2011西城区高三期末考试（数学理）有答案

北京市西城区 2010 — 2011 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2011.1 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项. 1. 已知全集U  R ，集合 { 1 0}A x x   ， { 3 0}B x x   ，那么集合 ( )UC A B  （A）{ 1 3}x x   （B）{ 1 3}x x   （C）{ 1}x x   （D）{ 3}x x  2. 已知点 ( 1,1)A  ，点 (2, )B y ，向量 = (1,2)a ，若 //AB  a ，则实数 y 的值为 （A）5（B）6（C）7（D）8 3.已知 ABC 中， 1, 2a b  ， 45B   ，则角 A 等于 （A）150 （B）90 （C） 60 （D）30 4．在极坐标系中，过点 (1,0) 并且与极轴垂直的直线方程是 （A） cos  （B） sin  （C） cos 1   （D） sin 1   5. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间 1 1[ , ]4 2 内，则输入的实数 x 的取值范围是 （A） ( , 2]  （B）[ 2, 1]  （C）[ 1,2] （D）[2, ) 6.设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 08 52  aa ，则 下 列 式子中数值不能确定的是 （A） 3 5 a a （B） 3 5 S S （C） n n a a 1 （D） n n S S 1 7．如图，四边形 ABCD 中， 1AB AD CD   ， 2BD  ， BD CD .将四边形 ABCD 沿 对角线 BD 折成四面体 A BCD ，使平面 A BD  平面 BCD ，则下列结论正确的是 （A） A C BD  （B） 90BA C   （C）CA 与平面 A BD 所成的角为30 （D）四面体 A BCD 的体积为 1 3 开始 输出 结束 是 否 输入 x [ 2,2]x  ( ) 2xf x  ( )f x ( ) 2f x  A B C D B C D A 8．对于函数① 1( ) 4 5f x x x    ，② 2 1( ) log ( )2 xf x x  ，③ ( ) cos( 2) cosf x x x   ， 判断如下两个命题的真假： 命题甲： ( )f x 在区间 (1,2) 上是增函数； 命题乙： ( )f x 在区间 (0, ) 上恰有两个零点 1 2,x x ，且 1 2 1x x  .能使命题甲、乙均为真 的函数的序号是 （A）① （B）② （C）①③ （D）①② 第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.i 为虚数单位，则 2 2 (1 i)  ______. 10.在 5(2 )x 的展开式中， 2x 的系数为_____. 11. 若实数 ,x y 满足条件 1 0, 2, 1, x y x y x         则 2x y 的最大值为_____. 12.如图所示，过圆 C 外一点 P 做一条直线与圆 C 交于 A B， 两点， 2BA AP ， PT 与圆 C 相切于 T 点.已知圆 C 的半径 为 2 ， 30CAB   ,则 PT  _____. 13．双曲线 2 2: 1C x y  的渐近线方程为_____； 若双曲线 C 的右顶点为 A ，过 A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于 ,P Q 两点，且 2PA AQ  ，则直线l 的斜率为_____. 14.在平面直角坐标系中，定义 1 2 1 2( , )d P Q x x y y    为两点 1 1( , )P x y , 2 2( , )Q x y 之间 的“折线距离”. 则 坐标原点O 与直线 2 2 5 0x y   上一点的“折线距离”的最小值是____； 圆 2 2 1x y  上一点与直线 2 2 5 0x y   上一点的“折线距离”的最小值是____. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) 3sin 2 2sinf x x x  . （Ⅰ）若点 (1, 3)P  在角 的终边上，求 ( )f  的值； （Ⅱ）若 [ , ]6 3x    ，求 ( )f x 的值域. B A C T P 16.（本小题满分 13 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1ABB A ， 1 1ACC A 均为正方形，∠ = 90BAC  , 点 D 是棱 1 1B C 的中点. （Ⅰ）求证： 1A D ⊥平面 1 1BB C C ； （Ⅱ）求证： 1 //AB 平面 1A DC ； （Ⅲ）求二面角 1D AC A  的余弦值. 17.（本小题满分 13 分） 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6 . （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取 1 个球，有放回的抽取 2 次，求取出的两个球编号之和为 6 的概率； （Ⅱ）若从袋中每次随机抽取 2 个球，有放回的抽取 3 次，求恰有 2 次抽到 6 号球的概率； （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3 个球，记球的最大编号为 X ，求随机变量 X 的分布列. 18.（本小题满分 13 分） 已知椭圆 12 2 2 2  b y a x （ 0 ba ）的右焦点为 2 (3,0)F ，离心率为 e . （Ⅰ）若 3 2e  ，求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线 y kx 与椭圆相交于 A ， B 两点， ,M N 分别为线段 2 2,AF BF 的中点. 若 A B C C11 B1 A1 D 坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上，且 2 3 2 2  e ，求 k 的取值范围. 19.（本小题满分 14 分） 已知函数 21( ) (2 1) 2ln ( )2f x ax a x x a    R . (Ⅰ)若曲线 ( )y f x 在 1x  和 3x  处的切线互相平行，求 a 的值； (Ⅱ)求 ( )f x 的单调区间； (Ⅲ)设 2( ) 2g x x x  ，若对任意 1 (0,2]x  ，均存在 2 (0,2]x  ，使得 1 2( ) ( )f x g x ， 求 a 的取值范围. 20.（本小题满分 14 分） 已知数列 }{ na ，{ }nb 满足 nnn aab  1 ，其中 1,2,3,n  . （Ⅰ）若 1 1, na b n  ，求数列 }{ na 的通项公式； （Ⅱ）若 1 1 ( 2)n n nb b b n    ，且 1 21, 2b b  . （ⅰ）记 )1(16   nac nn ，求证：数列 }{ nc 为等差数列； （ⅱ）若数列 }{ n an 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项 1a 应满 足的条件. 北京市西城区 2010 — 2011 学年度第一学期期末 高三数学参考答案及评分标准 （理科） 2011.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C B D B D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. i 10. 80 11. 4 12.3 13. 0x y  ， 3 14. 5 ， 5 2 注：13、14 题第一问 2 分，第二问 3 分. 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标 准给分.） 15.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）因为点 (1, 3)P  在角 的终边上， 所以 3sin 2    ， 1cos 2   ， ………………2 分 所以 2 2( ) 3sin 2 2sin 2 3sin cos 2sinf          ………………4 分 23 1 32 3 ( ) 2 ( ) 32 2 2          . ………………5 分 （Ⅱ） 2( ) 3sin 2 2sinf x x x  3sin2 cos2 1x x   ………………6 分 2sin(2 ) 16x    ， ………………8 分 因为 [ , ]6 3x    ，所以 6 5 626   x ， ………………10 分 所以 1 sin(2 ) 12 6x     ， ………………11 分 所以 ( )f x 的值域是[ 2,1] . ………………13 分 16.（本小题满分 13 分） （Ⅰ）证明：因为侧面 1 1ABB A ， 1 1ACC A 均为正方形， 所以 1 1,AA AC AA AB  , 所以 1AA  平面 ABC ，三棱柱 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱. ………………1 分 因为 1A D  平面 1 1 1A B C ，所以 1 1CC A D ， ………………2 分 又因为 1 1 1 1A B AC ， D 为 1 1B C 中点， 所以 1 1 1A D B C . ……………3 分 因为 1 1 1 1CC B C C , B1 A B C C11 A1 D x y z O 所以 1A D  平面 1 1BB C C . ……………4 分 （Ⅱ）证明：连结 1AC ，交 1AC 于点O ，连结OD ， 因为 1 1ACC A 为正方形，所以O 为 1AC 中点， 又 D 为 1 1B C 中点，所以OD 为 1 1AB C 中位线， 所以 1 //AB OD ， ………………6 分 因为OD  平面 1A DC ， 1AB  平面 1A DC ， 所以 1 //AB 平面 1A DC . ………………8 分 (Ⅲ)解： 因为侧面 1 1ABB A ， 1 1ACC A 均为正方形， 90BAC   ， 所以 1, ,AB AC AA 两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系 A xyz . 设 1AB  ，则 1 1 1(0,1 0), (1,0,0), (0,0,1), ( , ,1)2 2C B A D， . 1 1 1 1( , ,0), (0,1 1)2 2A D AC    ， ， ………………9 分 设平面 1A DC 的法向量为 = ( )x,y,zn ，则有 1 1 0 0 A D AC      n n ， 0 0 x y y z      ， x y z    ， 取 1x  ，得 (1, 1, 1)  n . ………………10 分 又因为 AB  平面 1 1ACC A ，所以平面 1 1ACC A 的法向量为 (1,0 0)AB  ， ，………11 分 1 3cos , 33 ABAB AB       nn n ， ………………12 分 因为二面角 1D AC A  是钝角， 所以，二面角 1D AC A  的余弦值为 3 3  . ………………13 分 17.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为 ,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果 ),( nm 有 6 6 36  种， ………………2 分 其中和为 6 的结果有 (1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3) ，共 5 种， 则所求概率为 5 36 . ………………4 分 （Ⅱ）每次从袋中随机抽取 2 个球,抽到编号为 6 的球的概率 1 5 2 6 1 3 Cp C   . ………………6 分 所以，3 次抽取中，恰有 2 次抽到 6 号球的概率为 2 2 2 3 1 2 2(1 ) 3 ( ) ( )3 3 9C p p    . ………………8 分] （Ⅲ）随机变量 X 所有可能的取值为 3,4,5,6 . ………………9 分 3 3 3 6 1( 3) 20 CP X C    ， 2 3 3 6 3( 4) 20 CP X C    ， 2 4 3 6 6 3( 5) 20 10 CP X C     ， 2 5 3 6 10 1( 6) 20 2 CP X C     . ………………12 分 所以，随机变量 X 的分布列为: X 3 4 5 6 P 1 20 3 20 3 10 1 2 ………………13 分 18、（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）由题意得 3 3 2 c c a   ，得 2 3a  . ………………2 分 结合 2 2 2a b c  ，解得 2 12a  ， 2 3b  . ………………3 分所以， 椭圆的方程为 1312 22  yx . ………………4 分 （Ⅱ）由 2 2 2 2 1, , x y a b y kx      得 2 2 2 2 2 2( ) 0b a k x a b   . 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y . 所以 2 2 1 2 1 2 2 2 20, a bx x x x b a k     ， ………………6 分 依题意，OM ON ， 易知，四边形 2OMF N 为平行四边形， 所以 2 2AF BF ， ………………7 分 因为 2 1 1( 3, )F A x y  ， 2 2 2( 3, )F B x y  ， 所以 2 2 2 1 2 1 2 1 2( 3)( 3) (1 ) 9 0F A F B x x y y k x x          . ………………8 分即 2 2 2 2 2 2 ( 9)(1 ) 9 0( 9) a a k a k a       ， ………………9 分 将其整理为 4 2 2 2 4 2 4 2 18 81 81118 18 a ak a a a a        . ………………10 分 因为 2 3 2 2  e ，所以 2 3 3 2a  ， 212 18a  . ………………11 分 所以 2 1 8k  ，即 2 2( , ] ( , ]4 4k     . ………………13 分 19.（本小题满分 14 分） 解： 2( ) (2 1)f x ax a x      ( 0)x  . ………………2 分 （Ⅰ） (1) (3)f f  ，解得 2 3a  . ………………3 分 （Ⅱ） ( 1)( 2)( ) ax xf x x    ( 0)x  . ………………5 分 ①当 0a  时， 0x  ， 1 0ax   ， 在区间 (0,2) 上， ( ) 0f x  ；在区间 (2, ) 上 ( ) 0f x  ， 故 ( )f x 的单调递增区间是 (0,2) ，单调递减区间是 (2, ) . ………………6 分 ②当 10 2a  时， 1 2a  ， 在区间 (0,2) 和 1( , )a  上， ( ) 0f x  ；在区间 1(2, )a 上 ( ) 0f x  ， 故 ( )f x 的单调递增区间是 (0,2) 和 1( , )a  ，单调递减区间是 1(2, )a . …………7 分 ③当 1 2a  时， 2( 2)( ) 2 xf x x   ， 故 ( )f x 的单调递增区间是 (0, ) . ………8 分 ④当 1 2a  时， 10 2a   ， 在区间 1(0, )a 和 (2, ) 上， ( ) 0f x  ；在区间 1( ,2)a 上 ( ) 0f x  ， 故 ( )f x 的单调递增区间是 1(0, )a 和 (2, ) ，单调递减区间是 1( ,2)a . ………9 分 （Ⅲ）由已知，在 (0,2] 上有 max max( ) ( )f x g x . ………………10 分由 已知， max( ) 0g x  ，由（Ⅱ）可知， ①当 1 2a  时， ( )f x 在 (0,2] 上单调递增， 故 max( ) (2) 2 2(2 1) 2ln 2 2 2 2ln 2f x f a a a         ， 所以， 2 2 2ln 2 0a    ，解得 ln 2 1a   ，故 1ln 2 1 2a   . ……………11 分 ②当 1 2a  时， ( )f x 在 1(0, ]a 上单调递增，在 1[ ,2]a 上单调递减， 故 max 1 1( ) ( ) 2 2ln2f x f aa a      . 由 1 2a  可知 1 1ln ln ln 12 ea     ， 2ln 2a   ， 2ln 2a  ， 所以， 2 2ln 0a   ， max( ) 0f x  ， ………………13 分 综上所述， ln 2 1a   . ………………14 分 20.（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）当 2n 时，有 1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a         1 1 2 1na b b b      …………2 分 2( 1)1 12 2 2 n n n n      . ………………3 分 又因为 11 a 也满足上式，所以数列 }{ na 的通项为 2 12 2n n na    .………………4 分 （Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的 n *N 有 5 1 6 4 3 2 1n n n n n n n b bb bb b b           ， ………………5 分 所以 1 6 5 6 1 6 1 6 6 1 6 2 6 3 6 4n n n n n n n n n nc c a a b b b b b b                1 11 2 2 1 72 2        ( 1)n  ， 所以数列 }{ nc 为等差数列. ………………7 分 （ⅱ）设 )0(6   nac inn ，（其中i 为常数且 }6,5,4,3,2,1{i ），所以 1 6 6 6 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 7( 0)n n n i n i n i n i n i n i n i n ic c a a b b b b b b n                         所以数列 }{ 6 ina  均为以 7 为公差的等差数列. ………………9 分 设 6 7 7 7( 6 )7 76 6 6 6 6 6 6 6 i i k i i k i ii k a aa a kf k i i k i k i k             ， （其中 ikn  6 )0( k ，i 为 }6,5,4,3,2,1{ 中的一个常数）， 当 7 6i ia  时，对任意的 ikn  6 有 n an 7 6  ； ………………10 分 当 7 6i ia  时， 1 7 7 7 1 16 6 ( )( )6( 1) 6 6 6( 1) 6 i i k k i i ia a if f ak i k i k i k i              7 6( )( )6 [6( 1) ](6 )i ia k i k i      ………………11 分 ①若 7 6i ia  ，则对任意的 k N 有 kk ff 1 ，所以数列 }6{ 6 ik a ik   为单调减数列； ②若 7 6i ia  ，则对任意的 k N 有 kk ff 1 ，所以数列 }6{ 6 ik a ik   为单调增数列； ………………12 分 综上：设集合 7 4 1 1 1 1{ } { } { } { } { } { }6 3 2 3 6 2B        7 4 1 1 1{ , , , , }6 3 2 3 6    ， 当 Ba 1 时，数列 }{ n an 中必有某数重复出现无数次. 当 Ba 1 时， }6{ 6 ik a ik   )6,5,4,3,2,1( i 均为单调数列，任意一个数在这 6 个数列中最多 出现一次，所以数列 }{ n an 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14 分