2011朝阳区高三期末试题及答案（数学文）

北京市朝阳区 2010～2011 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文科） 2011.1 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分） 注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时，将试题 卷和答题卡一并交回。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项． 1．设全集U R ， A    2 0x x x   ，  1 0B x x   ，则 A BI = （A） ( 2, 1) （B）[1, 2) （C） ( 2, 1] （D） (1, 2) 2．已知圆的方程为 086222  yxyx ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为 （A） 012  yx （B） 012  yx （C） 012  yx （D） 012  yx 3．设等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 2 4 6a a  ，则 5S 等于 （A）10 （B）12 （C）15 (D) 30 4．若0 m n  ，则下列结论正确的是 （A） 2 2m n （B） 1 1( ) ( ) 2 2 m n （C） 2 2log logm n （D） 1 1 2 2 log logm n 5．要得到函数 sin(2 ) 4 y x    的图象，只要将函数 sin 2y x 的图象 （A）向左平移 4  单位 （B）向右平移 4  单位 （C）向右平移 8  单位 （D）向左平移 8  单位 6．关于直线 l，m及平面 ，  ，下列命题中正确的是 （A）若 //l  ， m  I ，则 //l m； （B）若 //l  ， //m  ，则 //l m； （C）若 l  ， //l  ，则  ； （D）若 //l  ，m l ，则m  ． 7．设椭圆的两个焦点分别为 1F ， 2F ，过 2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点 为 P，若△ 1 2F PF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （A） 2 1 （B） 2 1 2  （C）2 2 （D） 2 2 8．如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D- 中， E， F 分别为棱 AB， 1CC 的中点，在平面 1 1ADD A 内且与平面 1D EF平行的直线 （A）有无数条 （B）有 2 条 （C）有 1 条 （D）不存在 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上． 9．已知 3cos 5 x  ，  , 2x   ，则 tan x  10．经过点 ( 2, 3) 且与直线 2 5 0x y   垂直的直线方程为 ． 11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图与侧视图 都是边长为 2 的正三角形，俯视图半径为 1 的圆，则这个 几何体的体积为 . 12. 设 x， y满足约束条件 1, , 0, x y y x y      ≤ ≤ ≥ 则 的最 大值为 . 13．平面向量a 与b 的夹角为60， (2, 0)=a ， | | 1=b ，则 | 2 |+a b = . A B CD A1 B1 C1D1 E F 正视图 侧视图 俯视图 14．按下列程序框图运算： 若 5x  ，则运算进行 次才停止；若 运 算 进 行 3 次 才 停 止 ， 则 x 的 取 值 范 围 是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) 3 sin cos cosf x x x x  ． （Ⅰ）求 ( )f x 的最小正周期； （Ⅱ）当 [0, ] 2 x   时，求函数 ( )f x 的最大值和最小值及相应的 x的值． 16．（本小题满分 13分） 如图，已知三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AA  底面 ABC ， 2AC BC  ， 1 4AA  ， 2 2AB  ，M ， N 分别是棱 1CC ， AB中点. （Ⅰ）求证：CN 平面 1 1ABB A ； （Ⅱ）求证： //CN 平面 1AMB ； （Ⅲ）求三棱锥 1B AMN 的体积． 17．（本小题满分 13 分） 已知函数 3 2( )f x x bx cx d    的图象过点 (0, 2)P ，且在点 ( 1, ( 1))M f  处的切线 方程为 076  yx . （Ⅰ）求函数 )(xfy  的解析式； （Ⅱ）求函数 )(xfy  的单调区间. A B C A1 B1 C1 M N 输入 x 结束 开始 输出 x 3 2x x  244?x  是 否 18．（本小题满分 13 分） 已知点 (4, 0)M ， (1, 0)N ，若动点 P满足 6 | |MN MP PN     ． （Ⅰ）求动点 P的轨迹C的方程； （Ⅱ）设过点 N 的直线 l交轨迹C于 A，B两点，若 18 12 7 5 NA NB     ≤ ≤ ，求直线 l的 斜率的取值范围. 19．（本小题满分 14 分） 已知函数 2( ) 1f x ax bx   （ , a b为实数， 0a  ， xR ）． （Ⅰ）当函数 ( )f x 的图像过点 ( 1, 0) ，且方程 ( ) 0f x  有且只有一个根，求 ( )f x 的表达 式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当  2, 2x  时， ( ) ( )g x f x kx  是单调函数，求实数 k的取 值范围； （Ⅲ）若 ( ) 0, ( ) ( ) 0, f x x F x f x x     当 0mn  ， 0m n  ， 0a  ，且函数 ( )f x 为偶函数时， 试判断 ( ) ( )F m F n 能否大于0 ？ 20．（本小题满分 14 分） 已知点 ( , )n n nP a b （ n N ）满足 1 1n n na a b  ， 1 21 4 n n n bb a   ，且点 1P 的坐标为 (1, 1) . (Ⅰ)求经过点 1P， 2P 的直线 l的方程； (Ⅱ) 已知点 ( , )n n nP a b （ n N ）在 1P， 2P 两点确定的直线 l上，求证：数列 1{ } na 是 等差数列. （Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有n N ，能使不等式 1 2(1 )(1 ) (1 )na a a   ≥ 2 3 1 1 n k b b b    成立的最大实数 k的值. 北京市朝阳区 2010～2011 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文科）参考答案 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D C C A A 二．填空题： 题号 9 10 11 12 13 14 答案 4 3  2 8 0x y   3 3  2 2 3 4， (10, 28] 三．解答题： 15．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为 3 1 1( ) sin 2 cos 2 2 2 2 f x x x   1sin(2 ) 6 2 x     ， ………… 4 分 所以 2 2 T    ，故 ( )f x 的最小正周期为 . …………………… 7 分 （Ⅱ）因为 0 2 x  ≤ ≤ ， 所以 52 6 6 6 x    ≤ ≤ ． ……………………9 分 所以当 26 2  x ，即 3 x   时， )(xf 有最大值 1 2 . ………………11 分 当 66 2  x ，即 0x  时， )(xf 有最小值 1 ． ………………13 分 16．（本小题满分 13 分） （Ⅰ）证明：因为三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AA 底面 ABC 又因为CN 平面 ABC， 所以 1AA CN . ………………………………… 1 分 因为 2AC BC  ， N 是 AB中点， 所以CN AB . …………………………………………………… 2 分 因为 1AA AB AI ， ……………………………………………………… 3 分 所以CN 平面 1 1ABB A ． ……………………………………………………… 4 分 （Ⅱ）证明：取 1AB 的中点G，连结MG， NG， 因为 N ，G分别是棱 AB， 1AB 中点， 所以 1//NG BB ， 1 1 2 NG BB . 又因为 1//CM BB ， 1 1 2 CM BB ， A B C A1 B1 C1 M N G 所以 //CM NG，CM NG . 所以四边形CNGM 是平行四边形. ………………………………………… 6 分 所以 //CN MG . …………………………………………………………… 7 分 因为CN 平面 1AMB ，GM 平面 1AMB ， …………………………… 8分 所以 //CN 平面 1AMB ． ……………………………………………………… 9 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知GM 平面 1AB N . …………………………………………… 10 分 所以 1 1MN M N 1 1 2 44 2 3 2 2 3B A ABV V        . ………………………… 13 分 17．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）由 )(xf 的图象经过 (0, 2)P ，知 2d  ， ……………………………1 分 所以 3 2( ) 2f x x bx cx    . 所以 2( ) 3 2f x x bx c    . …………………………………………………3 分 由在 ( 1, ( 1))M f  处的切线方程是6 7 0x y   ， 知 6 ( 1) 7 0f     ，即 ( 1) 1f   ， ( 1) 6f  ′ . ………………………5 分 所以 3 2 6, 1 2 1. b c b c         即 2 3, 0. b c b c      解得 3b c   . …………… 6 分 故所求的解析式是 3 2( ) 3 3 2f x x x x    . ………………………………7 分 （Ⅱ）因为 2( ) 3 6 3f x x x    ， …………………………………………………8 分 令 23 6 3 0x x   ，即 2 2 1 0x x   ， 解得 1 1 2x   ， 2 1 2x   . ……………………………………………10 分 当 1 2x   或 1 2x   时， ( ) 0f x  ， …………………………………11 分 当1 2 1 2x    时， ( ) 0f x  ， …………………………………………12 分 故 3 2( ) 3 3 2f x x x x    在 ( , 1 2)  内是增函数，在 (1 2, 1 2)  内是减函数， 在 ),21(  内是增函数. …………………………………………………13 分 18．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）设动点 ( , )P x y ， 则 ( 4, )MP x y   ， ( 3, 0)MN    ， (1 , )PN x y    . …………………2 分 由已知得 22 )()1(6)4(3 yxx  ， 化简得 2 23 4 12x y  ，得 2 2 1 4 3 x y   . 所以点 P的轨迹C是椭圆，C的方程为 1 34 22  yx . ………………………6 分 （Ⅱ）由题意知，直线 l的斜率必存在， 不妨设过 N 的直线 l的方程为 ( 1)y k x  ， 设 A， B两点的坐标分别为 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y . 由 2 2 ( 1), 1 4 3 y k x x y       消去 y得 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k     . ………………8 分 因为 N 在椭圆内，所以 0  . 所以 2 1 2 2 2 1 2 2 8 , 3 4 4 12 . 3 4 kx x k kx x k         ………………………………………………………10 分 因为 2 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) (1 )( 1)( 1)NA NB x x y y k x x           ]1)()[1( 2121 2  xx 2 2 2 222 2 43 )1(9 43 438124)1( k k k kkkk       ， …………12 分 所以 2 2 18 9(1 ) 12 7 3 4 5 k k      ≤ ≤ . 解得 21 3k≤ ≤ . 所以 3 1k ≤ ≤ 或1 3k≤ ≤ . …………………………………………13 分 19．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）因为 ( 1) 0f   ，所以 1 0a b   . ……………………………………1 分 因为方程 ( ) 0f x  有且只有一个根，所以 2 4 0b a    . 所以 2 4( 1) 0b b   . 即 2b  ， 1a  . …………………………………3 分 所以 2( ) ( 1)f x x  . ……………………………………………………………4 分 （Ⅱ）因为 2 2( ) ( ) 2 1 ( 2) 1g x f x kx x x kx x k x          = 2 22 ( 2)( ) 1 2 4 k kx      ． ………………… 6 分 所以当 2 2 2 k  ≥ 或 2 2 2 k  ≤ 时， 即 6k≥ 或 2k ≤ 时， ( )g x 是单调函数． …………………………………… 9 分 （Ⅲ） ( )f x 为偶函数，所以 0b  . 所以 2( ) 1f x ax  . 所以 2 2 1 0, ( ) 1 0. ax x F x ax x        ………………………………………………10 分 因为 0mn  ，不妨设 0m  ，则 0n  . 又因为 0m n  ，所以 0m n   . 所以 m n  . …………………………………………………………………12 分 此时 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 1 1F m F n f m f n am an       2 2( ) 0a m n   . 所以 ( ) ( ) 0F m F n  ． …………………………………………… 14 分 20．（本小题满分 14 分） 解：(Ⅰ)因为 1 2 2 1 1 31 4 bb a    ，所以 2 1 2 1 3 a a b  . 所以 2 1 1( , ) 3 3 P . ……… 1分 所以过点 1P， 2P 的直线 l的方程为 2 1x y  . ………………………… 2分 (Ⅱ)因为 ( , )n n nP a b 在直线 l上，所以 2 1n na b  . 所以 1 11 2n nb a   . …… 3 分 由 1 1n n na a b  ，得 1 1(1 2 )n n na a a   . 即 1 12n n n na a a a   . 所以 1 1 1 2 n na a   . 所以 1{ } na 是公差为 2 的等差数列. ………………… 5 分 （Ⅲ）由(Ⅱ)得 1 1 1 2( 1) n n a a    . 所以 1 1 2( 1) 2 1 n n n a      . 所以 1 2 1na n   . …………………………………………………………… 7分 所以 2 31 2 2 1n n nb a n      . ……………………………………………… 8 分 依题意 1 2 2 3 1(1 )(1 ) (1 )n nk a a a b b b    ≤ 恒成立. 设 1 2 2 3 1( ) (1 )(1 ) (1 )n nF n a a a b b b      ， 所以只需求满足 ( )k F n≤ 的 ( )F n 的最小值. ………………………………… 10 分 因为 1 2 1 2 3 2 1 2 2 3 1 (1 )(1 ) (1 )(1 )( 1) ( ) (1 )(1 ) (1 ) n n n n n a a a a b b bF n F n a a a b b b                = 1 2 2 2(1 ) 2 1 2 3n n na b n n       = 2 2 4 8 4 1 4 8 3 n n n n      ， 所以 ( )F n （ x N ）为增函数. ……………………………………… 12 分 所以 min 2 2 3( ) (1) 33 F n F   . 所以 2 3 3 k≤ . 所以 max 2 3 3 k  . ……………………………………… 14 分