2011丰台区高三期末（数学理）有答案

正视图 俯视图 2 1.6 2 1.5 丰台区高三数学第一学期期末试卷（理科）2011.1 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1．集合 2{ 9 0}P x x   ， { 1 3}Q x x    Z ，则 P∩Q= A．{ 3 3}x x   B．{ 1 3}x x   C．{ 1 0 1 2 3} ，，，， D．{ 1 0 1 2} ，，， 2．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是 A． 3 3 32 2 25   B． 323 3 25   C． 329 3 25   D． 1289 3 25   3．已知命题 p ： 1x  ， 2 1 0x   ，那么 p 是 A． 1x  ， 2 1 0x   B． 1x  ， 2 1 0x   C． 1x  ， 2 1 0x   D． 1x  ， 2 1 0x   4．如果向量 ( ,1)a k 与 (6 1)b k  ， 共线且方向相反，那么 k 的值为 A．-3 B．2 C． 1 7  D． 1 7 5．有 5 名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么 5 名同学值 日顺序的编排方案共有 A．24 种 B．48 种 C．96 种 D．120 种 6．设偶函数 ( )f x 在[0 ) ， 上为增函数，且 (2) (4) 0f f  ，那么下列四个命题中一定正 确的是 A． (3) (5) 0f f  B． ( 3) ( 5)f f   C．函数在点 ( 4 ( 4))f ， 处的切线斜率 1 0k  D．函数在点 (4 (4))f， 处的切线斜率 2 0k  开始 2a  , 1n  输出 a 结束 3a a 1n n  2010n  是 否 7．程序框图如图所示，将输出的 a 的值依次记为 a1，a2，…，an，其中 *nN 且 2010n  ．那么数列{ }na 的通项公式为 A． 12 3n na   B． 3 1n na   C． 3 1na n  D． 21 (3 )2na n n  8．用 max{ }a b， 表示 a，b 两个数中的最大数，设 2( ) max{ }f x x x ， 1( )4x  ， 那么由函数 ( )y f x 的图象、x 轴、直线 1 4x  和直线 2x  所围成的封闭图 形的面积是 A． 35 12 B． 59 24 C． 57 8 D． 91 12 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9．复数 2 1 i i = ． 10．在△ABC 中，如果 : : 3: 2: 4a b c  ，那么 cosC = ． 11．某年级举行校园歌曲演唱比赛，七位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图 如右图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分 别为 ， ． 12．过点 ( 3 4) ， 且与圆 2 2( 1) ( 1) 25x y    相切的直线方程为 ． 13．已知 x，y 满足约束条件 1 2 6 0 y y x x y        ， ， ， 那么 3z x y  的最小值为 ． 14．定义方程 ( ) ( )f x f x 的实数根 x0 叫做函数 ( )f x 的“新驻点”，如果函数 ( )g x x ， ( ) ln( 1)h x x  ， ( ) cosx x  （ ( )x   ， ）的“新驻点”分别为 ， ， ，那么 ，  ， 的大小关系是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 15.（本小题共 13 分） 已知函数 2( ) 2sin cos 2cosf x x x x    （ 0x  R， ），相邻两条对称轴之间 的距离等于 2  ． （Ⅰ）求 ( )4f  的值； （Ⅱ）当 0 2x     ， 时，求函数 )(xf 的最大值和最小值及相应的 x 值． 16.（本小题共 14 分） 直三棱柱 ABC -A1B1C1 中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点 D 在 AB 上． （Ⅰ）求证：AC⊥B1C； （Ⅱ）若 D 是 AB 中点，求证：AC1∥平面 B1CD； （Ⅲ）当 1 3 BD AB  时，求二面角 1B CD B  的余弦值． 17.（本小题共 13 分） 某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是 0.6，答对第二 A A1 B C D B1 C1 题的概率是 0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响． （I） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率； （Ⅱ）记 为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求 的分布列及数学期 望 E ． 18.（本小题共 13 分） 已知 O 为平面直角坐标系的原点，过点 ( 2 0)M  ， 的直线 l 与圆 2 2 1x y  交于 P ，Q 两 点． （I）若 1 2OP OQ    ，求直线 l 的方程； （Ⅱ）若 OMP 与 OPQ 的面积相等，求直线 l 的斜率． 19.（本小题共 14 分） 设函数 2( ) (1 ) 2ln(1 )f x x x    ． （I）求 ( )f x 的单调区间； （II）当 0  注：两个空的填空题第一个空填对得 2 分，第二个空填对得 3 分． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) 2sin cos 2cosf x x x x    （ 0x  R， ），相邻两条对称轴之间 的距离等于 2  ． （Ⅰ）求 ( )4f  的值； （Ⅱ）当 0, 2x     时，求函数 )(xf 的最大值和最小值及相应的 x 值． 解：（Ⅰ） ( ) sin 2 cos2 1 2 sin(2 ) 14f x x x x         ． A A1 B C D B1 C1 E 因为 2 2 T  ，所以 T   ， 1  ． 所以 ( ) 2 sin(2 ) 14f x x    ． 所 以 ( ) 04f   ………………………7 分 （Ⅱ） ( ) 2 sin(2 ) 14f x x    当 0, 2x     时， 324 4 4x      ， 所以 当 2 4 2x    ，即 8x  时， max( ) 2 1f x   ， 当 2 4 4x     ， 即 0x  时 ， min( ) 2f x   ． ………………………13 分 16.（本小题满分 14 分） 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点 D 在 AB 上． （Ⅰ）求证：AC⊥B1C； （Ⅱ）若 D 是 AB 中点，求证：AC1∥平面 B1CD； （Ⅲ）当 1 3 BD AB  时，求二面角 1B CD B  的余弦值． 证明：（Ⅰ）在△ABC 中，因为 AB=5，AC=4，BC=3， 所以 AC2+ BC2= AB2， 所以 AC⊥BC． 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1，所以 C C1⊥AC． 因为 BC∩AC =C， 所以 AC⊥平面 B B1C1C． 所以 AC⊥B1C． ………………………5 分 （Ⅱ）证明：连结 BC1，交 B1C 于 E，DE． 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1，D 是 AB 中点， 所以 侧面 B B1C1C 为矩形，DE 为△ABC1 的中位线， 所以 DE// AC1． 因为 DE 平面 B1CD， AC1  平面 B1CD， 所 以 AC1 ∥ 平 面 B1CD． ………………………9 分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知 AC⊥BC， 所以如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz． 则 B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A1 (0, 0, c)，B1 (3, 0, 4)． 设 D (a, b, 0)（ 0a  ， 0b  ）， 因为 点 D 在线段 AB 上，且 1 3 BD AB  ， 即 1 3BD BA  ． 所以 2a  ， 4 3b  ， 4( 1, ,0)3BD   ． 所以 1 (3,0,4)B C  ， ( 3,4,0)BA   ， 4(2, ,0)3CD  ． 平面 BCD 的法向量为 1 (0,0,1)n  ． 设平面 B1 CD 的法向量为 2 ( , ,1)n x y ， 由 1 2 0B C n   ， 2 0CD n   ， 得 3 4 0 42 03 x x y     ， 所以 4 3x   ， 2y  ， 2 4( ,2,1)3n   ． 设二面角 1B CD B  的大小为 ， 所以 1 2 1 2 3cos 61 n n n n        ． 所以 二面角 1B CD B  的余弦值为 3 61 61 ． ………… ……………14 分 17.（本小题满分 13 分） 某校组织“上海世博会”知识竞赛．已知学生答对第一题的概率是 0.6，答对第二 题的概率是 0.5，并且他们回答问题相互之间没有影响． （I） 求一名学生至少答对第一、二两题中一题的概率； （Ⅱ）记 为三名学生中至少答对第一、二两题中一题的人数，求 的分布列及数学期 望 E ． A A1 B C D B1 C1 x y z 解：（I）设“学生答对第一题”为事件 A ,“学生答对第二题”为事件 B ． 所以“一名学生至少答对第一、二两题中一题”的概率为 ( ) ( ) ( ) ( )P P AB AB AB P AB P AB P AB      0.4 0.5 0.6 0.5 0.5 0.6 0.8       ． ………………………5 分 （Ⅱ） 的可能取值为 0，1，2，3，且 ～ (3, 0.8)B ． 3( 0) 0.2 0.008P     ， 1 2 3( 1) 0.8 0.2 0.096P C      ， 2 2 3( 2) 0.8 0.2 0.384P C      ， 3( 3) 0.8 0.512P     ． 所以， 的分布列为  0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 3 0.8 2.4E    ． …………… …………13 分 18.（本小题满分 13 分） 已知 O 为平面直角坐标系的原点，过点 ( 2,0)M  的直线 l 与圆 2 2 1x y  交于 P Q、 两 点． （Ⅰ）若 1 2OP OQ    ，求直线 l 的方程； （Ⅱ）若 OMP 与 OPQ 的面积相等，求直线 l 的斜率． 解：（Ⅰ）依题意，直线 l 的斜率存在， 因为 直线 l 过点 ( 2,0)M  ，可设直线l ： ( 2)y k x  ． 因为 P Q、 两点在圆 2 2 1x y  上，所以 1OP OQ   ， 因为 1 2OP OQ    ，所以 1cos 2OP OQ OP OQ POQ          所以 120POQ   所以 O 到直线l 的距离等于 1 2 ． 所以 2 | 2 | 1 21 k k   ， 得 15 15k   ， 所 以 直 线 l 的 方 程 为 15 2 0x y   或 15 2 0x y   ． ………………………6 分 （Ⅱ）因为 OMP 与 OPQ 的面积相等，所以 2MQ MP  ， 设 1 1( , )P x y ， 2 2( , )Q x y ，所以 2 2( 2, )MQ x y  ， 1 1( 2, )MP x y  ． 所以 2 1 2 1 2 2( 2) 2 x x y y      即 2 1 2 1 2( 1) 2 x x y y     （*）； 因为 P ，Q 两点在圆上， 所以 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 x y x y      把（*）代入，得 2 2 1 1 2 2 1 1 1 4( 1) 4 1 x y x y       ， 所以 1 1 7 8 15 8 x y       ， ． 所 以 直 线 l 的 斜 率 15 9MPk k   ， 即 15 9k   ． ………………………13 分 19.（本小题满分 14 分） 设函数 2( ) (1 ) 2ln(1 )f x x x    ． （I）求 ( )f x 的单调区间； （II）当 0