ,使得 2 1 2( 10) 1n nS c ,若存在,求出所有的 n 的值；
若不存在，请说明理由.
20．(本小题满分 16 分)
已知函数 2( ) | ln 1|f x x a x , ( ) | | 2 2ln 2, 0g x x x a a .
（Ⅰ）当 1a 时,求函数 ( )f x 在区间[1, ]e 上的最大值；
（Ⅱ）若 3( ) , [1, )2f x a x 恒成立,求 a 的取值范围；
（Ⅲ）对任意 1 [1, )x ,总存在惟一的．．． 2 [2, )x ,使得 1 2( ) ( )f x g x 成立, 求 a 的取值范围.
数学附加题部分
（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）
21．[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修 4—1：几何证明选讲）
如图， AB 是⊙ O 的直径， ,C F 是⊙ O 上的两点, OC AB ,过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点
D ．连结CF 交 AB 于点 E .
求证： 2DE DB DA .
B．（选修 4—2：矩阵与变换）
求矩阵 2 1
1 2
的特征值及对应的特征向量.
C．（选修 4—4：坐标系与参数方程）
已知曲线 C 的极坐标方程是 2sin ，直线l 的参数方程是
3 2,5
4
5
x t
y t
（t 为参数）．
（Ⅰ）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.
D.（选修 4—5：不等式选讲）
已知 0m , a , b∈R ，求证： 2 2 2
1 1
a mb a mb
m m
.
[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22．（本小题满分 10 分）
设 ,m n N , ( ) (1 2 ) (1 )m nf x x x .
（Ⅰ）当 m n =2011 时,记 2 2011
0 1 2 2011( )f x a a x a x a x ，求 0 1 2 2011a a a a ；
（Ⅱ）若 ( )f x 展开式中 x 的系数是 20，则当 m 、 n 变化时，试求 2x 系数的最小值．
23．（本小题满分 10 分）
有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有 1，2，3，4 点数的质地均匀的正
四面体）决定是否过关，在闯第 ( 1,2,3)n n 关时，需要抛掷 n 次骰子，当 n 次骰子面朝下的点数之和大于
2n 时,则算闯此关成功,并且继续闯关，否则停止闯关. 每次抛掷骰子相互独立.
（Ⅰ）求仅闯过第一关的概率；
（Ⅱ）记成功闯过的关数为 ，求 的分布列和期望．
OA
E B D
F
C
第 21-A 题
江苏省盐城市 2010/2011 学年度高三年级第一次调研考试
数学试题参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
1. 0,2 2. 2 2 i 3. ,sin 2 x R x 4.5 5. 3
4 6.61 7.
8. 90 ,tan tan tan tan tan tan 1 当 时 9. 2 2( 2) ( 2) 10 x y
10.8 11.②④ 12. 7
13 13.4 14.9
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.
15．解：（Ⅰ）因为 3 4cos ,sin5 5
,所以 24sin 2 2sin cos 25
………………………………6 分
（Ⅱ）因为 AOB 为等边三角形,所以 60AOC ,所以 cos cos( 60 ) BOC AOC
3 4 3
10
………………………………………………………………………………………………10 分
同理, 4 3 3sin 10BOC ,故点 A 的坐标为 3 4 3 4 3 3( , )10 10
………………………………14 分
16．（Ⅰ）证明:因为 E 、 F 分别为 1 1AC 、 1 1B C 的中点,所以 1 1/ / / /EF A B AB ………………………4 分
而 ,EF ABD AB ABD 面 面 ,所以直线 EF ∥平面 ABD ………………………………………7 分
（Ⅱ）因为三棱柱 111 CBAABC 为直三棱柱,所以 1AB BB ,又 AB BC ,
而 1BB 面 1 1BCC B , BC 面 1 1BCC B ,且 1BB BC B ,所以 AB 面 1 1BCC B ………… 11 分
又 AB ABD 面 ,所以平面 ABD ⊥平面 1 1BCC B …………………………………………………14 分
17．解：（Ⅰ）因为 1cos60 2 12 2
p OA ,即 2p ,所以抛物线 C 的方程为 2 4y x ……… 2 分
设⊙M 的半径为 r ,则 1 22 cos60
OBr ,所以 M 的方程为 2 2( 2) 4x y ……………… 5 分
（Ⅱ）设 ( , )( 0)P x y x ,则 (2 , )(1 , )PM PF x y x y
= 2 2 23 2 2x x y x x ……8 分
所以当 0x 时, PM PF 有最小值为 2 ……………………………………………………………10 分
（Ⅲ）以点 Q 这圆心,QS 为半径作⊙Q,则线段 ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦………………… 11 分
设点 ( 1, )Q t ,则 2 2 24 5QS QM t ,所以⊙Q 的方程为 2 2 2( 1) ( ) 5x y t t …13 分
从而直线 QS 的方程为3 2 0x ty (*)………………………………………………………………14 分
因为
2
3
0
x
y
一定是方程(*)的解,所以直线 QS 恒过一个定点,且该定点坐标为 2( ,0)3 ……………16 分
18．解：（Ⅰ）因为 4a ,所以
64 4(0 4)8
20 2 (4 10)
xy x
x x
…………………………………………………1 分
则当 0 4x 时,由 64 4 48 x
,解得 0x ,所以此时 0 4x …………………………………… 3 分
当 4 10x 时,由 20 2 4x ,解得 8x ,所以此时 4 8x ………………………………………5 分
综合,得 0 8x ,若一次投放 4 个单位的制剂,则有效治污时间可达 8 天………………………… 6 分
（Ⅱ）当 6 10x 时, 1 162 (5 ) ( 1)2 8 ( 6)y x a x
……………………………………………9 分
= 1610 14
ax ax
= 16(14 ) 414
ax ax
,因为14 [4,8]x ,而1 4a ,
所以 4 [4,8]a ,故当且仅当14 4x a 时,y 有最小值为8 4a a ………………………12 分
令8 4 4a a ,解得 24 16 2 4a ,所以 a 的最小值为 24 16 2 1.6 ………………14 分
19．解：（Ⅰ）据题意得 2 2 1 4n n nb a a n ,所以 nb 成等差数列,故 22 2nT n n ……………4 分
（Ⅱ）当 1
2p 时,数列 nc 成等比数列；当 1
2p 时,数列 nc 不为等比数列……………………5 分
理由如下:因为 1 2 2 2 1 2n n nc a pa n 2( 4 ) 2np a n n 4 2npc pn n ,
所以 1 2 (1 2 )n
n n
c n ppc c
,故当 1
2p 时,数列 nc 是首项为 1,公比为 1
2
等比数列；
当 1
2p 时,数列 nc 不成等比数列 ………………………………………………………………… 9 分
（Ⅲ）当 1
2p 时, 1
2
1( )2
n
n na c , 1
2 1 2
14 ( )2
n
n n na b a n
………………………………10 分
因为 2 1 1 1 2 ...n nS a b b b = 22 2 2n n ( 1n ) ……………………………………………12 分
2 1 2( 10) 1n nS c ， 24 4 16 4nn n ，设 2( ) 4 4 4 16xf x x x ( 2)x ，
则 ( ) ( ) 4 ln 4 8 4xg x f x x ， 2( ) (ln 4) 4 8 0xg x ( 2)x ，且 (2) (2) 0g f ，
( )f x 在[2, ) 递增，且 (3 0f ） ， (1) 0f ，
仅存在惟一的 3n 使得 2 1 2( 10) 1n nS c 成立……………………………………………………16 分
20．解：（Ⅰ）当 1a , [1, ]x e 时 2( ) ln 1f x x x , 1( ) 2 (1) 1f x x fx
,
所以 ( )f x 在[1, ]e 递增,所以 2
max( ) ( )f x f e e ………………………………………………………4 分
（Ⅱ）①当 ex 时， axaxxf ln)( 2 ，
x
axxf 2)( ， 0a ， 0)( xf 恒成立,
)(xf 在 ),[ e 上增函数,故当 ex 时， 2
min )( eefy …………………………………………5 分
②当 ex 1 时， 2( ) ln f x x a x a ， )2)(2(22)( axaxxx
axxf ，
（i）当 ,12
a 即 20 a 时， )(xf 在 ),1( ex 时为正数，所以 )(xf 在区间 ),1[ e 上为增函数,
故当 1x 时， ay 1min ，且此时 )()1( eff 2 e ……………………………………………7 分
(ii)当 ea
21 ,即 222 ea 时， )(xf 在 )2,1( ax 时为负数，在间 ),2( eax 时为正数,
所以 )(xf 在区间 )2,1[ a 上为减函数，在 ],2( ea 上为增函数,故当
2
ax 时，
2ln22
3
min
aaay ，
且此时 )()2( efaf 2 e ………………………………………………………………………8 分
(iii)当 ea
2
,即 22ea 时， )(xf 在 ),1( ex 时为负数，所以 )(xf 在区间[1,e]上为减函数，
故当 ex 时， 2
min )( eefy ………………………………………………………………9 分
综上所述，函数 )(xfy 的最小值为
22
2
min
2,
22,2ln22
3
20,1
eae
eaaaa
aa
y ……………………………10 分
所以当 31 2a a 时,得 0 2a ；当 3 3ln2 2 2 2
a aa a ( 22 2a e )时,无解；
当 2 3
2e a （ 22a e ）时,得 2
3a e 不成立.
综上,所求 a 的取值范围是 0 2a …………………………………………11 分
（Ⅲ）①当 0 2a 时, ( )g x 在[2, ) 单调递增,由 (2 6 2 2ln 2 1g a a ） ,
得 5 2 ln 2 23 3 a ………………………………………………………………………………………12 分
②当1 22
a 时， ( )g x 在[2, ) 先减后增,由 3(2 2 2 2ln 2 ln2 2 2
） a a ag a ,
得 ln 2 2ln 2 02 2 2
a a a , 设 ( ) ln 2 2ln 2( )2
ah t t t t t , ( ) 2 ln 0(1 2)h t t t ,
所以 ( )h t 单调递增且 (2) 0h ，所以 ( ) 0h t 恒成立得 2 4a ……………………………………14 分
y
a
2
a x
③当 22 2
a e 时, ( )f x 在[2, ]2
a 递增，在[ , ]2
a a 递减，
在[ , )a 递增,所以由 ( )2
ag 3 ln2 2 2
a a a ,
得
2 3 ln 2 2ln 2 04 2 2 2
a a a a ,设 2( ) 3 ln 2 2ln 2m t t t t t ,
则 2( ) 2 2 ln 0( (2, )m t t t t e ,所以 ( )m t 递增，且 (2) 0m ,
所以 ( ) 0m t 恒成立，无解.
④当 22a e 时， ( )f x 在[2, ]2
a 递增，在[ , ]2
a a 递减，在[ , )a 递增,
所以由 ( )2
ag e 得
2
2 2 2ln 2 04
a e 无解.
综上,所求 a 的取值范围是 5 2[ ln 2,4)3 3a
………………………16 分
数学附加题部分
21．A.证明：连结 OF,因为 DF 切⊙O 于 F，所以∠OFD=90°,所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为 OC=OF，所以∠OCF=∠OFC,又因为 CO⊥AB 于 O，
所以∠OCF+∠CEO=90°………………………………………………………………………………5 分
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以 DF=DE,因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF2=DB·DA．
所以 DE2=DB·DA……………………………………………………………………………………10 分
B. 解：特征多项式 2 22 1( ) ( 2) 1 4 31 2f
………………………………3 分
由 ( ) 0f ，解得 1 21, 3 ……6 分 将 1 1 代入特征方程组，得 0,
0
x y
x y
0 x y ,可取 1
1
为属于特征值 1=1 的一个特征向量………………………………………8 分
同理,当 2 3 时,由 0, 00
x y x yx y
,所以可取 1
1
为属于特征值 2 3 的一个特征向量．
综上所述,矩阵 2 1
1 2
有两个特征值 1 21 3 ， ；属于 1 1 的一个特征向量为 1
1
，
属于 2 3 的一个特征向量为 1
1
……………………………………………………………………10 分
C. 解：（Ⅰ）曲线 C 的极坐标方程可化为 2 2 sin ……………………………………………2 分
又 2 2 2 , cos , sinx y x y ,所以曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 2 0x y y …………4 分
（Ⅱ）将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 4 ( 2)3y x ………………………………………6 分
令 0y ,得 2x ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆，圆 C 的圆心坐标为(1,0)，
半径 1r ，则 5MC …………………………………………………………………………………8 分
所以 5 1MN MC r ≤ ……………………………………………………………………………10 分
D. 因为 0m ，所以1 0m ，所以要证 2 2 2
1 1
a mb a mb
m m
，即证 2 2 2( ) (1 )( )a mb m a mb ，
即证 2 2( 2 ) 0m a ab b ，即证 2( ) 0a b ，而 2( ) 0a b 显然成立，故 2 2 2
1 1
a mb a mb
m m
…10 分
22.解：（Ⅰ）令 1x ，得 0 1 2 2011a a a a = 2011 2011(1 2) (1 1) 1 ………………………4 分
（Ⅱ）因为 1 12 2 20m nC C m n ，所以 20 2n m ,则 2x 的系数为 2 2 22 m nC C
2( 1) ( 1) 14 2 2 (20 2 )(19 2 )2 2 2
m m n n m m m m = 24 41 190m m ……………7 分
所以当 5, 10m n 时， ( )f x 展开式中 2x 的系数最小，最小值为 85…………………………10 分
23.解：（Ⅰ）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为 A,则 3 3 9( ) 4 16 64P A ……………………4 分
（Ⅱ）由题意得, 的取值有 0,1,2,3,且 1( 0) 4p , 9( 1) 64p ,
( 2)p 3 13 56
4 16 64
273
512
, ( 3)p 3 13 8
4 16 64
39
512
,
即随机变量 的概率分布列为:
0 1 2 3
p 1
4
9
64
273
512
39
512
……………………………8 分
所以, 1 9 273 39 7350 1 2 34 64 512 512 512E ………………………………………………10
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