2011海淀区高三期末文科数学试卷及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (文科) 2011.1 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1．sin 240 的值为 A． 1 2  B． 1 2 C． 3 2  D． 3 2 2. 若等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 2 3 6a a  ，则 4S 的值为 A. 12 B.11 C.10 D. 9 3. 设 ,  为两个不同的平面，直线 l  ，则“ l  ”是“  ”成立的 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某部门计划对某路段进行限速，为调查限速 60 km/h 是 否合理，对通过该路段的 300 辆汽车的车速进行检测，将所 得数据按[ 40，50 ) ，[50,60) ，[60,70) ，[70,80] 分组， 绘制成如图所示的频率分布直方图.则这 300 辆汽车中车速 低于限速的汽车有 A.75 辆 B.120 辆 C.180 辆 D.270 辆 5.点 (2, )P t 在不等式组 4 0 3 0 x y x y        表示的平面区域内， 则点 (2, )P t 到直线3 4 10 0x y   距离的最大值为 A. 2 B. 4 C. 6 D.8 6. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积为 A．12 B．6 C． 4 D．2 7. 已知函数 1( ) sin , [0, π]3f x x x x   ， 0 1cos 3x  （ 0 [0,π]x  ），那么下面结论正确的是 A． ( )f x 在 0[0, ]x 上是减函数 B. ( )f x 在 0[ ,π]x 上是减函数 车速O 40 50 60 70 80 0.010 0.035 0.030a 频率 组距 正视图 左视图 俯视图 2 2 2 1 1 2 2 1 C. [0,π]x  , 0( ) ( )f x f x D. [0,π]x  , 0( ) ( )f x f x 8. 已知椭圆 E ： 14 22  y m x ，对于任意实数 k ，下列直线被椭圆 E 所截弦长与 l ： 1 kxy 被椭圆 E 所截得的弦长不可能．．．相等的是 A． 0kx y k   B． 01  ykx C． 0kx y k   D． 2 0kx y   二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. 若直线l 经过点（1，2）且与直线 2 1 0x y   平行,则直线l 的方程为__________. 10.某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入 4， 则输出的 S 为 . 11．椭圆 2 2 125 16 x y  的右焦点 F 的坐标为 .则顶点在原点的抛物线C 的焦点也为 F ，则其标准方程为 . 12．在一个边长为 1000 米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机 投放一个爆破点，则爆破点距离监测站 200 米内都可以被检测到.那么随机投入一个爆破 点被监测到的概率为_______. 13 已知向量 (1, ), ( 1, )t t  a b .若 2a b 与 b 垂直, 则| | ___a . 14．在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点.定义 ( )1 1,P x y 、 ( )2 2,Q x y 两点之间的“直角 距离”为 1 2 1 2( , )d P Q x x y y= - + - 为. 若点 ( )1,3A - ，则 ( , )d A O = ； 已知 ( )1,0B ，点 M 为直线 2 0x y- + = 上动点，则 ( , )d B M 的最小值为 . 开始 0; 0S n  n i 2 1nS S   是 否 1n n  S输出 结束 i输入 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过 程. 15．（本小题满分 13 分） 设函数 1 3( ) sin cos2 2f x x x  ， Rx  . （I）求函数 )(xf 的周期和值域； （II）记 ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，若 3( ) ,2f A  且 3 2a b ， 求角C 的值. 16. （本小题满分 13 分） 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人，结果围棋社被抽出 12 人. (I) 求这三个社团共有多少人？ (II) 书法社从 3 名高中和 2 名初中成员中，随机选出 2 人参加书法展示，求这 2 人中初、 高中学生都有的概率. 围棋社 戏剧社 书法社 高中 45 30 a 初中 15 10 20 17. （本小题满分 13 分） 如图，棱柱 ABCD— 1 1 1 1A B C D 的底面 ABCD 为菱形 ， AC BD O ，侧棱 1AA ⊥BD, 点 F 为 1DC 的中点． （I） 证明： //OF 平面 1 1BCC B ； （II）证明：平面 1DBC  平面 1 1ACC A . A B C 1B 1C 1A D F 1D O 18. （本小题满分 13 分） 已知函数 3 2 2( ) 1,af x x x    其中 0a  . （I）若曲线 ( )y f x 在 (1, (1))f 处的切线与直线 1y  平行，求 a 的值； （II）求函数 ( )f x 在区间[1,2]上的最小值. 19. （本小题满分 14 分） 已知圆 2 2: 4O x y  ,点 P 为直线 : 4l x  上的动点. (I)若从 P 到圆O 的切线长为 2 3 ，求 P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； （II）若点 ( 2,0), (2,0)A B ，直线 ,PA PB 与圆 O 的另一个交点分别为 ,M N ,求证:直线 MN 经过定点 (1,0) . 20. （本小题满分 14 分） 已知集合  1,2,3, ,2A n  *( )n N .对于 A 的一个子集 S，若存在不大于 n 的正整数 m，使得对于 S 中的任意一对元素 1 2,s s ，都有 1 2s s m  ，则称 S 具有性质 P. （Ⅰ）当 10n  时，试判断集合  9B x A x   和  *3 1,C x A x k k N     是否具有性 质 P？并说明理由. (II)若集合 S 具有性质 P，试判断集合  (2 1)T n x x S    )是否一定具有性质 P？并 说明理由. 海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学（文） 答案及评分参考 2011．1 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A C B D B D 第 II 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 共 30 分.有两空的题目，第一空 3 分，第二空 2 分） 9. 2 4 0x y   10. 19 11. (3,0) 2 12y x 12. 25  13. 2 14. 4 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15．（共 13 分） 解：（I） xxxf cos2 3sin2 1)(  )3sin(  x ， ............................... 3 分 )(xf 的周期为 2 （或答: 0,,2  kZkk ）. ................................4 分 因为 x R ，所以 3x R  , 所以 )(xf 值域为 ]1,1[ . ...............................5 分 （II）由（I）可知， )3sin()(  AAf , ...............................6 分 2 3)3sin(  A , ...............................7 分  A0 , 3 4 33   A , ..................................8 分 2 ,3 3A     得到 3A  . ...............................9 分 ,2 3 ba  且 B b A a sinsin  , ....................................10 分 3 2 sin3 2 b b B   ,  1sin B , ....................................11 分  B0 ， 2 B . ....................................12 分 6   BAC . ....................................13 分 16. （共 13 分） 解：（I）围棋社共有 60 人， ...................................1 分 由 1503012 60  可知三个社团一共有 150 人. ...................................3 分 （II）设初中的两名同学为 21,aa ，高中的 3 名同学为 321 ,, bbb , ...................................5 分 随机选出 2 人参加书法展示所有可能的结果: 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },a a a b a b a b a b 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3{ , }, { , },{ , },{ , },{ , }a b a b b b b b b b ，共 10 个基本事件. ..................................8 分 设事件 A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”， ..................................9 分 则事件 A 共有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }a b a b a b a b a b a b 6 个基本事件. ...................................11 分  5 3 10 6)( AP . 故参加书法展示的 2 人中初、高中学生都有的概率为 3 5 . ................................13 分 17. （共 13 分） 解：（I）四边形 ABCD 为菱形且 AC BD O ， O 是 BD 的中点 . ...................................2 分 又点 F 为 1DC 的中点, 在 1DBC 中， 1// BCOF , ...................................4 分 OF 平面 1 1BCC B ， 1BC 平面 1 1BCC B ,  //OF 平面 1 1BCC B . ...................................6 分 （II）四边形 ABCD 为菱形, ACBD  , ...................................8 分 又 BD 1AA ， 1 ,AA AC A 且 1,AA AC  平面 1 1ACC A ,.................................10 分 BD 平面 1 1ACC A , ................................11 分 BD 平面 1DBC , 平面 1DBC  平面 1 1ACC A . ................................13 分 18. （共 13 分） 解： 3 3 3 2 2 2 2( )( ) 2 a x af x x x x     ， 0x  . .........................................2 分 （I）由题意可得 3(1) 2(1 ) 0f a    ，解得 1a  ， ........................................3 分 此时 (1) 4f  ，在点 (1, (1))f 处的切线为 4y  ，与直线 1y  平行. 故所求 a 值为 1. ........................................4 分 （II）由 ( ) 0f x  可得 x a ， 0a  ， ........................................ 5 分 ①当 0 1a  时， ( ) 0f x  在 (1,2]上恒成立 ， 所以 ( )y f x 在[1,2]上递增， .....................................6 分 所以 ( )f x 在[1,2]上的最小值为 3(1) 2 2f a  . ........................................7 分 ②当1 2a  时， x (1, )a a ( ,2)a ( )f x － 0 ＋ ( )f x 极小 由上表可得 ( )y f x 在[1,2]上的最小值为 2( ) 3 1f a a  . ......................................11 分 ③当 2a  时， ( ) 0f x  在[1,2) 上恒成立， 所以 ( )y f x 在[1,2]上递减 . ......................................12 分 所以 ( )f x 在[1,2]上的最小值为 3(2) 5f a  . .....................................13 分 综上讨论，可知： 当 0 1a  时， ( )y f x 在[1,2]上的最小值为 3(1) 2 2f a  ； ....................................10 分 当1 2a  时， ( )y f x 在[1,2]上的最小值为 2( ) 3 1f a a  ； 当 2a  时， ( )y f x 在[1,2]上的最小值为 3(2) 5f a  . 19. （共 14 分） 解：根据题意，设 (4, )P t . (I)设两切点为 ,C D ，则 ,OC PC OD PD  ， 由题意可知 2 2 2| | | | | | ,PO OC PC  即 2 2 2 24 2 (2 3)t   ， ............................................2 分 解得 0t  ，所以点 P 坐标为 (4,0) . ...........................................3 分 在 Rt POC 中，易得 60POC   ，所以 120DOC   . ............................................4 分 所以两切线所夹劣弧长为 2 423 3 π π  . ...........................................5 分 （II）设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ， (1,0)Q ， 依题意，直线 PA经过点 ( 2,0), (4, )A P t ， 可以设 : ( 2)6 tAP y x  ， ............................................6 分 和圆 2 2 4x y  联立，得到 2 2 ( 2)6 4 ty x x y       ， 代入消元得到， 2 2 2 2( 36) 4 4 144 0t x t x t     ， ......................................7 分 因为直线 AP 经过点 1 1( 2,0), ( , )A M x y ，所以 12, x 是方程的两个根， 所以有 2 1 2 4 1442 36 tx t    ， 2 1 2 72 2 36 tx t   ， ..................................... 8 分 代入直线方程 ( 2)6 ty x  得， 2 1 2 2 72 2 24( 2)6 36 36 t t ty t t     . ..................................9 分 同理，设 : ( 2)2 tBP y x  ，联立方程有 2 2 ( 2)2 4 ty x x y       ， 代入消元得到 2 2 2 2(4 ) 4 4 16 0t x t x t     ， 因为直线 BP 经过点 2 2(2,0), ( , )B N x y ，所以 22, x 是方程的两个根， 2 2 2 4 162 4 tx t   ， 2 2 2 2 8 4 tx t   ， 代入 ( 2)2 ty x  得到 2 2 2 2 2 8 8( 2)2 4 4 t t ty t t      . .....................11 分 若 1 1x  ，则 2 12t  ，此时 2 2 2 2 8 14 tx t   显然 , ,M Q N 三点在直线 1x  上，即直线 MN 经过定点 Q (1,0) ............................12 分 若 1 1x  ，则 2 12t  ， 2 1x  ， 所以有 2 1 2 2 1 2 24 0 836 72 21 12136 MQ t y ttk tx t t      ， 2 2 2 2 2 2 8 0 84 2 81 1214 NQ t y ttk tx t t       ................13 分 所以 MQ NQk k ， 所以 , ,M N Q 三点共线， 即直线 MN 经过定点 Q (1,0) . 综上所述，直线 MN 经过定点 Q (1,0) . .......................................14 分 20. （共 14 分） 解：（Ⅰ）当 10n  时，集合  1,2,3, ,19,20A   ，    9 10,11,12, ,19,20B x A x     不具有性质 P . ...................................1 分 因为对任意不大于 10 的正整数 m， 都可以找到集合 B 中两个元素 1 10b  与 2 10b m  ， 使得 1 2b b m  成立 . ...................................3 分 集合  *3 1,C x A x k k N     具有性质 P . ....................................4 分 因为可取 1 10m   ，对于该集合中任意一对元素 1 1 2 23 1, 3 1c k c k    ， * 1 2,k k N 都有 1 2 1 23 1c c k k    . ............................................6 分 （Ⅱ）若集合 S 具有性质 P ，那么集合  (2 1)T n x x S    一定具有性质 P . ..........7 分 首先因为  (2 1)T n x x S    ，任取 0(2 1) ,t n x T    其中 0x S ， 因为 S A ，所以 0 {1,2,3,...,2 }x n ， 从而 01 (2 1) 2n x n    ，即 ,t A 所以T A ...........................8 分 由 S 具有性质 P ，可知存在不大于 n 的正整数 m， 使得对 S 中的任意一对元素 1 2,s s ，都有 1 2s s m  ， ..................................9 分 对上述取定的不大于 n 的正整数 m， 从集合  (2 1)T n x x S    中任取元素 1 1 2 22 1 , 2 1t n x t n x      ， 其中 1 2,x x S ， 都有 1 2 1 2t t x x   ； 因为 1 2,x x S ，所以有 1 2x x m  ，即 1 2t t m  所以集合  (2 1)T n x x S    具有性质 P ． .............................14 分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.