2011石景山高三期末（数学文）有答案

石景山区 2010—2011 学年第一学期期末考试试卷 高三数学（文科） 考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟． 2. 本试卷共 6 页．各题答案均答在答题卡上． 题号 一 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 分数 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合  2 1M x x  Z ，  1 2N x x    R ，则 M N  （ ） A．  1,0,1 B． 0,1 C． 1,0 D． 1 2．已知复数 1 iz i  ＋ ，则复数 z 的模为（ ） A． 2 2 B． 2 C． 1 2 D． 1 2 + 1 2 i 3．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度： cm ）， 则此几何体的体积是（ ） A．112 3cm B． 3 224 3cm C．96 3cm D． 224 3cm 4.在一盒子里装有i 号球i 个（ 1i  ， 2 ，3 ），现从盒子 中每次取一球，记完号码后放回，则两次取出的球的号码 之积为 6 的概率是（ ） A． 1 2 B． 1 5 C． 1 3 D． 1 6 5．下列说法中，正确的是（ ） A．命题“若 2 2am bm ，则 a b ”的逆命题是真命题 B．命题“ x R  ， 02  xx ”的否定是：“ x R  ， 02  xx ” O 2x 1x y x1 2 C．命题“ p 或 q ”为真命题，则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 D．已知 Rx  ，则“ 1x  ”是“ 2x  ”的充分不必要条件 6．已知函数 3 2( )f x x bx cx   的图象如图所示，则 2 2 2 1 xx  等于（ ） A． 3 2 B． 3 4 C． 3 8 D． 3 16 7．已知 O 为坐标原点，点 A ),( yx 与点 B 关于 x 轴对称， (0,1)j  ，则满足不等式 2 0OA j AB     的点 A 的集合用阴影表示为（ ） 8．已知 1)1,1( f ， *),( Nnmf  （ m 、 *)Nn  ，且对任意 m 、 *Nn  都有： ① 2),()1,(  nmfnmf ；② )1,(2)1,1( mfmf  ． 给出以下三个结论：（1） 9)5,1( f ；（2） 16)1,5( f ；（3） 26)6,5( f ． 其中正确的个数为（ ） A．3 B． 2 C．1 D． 0 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．已知 ( ,0)2    ， 3sin 5    ，则 cos( )  ＝ ． 10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果 输入100，则输出的结果为 ， 如果输入 2 ，则输出的结果为 ． O 40 45 50 55 60 体重(kg) 频率 组距 m 0.06 0.02 11．已知直线 2 2 0x y   经过椭圆 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b     的一个顶点和一个焦点，那么 这个椭圆的方程为 ，离心率为_______． 12．已知△ ABC 的三边长分别为 7AB  ， 5BC  ， 6CA  ，则 AB BC  的值为________． 13．从某校随机抽取了100名学生，将他们的体重（单位： kg ）数据绘制成频率分布直方图 （如图），由图中数据可知 m = ，所抽取的学生中体重在 50~45 kg 的人数 是 ． 14．已知数列 na 满足 1 22a  ， 1 2n na a n   ，则数列 na 的通项公式为 ， na n 的最小值为 ． 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 已知函数 2 3cossinsin3)( 2  xxxxf  Rx  ． （Ⅰ）求 )4(f 的值； （Ⅱ）若 )2,0( x ，求 )(xf 的最大值； （Ⅲ）在 ABC 中，若 BA  ， 2 1)()(  BfAf ，求 AB BC 的值． 16．（本小题满分 13 分） 已知数列{ }na 的各项均为正数，其前 n 项和为 nS ，且满足 )(2 *2 NnaaS nnn  ． （Ⅰ）求 321 ,, aaa ； （Ⅱ）求数列 na 的通项公式； （Ⅲ）若 1( )2 na nb n ，求数列 }b{ n 的前 n 项和 nT ． 17．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PD ⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形，PD = DC ， E ， F 分别是 AB ， PB 的中点． （Ⅰ）求证： //EF 平面 PAD ； （Ⅱ）求证： EF CD ； （Ⅲ）若G 是线段 AD 上一动点，试确定 G 点位置，使GF  平面 PCB ， 并证明你的结论． 18．（本小题满分 13 分） 已知椭圆 C 中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，短轴长为 2 3 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若直线l ：  0y kx m k   与椭圆交于不同的两点 M N、 （ M N、 不是椭圆的 左、右顶点），且以 MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A ． 求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． y xO A0 P1 P2 P3 A1 A2 A3 19．（本小题满分 14 分） 已知函数 ln( ) ( )a xf x a Rx   ． （Ⅰ）若 4a ，求曲线 )(xf 在点 ))(,( efe 处的切线方程； （Ⅱ）求 )(xf 的极值； （Ⅲ）若函数 )(xf 的图象与函数 1)( xg 的图象在区间 ],0( 2e 上有公共点，求实数 a 的 取值 范围． 20．（本小题满分 13 分） 如图 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ，， ( , )n n nP x y ， 1 2(0 , )ny y y n N      是曲线 2: 3 ( 0)C y x y  上的 n 个点，点 ( ,0) ( 1,2,3, , )i iA a i n  在 x 轴的正半轴上， 1i i iA A P 是正三角形( 0A 是坐标原点) . （Ⅰ）求 1 2 3, ,a a a ； （Ⅱ）求出点 nA ( ,0)( *)na n N 的横坐标 na 关于 n 的表达式. 石景山区 2010—2011 学年第一学期期末考试试卷 高三数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B C B C C A 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分． 注：两空的题第 1 个空 3 分，第 2 个空 2 分. 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ） 2 3 4cos4sin4sin3)4( 2  f 2 1 ． ……………4 分 （Ⅱ） 2 )2cos1(3)( xxf   2 32sin2 1 x xx 2cos2 32sin2 1  )32sin(  x ． ……………6 分 20  x ， 3 2 323   x ． 当 2 3 2x    时，即 12 5x 时， )(xf 的最大值为1． …………8 分 （Ⅲ） )32sin()(  xxf ， 若 x 是三角形的内角，则  x0 ， ∴ 3 5 323  x ． 令 2 1)( xf ，得 2 1)32sin( x ， ∴ 632 x 或 6 5 32 x ， 题号 9 10 11 12 13 14 答案 4 5  2 ，3 2 2 15 x y  ， 2 5 5 19 0.1，50 2 22na n n   ， 42 5 解得 4 x 或 12 7x ． ……………10 分 由已知， BA , 是△ ABC 的内角， BA  且 2 1)()(  BfAf ， ∴ 4 A ， 12 7B ， ∴ 6  BAC ． ……………11 分 又由正弦定理，得 2 2 1 2 2 6sin 4sin sin sin    C A AB BC ． ……………13 分 16．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ） 3,2,1 321  aaa ． ……………3 分 （Ⅱ） nnn aaS  22 ， ① 1 2 112   nnn aaS ， （n≥2 ） ② ……………5 分 ①—②即得 0))(1( 11   nnnn aaaa ， ……………6 分 因为 01  nn aa ， 所以 naaa nnn   所以,11 （n∈ *N ）…………8 分 （Ⅲ） n n nb )2 1( n nT )2 1(n)2 1(22 1 2  ， 132 )2 1(n)2 1(2)2 1(2 1  n nT ． 两式相减得， 1 12 2 21 )2 1(n)2 1()2 1(2 1 2 1     n nn n n T 所以 nn nT 2 22  ． ……………13 分 17．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）证明： E,F 分别是 ,AB PB 的中点， // .EF AP ,EF PAD AP PAD 又 平面 平面 ， //EF PAD 平面 ． ……………………4 分 （Ⅱ）证明：四边形 ABCD 为正方形， AD CD  ． PD ABCD又 平面 ， =PD CD AD PD D  ，且 ． CD PAD  平面 ， PA PAD又 平面 ， CD PA  ． //EF PA又 ， EF CD  ． ……………………8 分 （Ⅲ）解：G 是 AD 的中点时， .GF PCB 平面 证明如下： ……………………9 分 取 PC 中点 H ，连结 DH ， HF ． , .PD DC DH PC   又 , , .BC PDC BC DH DH PCB     平面 平面 1// // ,2HF BC DG DGFH   四边形 为平行四边形， //DH GF ， .GF PCB  平面 ……………………14 分 18．（本小题满分 13 分） 解: （Ⅰ）设椭圆的长半轴为 a ，短半轴长为b ，半焦距为 c ，则 2 2 2 2 2, 2 2 3, , c b a b c       解得 2, 3, a b   ∴ 椭圆 C 的标准方程为 2 2 14 3 x y  ． ………………… 4 分 （Ⅱ）由方程组 2 2 14 3 x y y kx m       消去 y ，得  2 2 23 4 8 4 12 0k x kmx m     ． ………………… 6 分 由题意△     2 2 28 4 3 4 4 12 0km k m     ， 整理得： 2 23 4 0k m   ① ………………7 分 设    1 1 2 2, ,M x y N x y、 ，则 1 2 2 8 3 4 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k   ． ………………… 8 分 由已知， AM AN ， 且椭圆的右顶点为 A (2,0) ， ∴   1 2 1 22 2 0x x y y    ． ………………… 10 分 即     2 2 1 2 1 21 2 4 0k x x km x x m       ， 也即     2 2 2 2 2 4 12 81 2 4 03 4 3 4 m kmk km mk k           ， 整理得 2 27 16 4 0m mk k   ． 解得 2m k  或 2 7 km   ，均满足① ……………………… 11 分 当 2m k  时，直线l 的方程为 2y kx k  ，过定点 (2,0) ，不符合题意舍去； 当 2 7 km   时，直线l 的方程为 2 7y k x     ，过定点 2( ,0)7 ， 故直线l 过定点，且定点的坐标为 2( ,0)7 ． ……………………… 13 分 19．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ） ∵ 4a ， ∴ x xxf 4ln)(  且 eef 5)(  ． ……………………… 1 分 又∵ 22 ln3)4(ln)4(ln)( x x x xxxxxf  ， ∴ 2 2 3 ln 4( ) ef e e e      ． ……………………… 3 分 ∴ )(xf 在点 ))(,( efe 处的切线方程为： )(45 2 ex eey  ， 即 094 2  eyex ． ……………………… 4 分 （Ⅱ） )(xf 的定义域为 ),0(  ， 2 )(ln1)( x axxf  ，……………………… 5 分 令 0)(  xf 得 aex  1 ． 当 ),0( 1 aex  时， 0)(  xf ， )(xf 是增函数； 当 ),( 1  aex 时， 0)(  xf ， )(xf 是减函数； …………………… 7 分 ∴ )(xf 在 aex  1 处取得极大值，即 11 )()(   aa eefxf 极大值 ．……… 8 分 y xO A0 P1 P2 P3 A1 A2 A3 （Ⅲ）（i）当 21 ee a  ，即 1a 时， 由（Ⅱ）知 )(xf 在 ),0( 1 ae  上是增函数，在 ],( 21 ee a 上是减函数， ∴当 aex  1 时， )(xf 取得最大值，即 1 max)(  aexf ． 又当 aex  时， 0)( xf ，当 ],0( aex  时， 0)( xf ， 当 ],( 2eex a 时， ],0()( 1 aexf ， 所以， )(xf 的图像与 1)( xg 的图像在 ],0( 2e 上有公共点， 等价于 11 ae ，解得 1a ， 又因为 1a ，所以 1a ． ……………… 11 分 （ii）当 21 ee a  ，即 1a 时， )(xf 在 ],0( 2e 上是增函数， ∴ )(xf 在 ],0( 2e 上的最大值为 2 2 2)( e aef  ， ∴原问题等价于 12 2  e a ，解得 22  ea ， 又∵ 1a ∴无解 综上， a 的取值范围是 1a ． ……………… 14 分 20．（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ） 1 2 32, 6, 12a a a   . …………………………… 6 分 （Ⅱ）依题意 1 1( ,0), ( ,0)n n n nA a A a  ，则 1 2 n n n a ax   ， 13 2 n n n a ay       在正三角形 1n n nP A A 中，有 1 1 3 3| | ( )2 2n n n n ny A A a a    . 1 1 33 ( )2 2 n n n n a a a a        . 1 12( )n n n na a a a     ， ………………………… 8 分 2 2 1 1 12 2( ) ( 2, *)n n n n n na a a a a a n n N         ①， 同理可得 2 2 1 1 12 2( ) ( *)n n n n n na a a a a a n N       ②. ②-①并变形得 1 1 1 1( )( 2 2) 0 ( 2, *)n n n n na a a a a n n N          1 1n na a  ， 1 1 2 2 0n n na a a      1 1( ) ( ) 2 ( 2, *)n n n na a a a n n N        . ∴数列 1n na a  是以 2 1 4a a  为首项，公差为 2 的等差数列. ………… 10 分 1 2( 1),( *)n na a n n N     ， na 1 2 1 3 2 4 3 1( ) ( ) ( ) ( )n na a a a a a a a a           ， 2(1 2 3 )n     2n n  . ( 1) ( *)na n n n N    …………… 13 分 注：若有其它解法，请酌情给分．