无锡市 2010 年秋学期高三期末调研试卷
数学
命题单位：宜兴市教研室 制卷单位：无锡市教研中心 2011．1
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答卷纸的相应．．．．．．
位置上．．．．
1． 设集合 25,log ( 3) , , ( , )RA a B a b a b ，若 1A B ，则 A B ▲ ．
2． 已知复数 2( 2) ( 1)iz m m 对应的点位于第二象限，则实数 m 的
范围为 ▲ ．
3． 若命题“ Rx ，使得 2 ( 1) 1 0x a x ”为假命题，则实数 a 的
范围 ▲ ．
4． 某算法的程序框图如图，若输入 4, 2, 6a b c ，则输出的结果为
▲ ．
5． 某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则
他等待的时间短于 5 分钟的概率为 ▲ ．
6． 已知 3sin 6 3x
，则 25sin sin6 3x x
= ▲ ．
7． 已知向量 ( 2,1), (1,0)a b ，则 2 3a b ▲ 已知曲线．
8． 设 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 2 3 0x y ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为
▲ ．
9． 已知数列 na 的前 n 项和 Sn=n2—7n, 且满足 16＜ak+ak+1＜22, 则正整
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题——第 14 题）、解答题（第 15 题——第 20 题）．本卷满分
160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡
的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0．5
毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4． 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
数 k= ▲ ．
10．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M 为 1BB 的中点，AC、BD 交于点 O，则 1D O 与平面
AMC 成的角为 ▲ 度．
11．y=x3+ax+1 的一条切线方程为 y=2x+1，则 a= ▲ ．
12．不 等 式 1 2 sinx a yx
对 一 切 非 零 实 数 ,x y 均 成 立 ， 则 实 数 a 的 范 围 为
▲ ．
13．已知函数 2( ) 2f x x x ，若存在实数 t ，当 [1, ]x m 时， ( ) 3f x t x 恒成立，则
实数 m 的最大值为 ▲ ．
14．已知函数 f（x）=|x2－2|，若 f（a）≥f（b），且 0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所
围成区域的面积为 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 14 分)
在边长为 6cm 的正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，M、N 分别为 AB、
CF 的中点，现沿 AE、AF、EF 折叠，使 B、C、D 三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别 MN 与平面 AEF 的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体 E-AFMN 的体积．
16．(本小题满分 14 分)
已知△ABC 中，| | 10AC ,| | 5AD , DBAD 11
5 , 0CD AB
．
（1）求 AB AC ；
（2）设 BAC ，且已知 4cos( ) 5x ， 02 x ，求 sinx．
M
N
F
E
B
C
A
D
A
E
F
M
N
B
17．（本小题满分 14 分）
已知 A、B 两地相距 2R ，以 AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点 C，连接 AC、BC，
在三角形 ABC 内种草坪（如图），M、N 分别为弧 AC、弧 BC 的中点，在三角形 AMC、三
角形 BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为 1S ，草坪的面积为 2S ，取 ABC ．
（1） 用 及 R 表示 1S 和 2S ；
（2） 求 1
2
S
S
的最小值．
18．(本小题满分 16 分)
已知椭圆
2
2 14
x y 的左顶点为 A，过 A 作两条互相垂直的弦 AM、AN 交椭圆于 M、
N 两点．
（1） 当直线 AM 的斜率为1时，求点 M 的坐标；
（2） 当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定点，若过定点，请给出证
明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．
19．(本小题满分 16 分)
已知数列 na 的首项 1
3
5a ， 1
3 , 1,2,2 1
n
n
n
aa na ．
（1）求证：数列 1 1
na
为等比数列；
(2) 记
1 2
1 1 1
n
n
S a a a
，若 100nS ，求最大的正整数 n ．
（3）是否存在互不相等的正整数 , ,m s n ，使 , ,m s n 成等差数列且 1, 1, 1m s na a a 成
等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
20．(本小题满分 16 分)
对于定义在区间 D 上的函数 xf 和 xg ，如果对于任意 Dx ，都有 1|| xgxf
成立，那么称函数 xf 在区间 D 上可被函数 xg 替代．
(1) 若 xxgx
xxf ln,1
2
，试判断在区间[ ],1[ e ]上 xf 能否被 xg 替代？
(2) 记 , lnf x x g x x ，证明 xf 在 1( , )( 1)m mm
上不能被 xg 替代；
(3) 设 xxxgaxxaxf 2
2
1)(,ln)( ，若 xf 在区间 ],1[ e 上能被 xg 替代，
求实数 a 的范围．
无锡市 2010 年秋学期高三期末考试试卷
数学（理科加试卷）
命题单位：宜兴市教研室 制卷单位：无锡市教研中心 2011．1
题号 １ ２ ３ ４ 总分
得分
核分人
注意事项及说明: 本卷考试时间为 30 分钟， 全卷满分为 40 分．
１．已知 (1,0,2), (2,2,0), (0,1,2)OA OB OC ，点 M 在直线 OC 上运动，当 MA MB
取最小时，求点 M 的坐标．
２．设在12 个同类型的零件中有 2 个次品，现抽取3 次进行检验，每次抽一个，并且取出
不再放回，若以变量 X 表示取出的次品个数．
（1） 求 X 的分布列；
（2） 求 X 的数学期望及方差．
3.若二项式
3
2( )nx
x
的展开式中的常数项为第五项．
(1)求 n 的值；
(2)求展开式中系数最大的项．
4．若 15 2 3 1n n ( )*Nn 能被正整数 m 整除，请写出 m 的最大值，并给予证明．
无锡市 2010 年秋学期高三期末调研考试评分标准
数 学
一．填空题
1． 1,1,5 2． (1, 2) 3． ( 1,3) 4． 6 5． 1
12 6． 2 3
3
7． 53
8． 13
2
或 13
3 9．8 10． 90 11．2 12． 1,3 13．8
14．
2
二．解答题：
15． （1）因翻折后 B、C、D 重合（如图），
所以 MN 应是 ABF 的一条中位线，………………3 分
则
MN AF
MN AEF MN AEF
AF AEF
平面 平面
平面
．………7 分
（2）因为 AB BE ABAB AF
平面 BEF，……………9 分
且 6, 3AB BE BF ，
∴ 9A BEFV ，………………………………………11 分
又 3 ,4
E AFMN AFMN
E ABF ABC
V S
V S
∴ 27
4E AFMNV ．………………………………………14
分
16．（1）由已知 DBAD 11
5 ，即 11
5D B AD ，
∵ | 5,AD ｜ ∴
| | 11DB ，………………………………………………………………2 分
∵ 0CD AB
， ∴
CD AB ， ………………………………………………………3 分
在 Rt△BCD 中， 2 2 2BC BD CD ,
又 2 2 2CD AC AD , ∴
2 2 2 2 196BC BD AC AD ， …………………………5 分
∴
| | | 14AB AC BC ． …………………………………………………………………6
分
（2）在△ABC 中，
2
1cos BAC ， ∴
3
． ……………………………………………7
A
E
F
M
N
B
分
即 4cos( ) cos( )3 5x x ，
3sin( )3 5x ， ……………………………………9 分
而
0,2 6 3 3x x ， …………………………………………………………10
分
则
1 3sin( ) sin( ) sin2 6 3 3 2x ， ………………………………………………1
2 分
∴ 3sin( )3 5x ， ∴ 3 4 3sin sin[( ) ]3 3 10x x
． ……………………………………14 分
17．（1）因为 ABC ，则 2 sin , 2 cosAC R BC R ，
则
2 2
2
1 2 sin cos sin 22S AC BC R R ．………………………………………3 分
设 AB 的中点为 O，连 MO、NO，则 ,MO AC NO BC ．
易 得 三 角 形 AMC 的 面 积 为
2 sin (1 cos )R ， ……………………………………………5 分
三 角 形 BNC 的 面 积 为
2 cos (1 sin )R ， …………………………………………………7 分
∴ 1S 2 sin (1 cos )R + 2 sin (1 cos )R
2 (sin cos 2sin cos )R ． ……………………………………………………8 分
（ 2 ） ∵
2
1
2
2
(sin cos 2sin cos ) sin cos 12 sin cos 2sin cos
S R
S R
， ………………………………10
分
令sin cos (1, 2]t ，则 22sin cos 1t ．
∴
1
2
2
11 111
S t
S t t t
． ……………………………………………………………………12
分
∴ 1
2
S
S
的 最 小 值 为
2 1 ．…………………………………………………………………………14 分
18 ． （ 1 ） 直 线 AM 的 斜 率 为 1 时 ， 直 线 AM ：
2y x ， ……………………………………………1 分
代 入 椭 圆 方 程 并 化 简 得 ：
25 16 12 0x x ， ……………………………………………2 分
解 之 得 1 2
62, 5x x ， ∴
6 4( , )5 5M ． ……………………………………………………4 分
（2）设直线 AM 的斜率为 k ，则 AM： ( 2)y k x ，
则 2
2
( 2),
1,4
y k x
x y
化 简 得 ：
2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k ．……………………………6 分
∵ 此 方 程 有 一 根 为 2 ， ∴
2
2
2 8
1 4M
kx k
， ………………………………………………………7 分
同 理 可 得
2
2
2 8
4N
kx k
．……………………………………………………………………………8 分
由 （ 1 ） 知 若 存 在 定 点 ， 则 此 点 必 为
6( ,0)5P ．…………………………………………………9 分
∵
2
2
2 2
2
2 8( 2) 51 4
6 2 8 6 4 4
5 1 4 5
M
MP
M
kky kkk k kx
k
，…………………………………………………11
分
同 理 可 计 算 得
2
5
4 4PN
kk k
．……………………………………………………………………13 分
∴ 直 线 MN 过 x 轴 上 的 一 定 点
6( ,0)5P ． …………………………………………………………16 分
19 ． （ 1 ） ∵
1
1 2 1
3 3n na a
， ∴
1
1 1 11 3 3n na a
，……………………………………………………2 分
且 ∵
1
1 1 0a
， ∴
1 1 0( )*N
n
na
， …………………………………………………………3 分
∴ 数 列 1 1
na
为 等 比 数
列． ………………………………………………………………………4 分
（ 2 ） 由 （ 1 ） 可 求 得 11 2 11 ( )3 3
n
na
， ∴
1 12 ( ) 13
n
na
．………………………………………5 分
2
1 2
1 1 1 1 1 12( )3 3 3n n
n
S na a a
1
1 1
13 32 11 31 3
n
nn n
，……
…………7 分
若 100nS ， 则 11 1003nn ， ∴
max 99n ．…………………………………………………9 分
（ 3 ） 假 设 存 在 ， 则
22 ,( 1) ( 1) ( 1)m n sm n s a a a ， …………………………………………10 分
∵ 3
3 2
n
n na
， ∴
23 3 3( 1) ( 1) ( 1)3 2 3 2 3 2
n m s
n m s
．………………………………………12 分
化 简 得 ：
3 3 2 3m n s ，………………………………………………………………………………13 分
∵ 3 3 2 3 2 3m n m n s ， 当 且 仅 当 m n 时 等 号 成
立．………………………………………15 分
又 , ,m n s 互 不 相 等 ， ∴ 不 存
在． ………………………………………………………………………16 分
20．∵ xx
xxgxf ln1
2)( ，
令 xx
xxh ln1
2)( ， ∵
0
2
2211
2
1)( 2
2
2
x
xx
xx
xh ，……………………………2 分
∴ )(xh 在 ],1[ e 上 单 调 增 ， ∴
]11
2,2
1[)(
e
exh ．……………………………………………3 分
∴ 1)()( xgxf ， 即 在 区 间 [ ],1[ e ] 上 xf 能 被 xg 替
代．…………………………………4 分
（2）令 ( ) ( ) ( ) lnt x f x g x x x ．
1 1( ) 1 xt x x x
，………………………………………………………………………
………5 分
且 当 1x 时 ， ( ) 0t x ； 当 1x 时 ，
( ) 0t x ，…………………………………………………6 分
( ) (1) 1t x t ， 即
( ) ( ) ln 1f x g x x x ，…………………………………………………7 分
∴ xf 在 1( , )( 1)m mm
上 不 能 被 xg 替
代． ……………………………………………………8 分
（3）∵ xf 在区间 ],1[ e 上能被 xg 替代，即 1)()( xgxf 对于 ],1[ ex 恒成立．
∴
12
1ln 2 xxaxxa ． 12
1ln1 2 xxaxxa ，………………………………
9 分
由（2）的知，当 ],1[ ex 时， 0ln xx 恒成立，
∴ 有 ①
xx
xx
a ln
12
1 2
，…………………………………………………………………………10 分
令
xx
xx
xF ln
12
1
)(
2
，
∵ 2
2
)ln(
)12
1)(11()ln)(1(
)(
xx
xxxxxx
xF
2)ln(
)1ln12
1)(1(
xx
xxxx
，
由 （ 1 ） 的 结 果 可 知
1 11 ln 02 x x x
，……………………………………………………………11 分
∴ )(xF 恒 大 于 零 ， ∴
2
1a ．…………………………………………………………………………12 分
②
xx
xx
a ln
12
1 2
，…………………………………………………………………………………
13 分
令
xx
xx
xG ln
12
1
)(
2
，
∵ 2
2
)ln(
)12
1)(11()ln)(1(
)(
xx
xxxxxx
xG
2)ln(
)1ln12
1)(1(
xx
xxxx
，
∵
1 1 1 11 ln 1 ln 02 2x x x xx x
，………………………………………………………
…14 分
∴ )(xG 恒 大 于 零 ， ∴
)1(2
222
e
eea ， …………………………………………………………15 分
即 实 数 a 的 范 围 为
)1(2
22
2
1 2
e
eea ． …………………………………………………………16 分
无锡市 2010 年秋学期高三期末考试评分标准
数学加试题
1 ． 设
( , ,2 )OM OC o ，…………………………………………………………………………
2 分
∴
(1, ,2 2 )MA MO OA ， ……………………………………………………………3
分
(2,2 , 2 )MB MO OB ， ……………………………………………………
………4 分
∴
22 (2 ) 2 (2 2 ) 5 6 2MA MB ……………………………………
…6 分
23 15( )5 5
， …………………………………………………………………………8 分
∴ 当 3
5
时 ， MA MB 最 小 ． 此 时
3 6(0, , )5 5M ． ………………………………………………10 分
2．（1）X 的分布列为：
X 0 1 2
( )P X 6
11
9
22
1
22
………………………………………………………………………………………………………
…………6 分
（ 2 ）
6 9 1 1( ) 0 1 211 22 22 2E X ， …………………………………………………………
…8 分
2 29 1 1 15( ) 1 222 22 4 44V X ．……………………………………………………………
……10 分
3 ． （ 1 ）
1 3
2( ) ( )r n r r
r nT C x
x
， ……………………………………………………………………
１分
x 的 指 数 为
03 2
n r r ，…………………………………………………………………………２分
3
2( )nx
x
的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 第 五 项 ， ∴
4r ，…………………………………………3 分
解 得 ：
10n ． ……………………………………………………………………………………４分
（ 2 ） 10
1 10 3
2( ) ( )r r r
rT C x
x
， 其 系 数 为
10
10 2r rC ．…………………………………………………５分
设 第 1k 项 的 系 数 最 大 ， 则
10 1 9
10 10
10 1 11
10 10
2 2 ,
2 2 ,
k k k k
k k k k
C C
C C
………………………………………………６分
化 简 得 ： 2( 1) 10 ,
11 2 ,
k k
k k
即 8 11,3 3k ∴
3k ，………………………………………………８分
即 第 四 项 系 数 最 大 ，
5 5
3 7 6 6
4 10 2 15360T C x x
．…………………………………………………１０分
4 ． 当 1n 时 ， 1 05 2 3 1 8 ， ∴
8m ，……………………………………………………………2 分
下 证 15 2 3 1.( )*Nn n n 能 被 8 整
除． ……………………………………………………………3 分
1 、 当 1n 时 已
证；…………………………………………………………………………………………4 分
2 、 假 设 当 ( )*Nn k k 时 命 题 成 立 ， 即 15 2 3 1k k 能 被 8 整
除．………………………………5 分
则 当 1n k 时 ，
1 15 2 3 1 5 5 6 3 1k k k k ……………………………………………………6 分
1 1(5 2 3 1) 4(5 3 )k k k k ， ……………………………………………………7 分
∵ 15 2 3 1k k 能被8 整除，而 15 3k k 为偶数，
∴ 14(5 3 )k k 也 能 被 8 整 除 ． 即 当 1n k 时 命 题 也 成
立．………………………………………………8 分
由 1 、 2 得 m 的 最 大 值 为
8 ． ………………………………………………………………………………10 分
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