2011石景山区高三期末考试（数学理）有答案

石景山区 2010—2011 学年第一学期期末考试试卷 高三数学（理科） 考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟． 2. 本试卷共 6 页．各题答案均答在答题卡上． 题号 一 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 分数 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合  2 1M x x  Z ，  1 2N x x    R ，则M N  （ ） A．  1,0,1 B． 0,1 C． 1,0 D． 1 2．已知复数 1 iz i  ＋ ，则复数 z的模为（ ） A． 2 2 B． 2 C． 1 2 D． 1 2 + 1 2 i 3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度： cm）， 则此几何体的体积是（ ） A．112 3cm B． 3 224 3cm C．96 3cm D． 224 3cm 4．从 4名男同学和3名女同学中，任选3名同学参加体能测试， 则选出的3名同学中，既有男同学又有女同学的概率为（ ） A． 35 12 B． 35 18 C． 7 6 D． 8 7 5．下列说法中，正确的是（ ） A．命题“若 2 2am bm ，则 a b ”的逆命题是真命题 B．命题“ x R  ， 02  xx ”的否定是：“ x R  ， 02  xx ” O 2x 1x y x1 2 图 1 图 2 图 3 C．命题“ p或 q”为真命题，则命题“ p”和命题“q”均为真命题 D．已知 Rx ，则“ 1x  ”是“ 2x  ”的充分不必要条件 6．已知函数 3 2( )f x x bx cx   的图象如图所示，则 2 2 2 1 xx  等于（ ） A． 3 2 B． 3 4 C． 3 8 D． 3 16 7．已知O为坐标原点，点 A ),( yx 与点 B关于 x轴对称， (0,1)j   ，则满足不等式 2 0OA j AB      的点 A的集合用阴影表示为（ ） 8．下图展示了一个由区间 (0,1)到实数集 R 的映射过程：区间 (0,1)中的实数m对应数轴上的 点M（如图 1）；将线段 AB围成一个圆，使两端点 A、B恰好重合（从 A到B是逆时针， 如图 2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在 y 轴上，点 A的坐标为 (0,1)（如 图 3），图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 ( ),0N n ，则m的象就是 n，记作 ( )f m n= ． 则下列命题中正确的是（ ） A． 1 1 4 f       B．  f x 是奇函数 C．  f x 在其定义域上单调递增 D．  f x 的图象关于 y轴对称 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5分，共 30 分． 9．已知 ( ,0) 2    ， 3sin 5    ，则 cos( )  ＝ ． 10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果 输入100，则输出的结果为 ， 如果输入 2 ，则输出的结果为 ． 11．已知直线 2 2 0x y   经过椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y a b a b     的一个顶点和一个焦点，那么 这个椭圆的方程为 ，离心率为_______． 12．已知△ ABC的三边长分别为 7AB  ， 5BC  ， 6CA  ，则 AB BC   的值为________． 13． 1 2 0 ( )x x dx  ． 14．已知函数 39 9)(   x x xf ，则 (0) (1)f f  ，若 1 1 2( ) ( )kS f f k k   3 1( ) ( ) ( 2,kf f k k k k       Z) ，则 1kS   （用含有 k的代数式表 示）． 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 已知函数 2 3cossinsin3)( 2  xxxxf  Rx ． （Ⅰ）求 ) 4 (f 的值； （Ⅱ）若 ) 2 ,0(  x ，求 )(xf 的最大值； （Ⅲ）在 ABC 中，若 BA  ， 2 1)()(  BfAf ，求 AB BC 的值． 16．（本小题满分 13 分） 某地区举办科技创新大赛，有 50 件科技作品参赛，大赛组委会对这 50 件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用 5 分制，若设“创新性” 得分为 x，“实用性”得分为 y，统计结果如下表： 作品数量 y x 实用性 1分 2分 3分 4分 5分 创 新 性 1 分 1 3 1 0 1 2 分 1 0 7 5 1 3 分 2 1 0 9 3 4 分 1 b 6 0 a 5 分 0 0 1 1 3 （Ⅰ）求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率； （Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为 167 50 ，求 a、b的值． 17．（本小题满分 14 分） 已知直四棱柱 ABCD A B C D    ，四边形 ABCD为正方形， 'AA 22  AB ， E为棱 CC 的中点． （Ⅰ）求证： A E 平面 BDE； （Ⅱ）设 F 为 AD中点，G为棱 'BB 上一点， 且 1 4 BG BB ，求证： FG∥平面 BDE； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角G DE B  的余弦值． 18．（本小题满分 13 分） 已知椭圆 C 中心在原点，焦点在 x轴上，焦距为 2，短轴长为 2 3． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若直线 l：  0y kx m k   与椭圆交于不同的两点M N、 （M N、 不是 椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点 A． 求证：直线 l过定点，并求出定点的坐标． y xO A0 P1 P2 P3 A1 A2 A3 19．（本小题满分 13 分） 已知函数 ln( ) ( )a xf x a R x    ． （Ⅰ）若 4a ，求曲线 )(xf 在点 ))(,( efe 处的切线方程； （Ⅱ）求 )(xf 的极值； （Ⅲ）若函数 )(xf 的图象与函数 1)( xg 的图象在区间 ],0( 2e 上有公共点，求实数 a的 取值范围． 20．（本小题满分 14 分） 如图 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ，， ( , )n n nP x y ， 1 2(0 , )ny y y n N      是曲线 2: 3 ( 0)C y x y  上的 n个点，点 ( ,0) ( 1,2,3, , )i iA a i n  在 x轴的正半轴上， 1i i iA A P 是正三角形( 0A 是坐标原点) . （Ⅰ）求 1 2 3, ,a a a ； （Ⅱ）求出点 nA ( ,0)( *)na n N 的横坐标 na 关于 n的表达式； （Ⅲ）设 1 2 3 2 1 1 1 1 n n n n n b a a a a        ，若对任意正整数 n，当  1,1m  时，不 等式 2 12 6 nt mt b   恒成立，求实数 t的取值范围. 石景山区 2010—2011 学年第一学期期末考试试卷 高三数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C B C C C 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5分，共 30 分． 注 ： 两 空 的 题 第 1 个 空 3分，第 2个空 2 分. 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ） 2 3 4 cos 4 sin 4 sin3) 4 ( 2  f 2 1  ． ……………4 分 （Ⅱ） 2 )2cos1(3)( xxf    2 32sin 2 1 x xx 2cos 2 32sin 2 1  ) 3 2sin(   x ． ……………6 分 2 0   x ， 3 2 3 2 3   x ． 当 2 3 2 x     时，即 12 5 x 时， )(xf 的最大值为1． …………8 分 （Ⅲ） ) 3 2sin()(   xxf ， 若 x是三角形的内角，则  x0 ， ∴ 3 5 3 2 3       x ． 令 2 1)( xf ，得 2 1) 3 2sin(   x ， ∴ 63 2    x 或 6 5 3 2    x ， 题号 9 10 11 12 13 14 答案 4 5  2，3 2 2 1 5 x y  ， 2 5 5 19 1 3 1， 1 2 k  解得 4  x 或 12 7 x ． ……………10 分 由已知， BA , 是△ ABC的内角， BA  且 2 1)()(  BfAf ， ∴ 4  A ， 12 7 B ， ∴ 6   BAC ． ……………11 分 又由正弦定理，得 2 2 1 2 2 6 sin 4 sin sin sin     C A AB BC ． ……………13 分 16．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为 4分且实用性为3分”的作品数量为6件， ∴“创新性为 4分且实用性为3分”的概率为 6 0.12 50  ． …………4 分 （Ⅱ）由表可知“实用性”得分 y有1分、 2分、3分、 4分、5分五个等级， 且每个等级分别有5件， 4b  件，15件，15件， 8a  件． …………5 分 ∴“实用性”得分 y的分布列为： y 1 2 3 4 5 p 5 50 4 50 b  15 50 15 50 8 50 a  又∵“实用性”得分的数学期望为 167 50 ， ∴ 5 4 15 15 8 1671 2 3 4 5 50 50 50 50 50 50 b a            ． ……………10 分 ∵作品数量共有50件，∴ 3a b  解得 1a  ， 2b  ． ……………………13 分 17．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）∵四棱柱 '''' DCBAABCD  为直四棱柱， ∴ ACBD  ， AABD  ， AAAAC  ， ∴ AACE 面BD . ∵ AACE  面EA ， ∴ EABD  . ∵ 512 22 BA ， 211 22 BE ， 3111 222 EA ， ∴ 222 EABEBA  . ∴ BEEA  . 又∵ BBEBD  ， ∴ BDE面EA . ……………………4 分 （Ⅱ）以D为原点，DA为 x轴，DC 为 y轴， DD 为 z 轴，建立空间直角坐标系. ∴ )2,0,1(A ， )1,1,0(E ， )0,0, 2 1(F ， ) 2 1,1,1(G . ∵ 由（Ⅰ）知： )11,1( EA 为面 BDE的法向 量， ) 2 1,1, 2 1(FG ， ……………………6 分 ∵ 0 2 1)1(11 2 11  EAFG . ∴ EAFG  . 又∵ FG 面BDE， ∴ FG∥面 BDE . ……………………8 分 （Ⅲ） 设平面DEG的法向量为 ),,( zyxn  ，则 )1,1,0(DE ， ) 2 1,1,1(DG . ∵ 0110  zyxDEn ,即 0 zy . 0 2 111  zyxDGn ,即 0 2  zyx . 令 1x ，解得： 2y ， 2z ， ∴ )2,2,1( n . ……………………12 分 ∴ 9 35 33 2)1()2(11)1(,cos        EAn EAnEAn . ∴ 二面角 BDEG  的余弦值为 9 35 . ……………………14 分 18．（本小题满分 13 分） 解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为 c，则 2 2 2 2 2, 2 2 3, , c b a b c       解得 2, 3, a b    ∴ 椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 3 x y   ． ………………… 4 分 （Ⅱ）由方程组 2 2 1 4 3 x y y kx m       消去 y，得  2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m     ． ………………… 6 分 由题意△      2 2 28 4 3 4 4 12 0km k m     ， 整理得： 2 23 4 0k m   ① ………………7 分 设    1 1 2 2, ,M x y N x y、 ，则 1 2 2 8 3 4 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k    ． ………………… 8 分 由已知， AM AN ， 且椭圆的右顶点为 A (2,0)， ∴    1 2 1 22 2 0x x y y    ． ………………… 10 分 即      2 2 1 2 1 21 2 4 0k x x km x x m       ， 也即     2 2 2 2 2 4 12 81 2 4 0 3 4 3 4 m kmk km m k k             ， 整理得 2 27 16 4 0m mk k   ． 解得 2m k  或 2 7 km   ，均满足① ……………………… 11 分 当 2m k  时，直线 l的方程为 2y kx k  ，过定点 (2,0)，不符合题意舍去； 当 2 7 km   时，直线 l的方程为 2 7 y k x      ，过定点 2( ,0) 7 ， 故直线 l过定点，且定点的坐标为 2( ,0) 7 ． ……………………… 13 分 19．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ） ∵ 4a ， ∴ x xxf 4ln)(   且 e ef 5)(  ． ……………………… 1 分 又∵ 22 ln3)4(ln)4(ln)( x x x xxxxxf     ， ∴ 2 2 3 ln 4( ) ef e e e      ． ……………………… 3 分 ∴ )(xf 在点 ))(,( efe 处的切线方程为： )(45 2 ex ee y  ， 即 094 2  eyex ． ……………………… 4 分 （Ⅱ） )(xf 的定义域为 ),0(  ， 2 )(ln1)( x axxf   ，……………………… 5分 令 0)(  xf 得 aex  1 ． 当 ),0( 1 aex  时， 0)(  xf ， )(xf 是增函数； 当 ),( 1  aex 时， 0)(  xf ， )(xf 是减函数； …………………… 7分 ∴ )(xf 在 aex  1 处取得极大值，即 11 )()(   aa eefxf 极大值 ．……… 8 分 （Ⅲ）（i）当 21 ee a  ，即 1a 时， 由（Ⅱ）知 )(xf 在 ),0( 1 ae  上是增函数，在 ],( 21 ee a 上是减函数， ∴当 aex  1 时， )(xf 取得最大值，即 1 max)(  aexf ． 又当 aex  时， 0)( xf ，当 ],0( aex  时， 0)( xf ， 当 ],( 2eex a 时， ],0()( 1 aexf ， 所以， )(xf 的图像与 1)( xg 的图像在 ],0( 2e 上有公共点， 等价于 11 ae ，解得 1a ， 又因为 1a ，所以 1a ． ……………… 11 分 （ii）当 21 ee a  ，即 1a 时， )(xf 在 ],0( 2e 上是增函数， ∴ )(xf 在 ],0( 2e 上的最大值为 2 2 2)( e aef   ， ∴原问题等价于 12 2   e a ，解得 22  ea ， 又∵ 1a ∴无解 综上， a 的取值范围是 1a ． ……………… 13 分 20．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ） 1 2 32, 6, 12a a a   . …………………………… 3分 y xO A0 P1 P2 P3 A1 A2 A3 （Ⅱ）依题意 1 1( ,0), ( ,0)n n n nA a A a  ，则 1 2 n n n a a x    ， 13 2 n n n a a y        在正三角形 1n n nP A A 中，有 1 1 3 3| | ( ) 2 2n n n n ny A A a a    . 1 1 33 ( ) 2 2 n n n n a a a a         . ………………………… 5 分 1 12( )n n n na a a a     ， 2 2 1 1 12 2( ) ( 2, *)n n n n n na a a a a a n n N         ①， 同理可得 2 2 1 1 12 2( ) ( *)n n n n n na a a a a a n N       ②. ②-①并变形得 1 1 1 1( )( 2 2) 0 ( 2, *)n n n n na a a a a n n N          1 1n na a  ， 1 1 2 2 0n n na a a      1 1( ) ( ) 2 ( 2, *)n n n na a a a n n N        . ∴数列 1n na a  是以 2 1 4a a  为首项，公差为 2的等差数列. 1 2( 1), ( *)n na a n n N     ， na 1 2 1 3 2 4 3 1( ) ( ) ( ) ( )n na a a a a a a a a           ， 2(1 2 3 )n     2n n  . ( 1) ( *)na n n n N    …………… 8分 （Ⅲ）∵ 1 2 3 2 1 1 1 1 ( *)n n n n n b n N a a a a         ， ∴ 1 2 3 4 2 2 1 1 1 1 ( *)n n n n n b n N a a a a           . 1 2 1 2 2 1 1 1 1 n n n n n b b a a a         1 1 1 (2 1)(2 2) (2 2)(2 3) ( 1)( 2)n n n n n n          22(2 2 1) (2 1)(2 2)(2 3)( 2) n n n n n n         . ∴当 *n N 时，上式恒为负值， ∴当 *n N 时， 1n nb b  ，∴数列 nb 是递减数列. nb 的最大值为 1 2 1 1 6 b a   . ……………… 12 分 若对任意正整数 n，当  1,1m  时，不等式 2 12 6 nt mt b   恒成立， 则不等式 2 1 12 6 6 t mt   在  1,1m  时恒成立， 即不等式 2 2 0t mt  在  1,1m  时恒成立. 设 2( ) 2f m t mt  ，则 (1) 0f  且 ( 1) 0f   ， ∴ 2 2 2 0 2 0 t t t t       解之，得 2t   或 2t  ， 即 t的取值范围是 ( , 2) (2, )    . …………………… 14 分 注：若有其它解法，请酌情给分．