扬州市 2010—2011 学年度第一学期期末调研测试
高 三 数 学 参 考 答 案 2011．01
第 一 部 分
1． 10, 2
2． 1
2
3． 2
3
4．16.4
5．②④ 6． 2 2 7．1 8．8
9． 5
36 10． 2
2 11． 2 或 1
2
12． 2
13． 6 2(0, )2
14． 4
15．解：（Ⅰ）由 4 05
x
x
，得 4 5x ，
故集合 { | 4 5}B x x ； ………………………………………………………6分
（Ⅱ）由题可知， 2(2 , 1)B a a …………………………………………………8 分
①若 2 3 1a ，即 1
3a 时， (2,3 1)A a ，
又因为 A B ，所以 2
2 2
1 3 1
a
a a
，无解；
②若 2 3 1a 时，显然不合题意；
③若 2 3 1a ，即 1
3a 时， (3 1,2)A a ，
又因为 A B ，所以 2
2 3 1
1 2
a a
a
，解得 1a ．
综上所述， 1a ． ………………………………………………………………………14 分
16．解：因为 , ,A B C 成等差数列，所以 60B
（Ⅰ）由 22 2 2 2 cos60 3b a c ac a c ac ，
即 2 27 13 3ac ，得 40ac ， …………………………………………5 分
所以△ ABC 的面积 1 sin 10 32S ac B ；…………………………………………7 分
（Ⅱ） 3sin sin 6A C
＝ 3sin sin( )2A A
3sin cos 2sin 6A A A
……………………………………11 分
又由题可知 20, 3A
，所以 5,6 6 6A
，
则 3sin sin 2sin 1,26 6A C A
．……………………………………14 分
17．解：（Ⅰ）因为 BC AC ， M 为 AB 中点．所以CM AB ，
又因为平面 ABC 平面 ABDE ，平面 ABC 平面 ABDE ＝ AB ，CM 平面 ABC ，
所以CM 平面 ABDE ，
又因 DE 平面 ABDE ，所以CM DE ； ……………………………………7 分
（Ⅱ）当 1
3
AN
AC
时， //CD 平面 BEN ．
连结 AD 交 BE 于点 K ，连结 KN ，
因梯形 ABDE 中 //BD AE ， 2BD AE ，
所以 1
2
AK AE
KD BD
，则 1
3
AK
AD
又因 1
3
AN
AC
，所以 / /KN CD ……………………………………14 分
又 KN 平面 BEN ，CD 平面 BEN ，所以 / /CD 平面 BEN ．
18．解：（Ⅰ）设O 为圆环的圆心，依题意，∠CA1O=∠CA2O=∠CA3O= ，
CA1=CA2=CA3= 2
cos
，CO= 2tan ，
设金属杆总长为 ym，则
6 10 2tancosy = 2(3 sin ) 10cos
，（ 0 2
）
2
2(3sin 1)' cosy
，
当 1sin 3
时， ' 0y ；当 1sin 3
时， ' 0y ，
∴当 1sin 3
时，函数有极小值，也是最小值。 ……………………………………7 分
（Ⅱ）依题意， 2 10 2tancos
ny = 2( sin ) 10cos
n
，
2
2( sin 1)' cos
ny
，
当 1sin n
时， ' 0y ；当 1sin n
时， ' 0y ，
∴当 1sin n
时，函数有极小值，也是最小值。…………………………………………13 分
当 n≥4 时， 1 1
3n
，所以 C 点应上移。 …………………………………………15 分
19．解：（Ⅰ）依题意： 1 2AD F F ，即
2
2a cc
，
所以离心率 2
2e . …………………………………………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 2a c ，b c ，
故 (0, )A c ， (2 , )D c c ， 2 ( ,0)F c ， (2 ,0)T c ， ( 2 , )TA c c
所以椭圆方程是
2 2
2 2 12
x y
c c
，即 2 2 22 2x y c ，
直线 2F D 的方程是 0x y c
由
2 2 22 2
0
x y c
x y c
解得：
0x
y c
（舍去）或
4
3
1
3
x c
y c
即 4 1( , )3 3M c c ， …………………………………………7 分
2 1( , )3 3TM c c ，所以 3TA TM ，
即存在 3 使 3TA TM 成立。 …………………………………………10 分
（Ⅲ）解法一：由题可知圆心 N 在直线 y x 上，设圆心 N 的坐标为 ,n n ，
因圆过准线上一点 B，则圆与准线有公共点，
设圆心 N 到准线的距离为 d ，则 2MF d ，即 2 2 | 2 |n c n n c ，
解得： 3n c 或 n c ， …………………………………………14 分
又
2 2
2 2 2 2( ) 2 ,2 2
c cr n c n n c
由题可知， 2 2
min
4r c ，则 2 4c ，
故椭圆的方程为
2 2
18 4
x y ． …………………………………………16 分
（若直接用圆与准线相切时面积最小来做，在答案正确的情况下本小题得 3 分，否则不得分）
解法二：设 (0, )A c ， 2 ( ,0)F c ， (2 , )B c t ，
圆 2AF B 外接圆的方程是：
2 2 0x y Dx Ey F ，
则
2
2
2 2
0
0
4 2 0
c cD F
c cE F
c t cD tE F
，解得
2 23c tD E c t
所以圆心 ,2 2
D E
即
2 2 2 23 3,2( ) 2( )
c t c t
c t c t
……………………………………12 分
则
2 22 2 2 2
2 3 3
2( ) 2( )
c t c tr cc t c t
令
2 23
2( )
c tm c t
22 , 3 ,2
c c t c c cc t
，
2 2
2 2 2 2( ) 2 ,2 2
c cr n c n n c
…………………………………14 分
由题可知， 2 2
min
4r c ，则 2 4c ，
故椭圆的方程为
2 2
18 4
x y ． …………………………………16 分
解法三：设 (0, )A c ， 2 ( ,0)F c ， (2 , )B c t ，
2AF B 外接圆的方程是：
2 2 0x y Dx Ey F ，
则
2
2
2 2
0
0
4 2 0
c cD F
c cE F
c t cD tE F
FD E c c
，
2
2 2 2 2
2
1 1( 4 )4 2 2
Fr D E F c c
由 2 24 2 0c t cD tE F 得
2 24 (2 )( ) 0Fc t c t c Fc
2 2 24 2 2 0tFc t c ct F Fc
2 2 ( )2 0t c Fc ct t c
24[( ) 3 ]cF c t c ct c
所以 2F c ，或 27F c
所以
2
2 2 2
2
1 ( )2
Fr c cc
所以 2 4c
所求椭圆方程是
2 2
18 4
x y ． …………………………………16 分
20．解：（Ⅰ） 0A 时， n na S B ，
当 2n 时，由
1 1
n n
n n
a S B
a S B
得， 1 1( ) 0n n n na a S S
即
1
1
2
n
n
a
a
，所以，数列{ }na 是等比数列． …………………………………4 分
（Ⅱ）设数列的公差为 d ，分别令 1,2,3n 得：
1 1
2 2
3 3
2
3
a S A B
a S A B
a S A B
，即
2
2 3 2
5 4 3
A B
d A B
d A B
，解得
1
1
0
A
B
d
，
即等差数列{ }na 是常数列，所以 nS n ； …………………………………7 分
又
11
1 1 1
p qS S S
，则 1 1 1
11p q
，
11 11 0pq p q ， 211 11 11p q ，
因 p q ，所以 2
11 1
11 11
p
q
，解得 12
132
p
q
． …………………………………10 分
（Ⅲ）当 1n 时， 2 A B ，所以 2B A
所以 (2 )n na S An A ，
当 1n 时，由
1 1
2
( 1) 2
n n
n n
a S An A
a S A n A
得，
1 1( )n n n na a S S A
即 1
1 1
2 2n na a A
所以 1
1 ( )2n na A a A ，又 1 0a A
即数列{ }na A 是公比为 1
2
的等比数列，
所以 1
1
1( )( )2
n
na A a A ，即 11(1 )( )2
n
na A A ， …………………………12 分
1
2 2 2 112 1 (2 1) 1
n
n
n n
n
a A A A
a A A A
，
①当 1A 时
1
11 1(2 1) 1
n
n
n
a A
a A
且
1
n
n
a
a
的值随 n 的增大而减小，
即 31 2
2 3 4
aa a
a a a
，
所以， 1
2
aM a
，即 M 的取值范围是 2[ , )1A
；…………………………………14 分
②当 0 1A 时
1
11 1(2 1) 1
n
n
n
a A
a A
且
1
n
n
a
a
的值随 n 的增大而增大，
即 31 2
2 3 4
aa a
a a a
，
所以， 1M ，即 M 的取值范围是[1, ) ．…………………………………………16 分
第 二 部 分
21．B 解：设 a bM c d
，
由 0 1
1 0M
得： 1
0
b
d
，即
1,
0,
b
d
…………………………………………2 分
再由 1 2
2 1M
得， 2 2
2 1
a b
c d
，
即
2 2
2 1
a b
c d
，
0,
1,
a
c
…………………………………………………………4 分
所以 0 1
1 0M
，………………………………………………………………………6分
2 1 0
0 1M
． ………………………………………………………………………10 分
21．C 解：由 8sin
1 cos2
得： 2cos 4sin ， 2 2cos 4 sin ，
又 cos x ， sin y ，
所以，所求曲线的直角坐标方程是 2 4x y ，……………………………………………8 分
所以，焦点到准线的距离为 2 ．……………………………………………………………10 分
22．解：(Ⅰ)设正三棱柱的棱长为 2 ，建立如图所示的直角坐 标系，则：
(0, 1,0)A ， ( 3,0,0)B ， (0,1,0)C ，
1(0, 1,2)A ， 1( 3,0,2)B ， 1(0,1,2)C ，
所 以 ( 3,1,0)AB ， 1 (0, 2,2)CA ，
1 ( 3,1, 2)A B ，
因为 PC AB ，
所以 0CP AB ， 1 1( ) 0CA A P AB ，
1 1( ) 0CA A B AB ， 1
1
1
2
CA AB
A B AB
……………………………………………………………5 分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知： 3 3( , ,1)2 2CP ， 1 (0,2,2)AC ，
1
1
1
3 2 2cos , 8| | | | 2 2 2
CP ACCP AC
CP AC
，
所以异面直线 PC 与 1AC 所成角的余弦值是 2
8
． …………………………………5 分
证明：由 1 1x ， 1 1 n
n
n
xx p x
知， 0nx （ *n N ），
（Ⅰ）当 2p 时， 1 1 2
n
n
n
xx x
，
（1）当 1n 时， 1 1x < 2 ，命题成立．
（2）假设当 n k 时， 2kx ，
则当 1n k 时， 1
2 21 2 2 22 2 2 2
k
k
k k
xx x x
，
即 1n k 时，命题成立．
根据（1）（2）， 2nx （ *n N ）．………………………………………………………4 分
（Ⅱ）用数学归纳法证明， 1n nx x （ *n N ）．
（1）当 1n 时， 1
2
1
1 xx p x
>1= 1x ，命题成立．
（2）假设当 n k 时， 1k kx x ，
∵ 0kx ， 0p ，
∴
1k k
p p
p x p x
，
则当 1n k 时， 1 1 2k
k
k k
x px p x p x 2
1
2 k
k
p xp x
，
即 1n k 时，命题成立．
根据（1）（2）， 1n nx x （ *n N ）．………………………………………………………8 分
故不存在正整数 M，使得对于任意正整数 n ，都有 M nx x ．……………………………10 分
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