2011丰台区高三期末考试（数学文）有答案

正视图 俯视图 2 1.6 2 1.5 丰台区高三数学第一学期期末试卷（文科）2011.1 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1．复数 2 1 i i 等于 A． 1 i  B． 1 i  C．1 i D．1 i 2．某单位有老年人 27 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了调查他们身体状况的某项指 标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了 18 人，那么该单 位抽取的样本容量为 A．27 B．36 C．54 D．81 3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是 A． 3 3 32 2 25   B． 323 3 25   C． 329 3 25   D． 1289 3 25   4．已知 (0 )4   ， ， 3log sina  ， sin2b  ， cos2c  ，那么 a，b，c 的大小关系是 A．a > c > b B．c > a > b C．b > c > a D． c > b >a 5．已知等比数列{ }na 的公比为 1 2 ，并且 a1+a3 + a5 +…+a99=60，那么 a1+a2 +a3+…+a99 +a100 的值是 A．30 B．90 C．100 D．120 6．已知命题 p ： 1x  ， 2 1 0x   ，那么 p 是 A． 1x  ， 2 1 0x   B． 1x  ， 2 1 0x   C． 1x  ， 2 1 0x   D． 1x  ， 2 1 0x   7．对任意非零实数 a ，b ，若 a b 的运算原理如右图 程序框图所示，则 (3 2) 4  的值是 A．0 B． 1 2 C． 3 2 D．9 8 ． 已 知 函 数 3 1( ) ( ) log5 xf x x  ， 若 0x 是 函 数 ( )y f x 的零点，且 1 00 x x  ，则 1( )f x A．恒为正值 B．等于 0 C．恒为负值 D．不大于 0 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9．在△ABC 中，如果 5AB  ， 3AC  ， 7BC  ，那么 A = ． 10．已知向量 (4 3)a  ， ， ( 1 2)b   ， ，那么 a  与b  夹角的余弦值为 ． 11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如 右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别 为 ， ． 12．过点 ( 3 4) ， 且与圆 2 2( 1) ( 1) 25x y    相切的直线方程为 ． 13．已知 x，y 满足约束条件 1 2 6 0 y y x x y        ， ， ， 那么 3z x y  的最小值为 ． 14．若 X 是一个集合， 是一个以 X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于 ， 属 于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③ 中任意多个元素的交集属于 ．则称 是 集合 X 上的一个拓扑．已知集合 X ={ , , }a b c ，对于下面给出的四个集合 ： ① { { } { } { }}a c a b c  ， ， ， ，， ； ② { { } { } { } { }}b c b c a b c  ， ， ， ， ， ，， ； ③ { { } { } { }}a a b a c  ， ， ， ， ， ； ④ { { } { } { } { }}a c b c c a b c  ， ， ， ， ， ， ，， ． 开始 输入 ba, ？ba  输出 a b 1 输出 b a 1 结束 是 否 其中是集合 X 上的拓扑的集合 的序号是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 15．（本小题共 13 分） 已知函数 2( ) 2sin cos 2cos ( )f x x x x x R   ． （Ⅰ）求函数 )(xf 的最小正周期； （Ⅱ）当 0 2x     ， 时，求函数 )(xf 的取值范围． 16．（本小题共 13 分） 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D 是 AB 的中点． （Ⅰ）求证：AC⊥B1C； （Ⅱ）求证：AC1∥平面 B1CD； 17．（本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) logaf x x （ 0a  且 1a  ）． （Ⅰ）若函数 ( )f x 在[2 3]， 上的最大值与最小值的和为 2，求 a 的值； （Ⅱ）将函数 ( )f x 图象上所有的点向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度， 所得函数图象不经过第二象限，求 a 的取值范围． A A1 B C D B1 C1 18．（本小题 14 分） 已知 O 为平面直角坐标系的原点，过点 ( 2 0)M  ， 的直线 l 与圆 2 2 1x y  交于 P ，Q 两 点． （Ⅰ）若 3PQ  ，求直线 l 的方程； （Ⅱ）若 1 2MP MQ  ，求直线 l 与圆的交点坐标． 19．（本小题共 13 分） 已知函数 2( ) ( 1)xf x e x ax   ． （Ⅰ）若曲线 ( )y f x 在点 (2 (2))f， 处的切线与 x 轴平行，求 a 的值； （Ⅱ）求函数 ( )f x 的极值． 20．（本小题共 13 分） 已知函数 2( ) ( 0)f x ax bx a   的导函数 ( ) 4 22f x x    ，数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，点 ( )n nP n S， （ *nN ）均在函数 )(xfy  的图象上． （Ⅰ）求数列 }{ na 的通项公式 na 及前 n 项和 nS ； （Ⅱ）存在 *k N ，使得 kn SSS n  21 21 对任意 *nN 恒成立，求出 k 的最小 值； （Ⅲ）是否存在 *mN ，使得 1 2 m m m a a a    为数列 na 中的项？若存在，求出 m 的值；若 不存在，请说明理由． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 丰台区高三数学第一学期期末文科参考答案及评分标准 2011.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D B B C A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9． 2 3  10． 2 5 25 11．85，3.2 12． 4 3 24 0x y   13． 4 14．②④ 注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) 2sin cos 2cos ( )f x x x x x R   ． （Ⅰ）求函数 )(xf 的最小正周期； （Ⅱ）当 0 2x     ， 时，求函数 )(xf 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为 ( ) sin 2 cos2 1f x x x   A A1 B C D B1 C1 E 2 sin(2 ) 14x    ． 所 以 2 2T    ． ………………………7 分 （Ⅱ） ( ) 2 sin(2 ) 14f x x    当 0, 2x     时， 324 4 4x      ， 所以 当 2 4 2x    ， max( ) 2 1f x   ， 当 2 4 4x     ， min( ) 2f x   ． 所 以 )(xf 的 取 值 范 围 是 2 2 1   ， ． ………………………13 分 16．（本小题满分 13 分） 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D 点在线段 AB 上． （Ⅰ）求证：AC⊥B1C； （Ⅱ）若 D 是 AB 中点，求证：AC1∥平面 B1CD； 证明：（Ⅰ）在△ABC 中，因为 AB=5，AC=4，BC=3， 所以 AC⊥BC． 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1，所以 C C1⊥AC． 因为 BC∩AC =C， 所以 AC⊥平面 B B1C1C． 所以 AC⊥B1C． ………………………7 分 （Ⅱ）连结 BC1，交 B1C 于 E． 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1， 所以 侧面 B B1C1C 为矩形，且 E 为 B1C 中点． 又 D 是 AB 中点，所以 DE 为△ABC1 的中位线， 所以 DE// AC1． 因为 DE 平面 B1CD， AC1  平面 B1CD， 所 以 AC1 ∥ 平 面 B1CD． ………………………13 分 17．（本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) logaf x x （ 0a  且 1a  ）． （Ⅰ）若函数 ( )f x 在[2 3]， 上的最大值与最小值的和为 2，求 a 的值； （Ⅱ）将函数 ( )f x 图象上所有的点向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度， 所得图象不经过第二象限，求 a 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为函数 ( ) logaf x x 在[2 3]， 上是单调函数， 所以 log 3 log 2 2a a  ． 所 以 6a  ． ………………………6 分 （Ⅱ）依题意，所得函数 ( ) log ( 2) 1ag x x   ， 由 ( )g x 函数图象恒过 ( 1 1) ， 点，且不经过第二象限， 可得 1 (0) 0 a g    ，即 1 log 2 1 0a a     ， 解 得 2a  ． 所 以 a 的 取 值 范 围 是 [2 ) ， ． ………………………14 分 18．（本小题满分 14 分） 已知 O 为平面直角坐标系的原点，过点 ( 2 0)M  ， 的直线 l 与圆 2 2 1x y  交于 P ，Q 两 点． （Ⅰ）若 3PQ  ，求直线 l 的方程； （Ⅱ）若 1 2MP MQ  ，求直线 l 与圆的交点坐标． 解：（Ⅰ）依题意，直线 l 的斜率存在， 因为 直线 l 过点 ( 2,0)M  ，可设直线l ： ( 2)y k x  ． 因为 3PQ  ，圆的半径为 1， P ， Q 两点在圆 2 2 1x y  上， 所以 圆心O 到直线 l 的距离等于 23 11 ( )2 2   ． 又因为 2 | 2 | 1 21 k k   ， 所以 15 15k   ， 所 以 直 线 l 的 方 程 为 15 2 0x y   或 15 2 0x y   ． ………………………7 分 （Ⅱ）设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ， 所以 2 2( 2, )MQ x y  ， 1 1( 2, )MP x y  ． 因为 2MQ MP  ， 所以 2 1 2 1 2 2( 2) 2 x x y y      即 2 1 2 1 2( 1) 2 x x y y     （*）； 因为 P ，Q 两点在圆上， 所以 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 x y x y      把（*）代入，得 2 2 1 1 2 2 1 1 1 4( 1) 4 1 x y x y       ， 所以 1 1 7 8 15 8 x y       ， ， 2 2 1 4 15 4 x y      ， ． 所 以 P 点 坐 标 为 7 15( )8 8  ， 或 7 15( )8 8  ， ， Q 点 坐 标 为 1 15( )4 4 ， 或 1 15( )4 4 ， ． …………… …………14 分 19．（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) ( 1)xf x e x ax   ． （Ⅰ）若曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处的切线与 x 轴平行，求 a 的值； （Ⅱ）求函数 ( )f x 的极值． 解：（Ⅰ） 2 2( ) ( 1 2 ) [ ( 2) 1]x xf x e x ax x a e x a x a           ． 因为曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))f 处的切线与 x 轴平行， 所以 (2) 0f   ，即 2(2) [4 2( 2) 1] 0f e a a       所 以 3a   ． ………………………5 分 （ Ⅱ ） ( ) ( 1)( 1)xf x e x a x     ． 令 ( ) 0f x  ， 则 1x a   或 1x   ． ①当 1 1a   ，即 0a  时， 2( ) ( 1) 0xf x e x    ， 函数 ( )y f x 在 ( )  ， 上为增函数，函数无极值点； ②当 ( 1) 1a    ，即 0a  时． x ( 1)a  ， 1a  ( 1 1)a  ， 1 ( 1 )  ， ( )f x + 0 - 0 + ( )f x ↗ 极大值 ↘ 极小 值 ↗ 所以 当 1x a   时，函数有极大值是 1( 2)ae a   ，当 1x   时，函数有极小值 是 2 a e  ； ③当 ( 1) 1a    ，即 0a  时． x ( 1) ， 1 ( 1 1)a  ， 1a  ( 1 )a   ， ( )f x + 0 - 0 + ( )f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 当 1x   时，函数有极大值是 2 a e  ，当 1x a   时，函数有极小值是 1( 2)ae a   ． 综上所述，当 0a  时函数无极值； 当 0a  时，当 1x a   时，函数有极大值是 1( 2)ae a   ，当 1x   时，函数有极小 值是 2 a e  ；当 0a  时，当 1x   时，函数有极大值是 2 a e  ，当 1x a   时，函数 有极小值是 1( 2)ae a   ． … ……………………13 分 20．（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) ( 0)f x ax bx a   的导函数 ( ) 4 22f x x    ，数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，点 ( , )n nP n S （ *nN ）均在函数 )(xfy  的图象上． （Ⅰ）求数列 }{ na 的通项公式 na 及前 n 项和 nS ； （Ⅱ）存在 *k N ，使得 kn SSS n  21 21 对任意 *nN 恒成立，求出 k 的最小 值； （Ⅲ）是否存在 *mN ，使得 1 2 m m m a a a    为数列 na 中的项？若存在，求出 m 的值；若 不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）因为 2( ) ( 0)f x ax bx a   ，所以 ( ) 2f x ax b   ． 因为 ( ) 4 22f x x    ， 所以 2a   ， 22b  ． 所以 2( ) 2 22f x x x   ． 因为 点 ( , )n nP n S （ *nN ）均在函数 )(xfy  的图象上， 所以 22 22nS n n   ． 当 1n  时， 1 1 20a S  ， 当 2n  时， 1 4 24n n na S S n     ， 所 以 4 24na n   （ *nN ）． ………………………4 分 （Ⅱ）存在 *k N ，使得 kn SSS n  21 21 对任意 *nN 恒成立． 只要 1 2 max( )1 2 nSS Sk n     由（Ⅰ）知 22 22nS n n   ， 所以 2 22 2(11 )nS n nn      ． 当 11n  时， 0nS n  ； 当 11n  时， 0nS n  ； 当 11n  时， 0nS n  ； 所以 当 10n  或 11n  时， 1 2 1 2 nSS S n    有最大值是110． 所以 110k  ， 又因为 *k N ， 所 以 k 的 最 小 值 为 111． ………………………8 分 （Ⅲ）存在 *mN ，使得 1 2 m m m a a a    为数列 na 中的项． 由（Ⅰ）知 24 4na n  ， 所以 24 4ma m  ， 1 20 4ma m   ， 2 16 4ma m   ， 所以 1 2 (24 4 ) (20 4 ) 4(6 )(5 ) 16 4 4 m m m a a m m m m a m m           ． 令 4 ( 3 )t m t t    Z， ， 所以 1 2 4(6 )(5 ) 4(2 )(1 ) 24( 3 )4 m m m a a m m t t ta m t t            ， 如果 1 2 m m m a a a    是数列 }{ na 中的项，那么 23t t   为小于等于 5 的整数， 所以 { 2, 1,1,2}t    ． 当 1t  或 2t  时， 23 6t t    ，不合题意； 当 1t   或 2t   时， 23 0t t    ，符合题意． 所以，当 1t   或 2t   时，即 5m  或 6m  时， 1 2 m m m a a a    为数列 na 中的项． … … … … ……………13 分 （若用其他方法解题，请酌情给分）