2011西城高三期末（数学文）有答案

北京市西城区 2010 — 2011 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2011.1 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项. 1. 已知集合 { 1}A x x   ， { 3}B x x  ，那么集合 A B  （A）{ 1 3}x x   （B）{ 1 3}x x   （C）{ 1}x x   （D）{ 3}x x  2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 （A） lgy x （B） cosy x （C） | |y x （D） siny x 3. 若 a b ，则下列不等式正确的是 （A） 1 1 a b  （B） 3 3a b （C） 2 2a b （D） a b 4. 命题“若 a b ，则 1a b  ”的逆否命题是 （A）若 1a b  ，则 a b （B）若 1a b  ，则 a b （C）若 1a b  ，则 a b （D）若 1a b  ，则 a b 5. 设{ }na 是等差数列，若 2 4a  ， 5 7a  ，则数列{ }na 的前10项和为 （A）12 （B） 60 （C） 75 （D）120 6. 阅读右面程序框图，如果输出的 函数值在 区间 1 1[ , ]4 2 内，那么输入实数 x 的取值范围是 （A） ( , 2]  （B）[ 2, 1]  （C）[ 1,2] （D）[2, ) 开始 输出 结束 是 否 输入 x [ 2,2]x  ( ) 2xf x  ( )f x ( ) 2f x  7．如图，四边形 ABCD 中， 1AB AD CD   ， 2BD  ， BD CD ，将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A BCD ，使平 面 A BD  平面 BCD ，则下列结论正确的是 （A） A C BD  （B） 90BA C   （C） A DC 是正三角形 （D）四面体 A BCD 的体积为 1 3 8. 设函数 1 2 1( ) log ( )2 xf x x  ， 2 1 2 1( ) log ( )2 xf x x  的零点分别为 1 2,x x ，则 （A） 1 20 1x x  （B） 1 2 1x x  （C） 1 21 2x x  （D） 1 2 2x x  第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. i 为虚数单位，则 2 2 (1 i)  ______. 10. 已知 1 a b ， 1 2  a b ，则平面向量 a 与 b 夹角的大小为______. 11.若实数 ,x y 满足条件 1 0, 2, 1, x y x y x         则 2x y 的最大值为______. 12.在 ABC 中，若 3, 3a b  ， 3B   ，则 c  ____. 13. 已知双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的离心率为 2 ，它的一个焦点与抛物线 2 8y x 的焦点相同，那么 双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______. 14.在平面直角坐标系中，定义 1 2 1 2( , )d P Q x x y y    为两点 1 1( , )P x y , 2 2( , )Q x y 之间的 “折线距离”.在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆； ③到 ( 1,0), (1,0)M N 两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是面积为 6 的六边形； ④到 ( 1,0), (1,0)M N 两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 2( ) 3sin 2 2sinf x x x  . （Ⅰ）求 ( )6f  的值； （Ⅱ）若 [ , ]6 3x    ，求 ( )f x 的最大值和最小值. 16.（本小题满分 13 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1ABB A ， 1 1ACC A 均为正方形， 90BAC   ， D 为 BC 中点. （Ⅰ）求证： 1 //A B 平面 1ADC ； （Ⅱ）求证： 1 1C A B C . 17.（本小题满分 13 分） 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如 下： （Ⅰ）求出表中 ,M p 及图中 a 的值； （Ⅱ）若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15) 内的人数； （Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人，求至多一 人参加社区服务次数在区间[25,30) 内的概率. 18.（本小题满分 13 分） 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 24 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计 M 1 A B C D C1 A1 B1 频率/组距 15 2520100 30 次数 a 已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   （ 0 ba ）的一个焦点坐标为 (1,0) ，且长轴长是短轴长的 2 倍. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线 1y kx  相交于两个不同的点 ,A B ，线段 AB 的 中点为 P ，若直线OP 的斜率为 1 ，求△OAB 的面积. 19.（本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) lnf x ax x  ( )aR . (Ⅰ)若 2a  ，求曲线 ( )y f x 在 1x  处切线的斜率； (Ⅱ)求 ( )f x 的单调区间； （ Ⅲ ） 设 2( ) 2 2g x x x   ， 若 对 任 意 1 (0, )x   ， 均 存 在  2 0,1x  ， 使 得 1 2( ) ( )f x g x ，求 a 的取值范围. 20.（本小题满分 14 分） 已知数列 }{ na 的首项为1，对任意的 n *N ，定义 nnn aab  1 . （Ⅰ） 若 1nb n  ，求 4a ； （Ⅱ） 若 1 1 ( 2)n n nb b b n    ，且 1 2, ( 0)b a b b ab   . （ⅰ）当 1, 2a b  时，求数列{ }nb 的前3n 项和； （ⅱ）当 1a  时，求证：数列 }{ na 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次. 北京市西城区 2010 — 2011 学年度第一学期期末 高三数学参考答案及评分标准 （文科） 2011.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C C B B A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. i 10. 60 11. 4 12. 3 13. ( 2,0) ， 3 0x y  14. ①③④ 注：13 题第一问 2 分，第二问 3 分； 14 题①③④选对其中两个命题得 2 分，选出错误的命题即得 0 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准 给分. 15.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ） ( )6f  = 23sin 2sin3 6   ………………2 分 3 2 12 4     . ………………4 分 （Ⅱ）  f x 3sin2 cos2 1x x   ………………6 分 2sin(2 ) 16x    . ………………8 分 因为 [ , ]6 2x    ，所以 6 5 626   x ， ………………10 分 所以 1 sin(2 ) 12 6x     ， ………………11 分 所以 ( )f x 的最大值为1 ，最小值为 2 . ………………13 分 16.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）连结 1AC ，设 1AC 交 1AC 于点O ，连结OD . ………………2 分 因为 1 1ACC A 为正方形，所以O 为 1AC 中点， 又 D 为 BC 中 点 ， 所 以 OD 为 1A BC 的 中 位 线 ， 所 以 1 //A B OD . ………………4 分 因为OD  平面 1ADC ， 1A B  平面 1ADC ， 所以 1 //A B 平面 1ADC . ………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 1 1C A CA ………………7 分 因为侧面 1 1ABB A 是正方形， 1AB AA ， 且 90BAC   ， 所以 AB  平面 1 1ACC A . 又 1 1//AB A B ， 所以 1 1A B  平面 1 1ACC A . ………………9 分 又因为 1C A  平面 1 1ACC A ， 所以 1 1 1A B C A . ………………10 分 所以 1 1 1C A A B C 平面 . ………………12分 又 1B C  平面 1 1A B C ， 所以 1 1C A B C . ………………13 分 17.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）由分组[10,15) 内的频数是10，频率是 0.25知， 10 0.25M  ， 所以 40M  . ………………2 分 因为频数之和为 40 ，所以10 24 2 40m    ， 4m  . ………………3 分 4 0.1040 mp M    . ………………4 分 因为 a 是对应分组[15,20) 的频率与组距的商，所以 24 0.1240 5a   .……………6 分 （Ⅱ）因为该校高三学生有 240 人，分组[10,15) 内的频率是 0.25， 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. ………8 分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 2 6m   人， 设在区间[20,25) 内的人为 1 2 3 4, , ,a a a a ，在区间[25,30) 内的人为 1 2,b b . 则任选 2 人共有 1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 2 3 2 4 2 1( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),a a a a a a a b a b a a a a a b 2 2 3 4( , ),( , )a b a a ， 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a b a b a b a b b b 15 种情况， ………………10 分 而两人都在[25,30) 内只能是 1 2,b b 一种， ………………12 分 所以所求概率为 1 141 15 15P    .（约为 0.93） ………………13 分 18.（本小题满分 13 分） A B C D C1 A1 B1 O 解：（Ⅰ）由题意得 1, 2c a b  ， ………………2 分 又 2 2 1a b  ，所以 2 1b  ， 2 2a  . ………………3 分 所以椭圆的方程为 2 2 12 x y  . ………………4 分 （Ⅱ）设 (0,1)A ， 1 1( , )B x y ， 0 0( , )P x y ， 联立 2 22 2, 1 x y y kx       消去 y 得 2 2(1 2 ) 4 0k x kx   ……（*）， ………………6 分 解得 0x  或 2 4 1 2 kx k    ，所以 1 2 4 1 2 kx k    ， 所以 2 2 2 4 1 2( , )1 2 1 2 k kB k k    ， 2 2 2 1( , )1 2 1 2 kP k k    ， ………………8 分 因为直线 OP 的斜率为 1 ，所以 1 12k    ，解得 1 2k  （满足（*）式判别式大于 零）. ………………10 分 O 到直线 1: 12l y x  的距离为 2 5 ， ………………11 分 2 2 1 1( 1)AB x y    2 53 ， ………………12 分 所以△OAB 的面积为 1 2 2 252 3 35    . ………………13 分 19.（本小题满分 14 分） 解：(Ⅰ)由已知 1( ) 2 ( 0)f x xx     ， ………………2 分 (1) 2 1 3f     . 故曲线 ( )y f x 在 1x  处切线的斜率为3 . ………………4 分 (Ⅱ) 1 1'( ) ( 0)axf x a xx x     . ………………5 分 ①当 0a  时，由于 0x  ，故 1 0ax   ， '( ) 0f x  所以， ( )f x 的单调递增区间为 (0, ) . ………………6 分 ②当 0a  时，由 '( ) 0f x  ，得 1x a   . 在区间 1(0, )a  上， ( ) 0f x  ，在区间 1( , )a   上 ( ) 0f x  ， 所以，函数 ( )f x 的单调递增区间为 1(0, )a  ，单调递减区间为 1( , )a   . ………………8 分 （Ⅲ）由已知，转化为 max max( ) ( )f x g x . ………………9 分 max( ) 2g x  ………………10 分 由(Ⅱ)知，当 0a  时， ( )f x 在 (0, ) 上单调递增，值域为 R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在 3 3(e ) e 3 2f a   ，故不符合题意.) ………………11 分 当 0a  时， ( )f x 在 1(0, )a  上单调递增，在 1( , )a   上单调递减， 故 ( )f x 的极大值即为最大值， 1 1( ) 1 ln( ) 1 ln( )f aa a         ， ………13 分 所以 2 1 ln( )a    ， 解得 3 1 ea   . ………………14 分 20.（本小题满分 14 分） (Ⅰ) 解： 1 1a  , 2 1 1 1 2 3a a b     , 3 2 2 3 3 6a a b     4 3 3 6 4 10a a b     . ………………3 分 （Ⅱ）（ⅰ）解：因为 1 1n n nb b b   （ 2n  ）， 所以，对任意的 n *N 有 5 1 6 4 3 2 1n n n n n n n b bb bb b b           ， 即数列{ }nb 各项的值重复出现，周期为 6 . ………………5 分 又数列 }{ nb 的前 6 项分别为 2 1,2 1,1,2,2,1 ，且这六个数的和为 7. 设数列{ }nb 的前 n 项和为 nS ，则， 当 2 ( )n k k  *N 时， 3 6 1 2 3 4 5 6( ) 7n kS S k b b b b b b k        ， 当 2 1( )n k k   *N 时， 3 6 3 1 2 3 4 5 6 6 1 6 2 6 3( )n k k k kS S k b b b b b b b b b             1 2 37 7 5k b b b k      ， ………………7 分 所以，当 n 为偶数时， 3 7 2nS n ；当 n 为奇数时， 3 7 3 2n nS  . ………………8 分 （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的 n *N 有 6n nb b  ， 又数列 }{ nb 的前 6 项分别为 1 11, , ,1, ,b b b b ，且这六个数的和为 22 2b b   . 设 )0(6   nac inn ，（其中i 为常数且 }6,5,4,3,2,1{i ）， 所以 1n nc c   6 6 6 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5n i n i n i n i n i n i n i n ia a b b b b b b                    22 2b b    . 所以，数列 }{ 6 ina  均为以 22 2b b   为公差的等差数列. ………………10 分 因为 0b  时， 22 2 0b b    ， 0b  时， 22 2 2 0b b      ， ………………12 分 所以{ 6n ia  }为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次. 所以数列 }{ na 中任意一项的值最多在此数列中出现 6 次， 即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ………………14 分