2011奉贤区高三调研有答案（数学）

2011 届上海市奉贤区第一学期高三年级质量调研 数学试卷（文理合卷） 2010.12.31 一. 填空题 (本大题满分 56 分） 1、已知全集U R ，集合  2 4 0M x x   ，则 UC M = 2、函数 xy 216  的定义域 [ 3、已知 bnn an n        13lim 2 ，  ba 4、⊿ABC 的三内角的正弦值的比为 4：5：6，则此三角形的最大角为 （用反余弦表示） 5、（理）已知函数   x xf      3 1  1x 的反函数 （文）已知函数   1,3  xxf x 的反函数 6、用数学归纳法证明“ nn 25  能被 3 整除”的第二步中， 1 kn 时，为了使用归纳假设，应将 11 25   kk 变形为 从而可以用归纳假设去证明。 7、已知{ na }是等差数列, 1 15a  , 393 S ,则过点  2,2 aP ， 4(4, )Q a 的直线的方向向量可以为 8、（理）平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 422  yx 上有且仅有四个点到直线 0512  cyx 的距离 为 1，则实数 c 的取值范围是_________ （文）直线 2 5 0x y   与圆 2 2 8x y  相交于 A、B 两点，则 AB  9、（理）已知 ∈(0，  2 1 )，则直线 01tan  yx 的倾斜角 （用 的代数式表示） （文）已知 ∈(0，  2 1 )，则直线 01tan  yx  的倾斜角 （用 的代数式表示） 10、执行右边的程序框图，输出的 W= 11、设等比数列 }{ na 的公比 1q ，若 }{ can  也是等比数列,则 c 12、斜率为 1 的直线与椭圆 134 22  yx 相交于 B,A 两点,AB 的中点  1,M m ， 则 m 13、 若{ }na 是等差数列， , ,m n p 是互不相等的正整数，有正确的结论： ( ) ( ) ( ) 0p m nm n a n p a p m a      ，类比上述性质，相应地，若等比数列{ }nb ， , ,m n p 是互不相等 的正整数，有 14 、（ 理 ） 已 知 点 (1, 0), (0,1)A B 和 互 不 相 同 的 点 1P ， 2P ， 3P ， … ， nP ， … ， 满 足 *( )n n nOP a OA b OB n N     ，O 为坐标原点，其中{ } { }n na b、 分别为等差数列和等比数列， 1P 是线 段 AB 的中点，对于给定的公差不为零的{ }na ，都能找到唯一的一个 { }nb ，使得 1P ， 2P ， 3P ，…， nP ，…， 都在一个指数函数 （写出函数的解析式）的图像上. （ 文 ） 已 知 点 (1, 0), (0,1)A B 和 互 不 相 同 的 点 1P ， 2P ， 3P ， … ， nP ， … ， 满 足 *( )n n nOP a OA b OB n N     ， O 为坐标原点，其中{ } { }n na b、 分别为等差数列和等比数列，若 1P 是 线段 AB 的中点，设等差数列公差为 d ，等比数列公比为 q ，当 d 与 q 满足条件 时，点 1P ， 2P ， 3P ，…， nP ，…共线 二、选择题（每题 5 分，共 20 分） 15、在 ABC 中，“ cos sin cos sinA A B B   ”是“ 90C   ”的 （ ） （A）．充分非必要条件 （B）．必要非充分条件 （C）．充要条件 （D）．非充分非必要条件 16、车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流 量由函数 F（t）=50+4sin 2 t （其中 Rt  0≤t≤20）给出，F（t）的单位是辆／分，t 的单位是分，则 在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ） （A）．[0，5] （B）．[5，10] （C）．[10，15] （D）．[15，20] 17、若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：   xxf 21 log2 ，    2log 22  xxf ， xf 2 23 log ，  xf 2log 24  则“同形”函数是（ ） （A）．  xf1 与  xf 2 （B）．  xf 2 与  xf3 （C）．  xf 2 与  xf 4 （D）．  xf1 与  xf 4 18、（理）设集合        1,1),( 2 2 2 ax a yyxA ，  1,2,),(  tattyyxB x ， 则 A B 的子集的个数是（ ） （A）．4 （B）．3 （C）．2 （D）．1 （文）设集合   2 2 { , | 1}4 16 x yA x y   ，  1,0,),(  aaayyxB x ，则 A B 的子集的个数是（ ） （A）．2 （B）．3 （C）．4 （D）．1 三、解答题（13 分+13 分+14 分+16 分+18 分） 19、已知函数   x xxf x x     1 1log 21 21 2 （1）、判别函数的奇偶性，说明理由（7 分）；（2）、解不等式   2 21 21    x x xf （6 分） 20、在△ABC 中，已知角 A 为锐角，且   2 12cos 2sin2cos2 sin12cos)( 22         A AA AAAf . （1）、将  Af 化简成     NwAMAf  sin 的形式（6 分）； （2）、若 2,1)(,12 7  BCAfBA  ，求边 AC 的长. （7 分）； 21 、（ 理 ） 已 知 ji, 是 x,y 轴 正 方 向 的 单 位 向 量 ， 设   jyixa  2 a = jyix   )2( ,   jyixb  2 b  =,且满足 2 ba （1）、求点 P(x,y)的轨迹 E 的方程.（5 分） （2）、若直线l 过点 2F  0,2 且法向量为 )1,(tn   ，直线与轨迹 E 交于 P Q、 两点．点  0,1M ,无论直线 l 绕点 2F 怎样转动， MQMP  是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．并求实数t 的 取值范围；（9 分） （文）已知    0,3,0,3 21 FF  ，点 P 满足 421  PFPF ，记点 P 的轨迹为 E， （1）、求轨迹 E 的方程；（5 分） （2）、如果过点 Q(0，m)且方向向量为 c =(1,1) 的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A，B 两点，当 0OBOA 时， 求  AOB 的面积。（9 分） 22、数列 na 的前 n 项和记为 nS ，前 kn 项和记为 knS  *, Nkn  ,对给定的常数 k ，若 kn nk S S )1(  是与 n 无 关的非零常数  kft  ，则称该数列 na 是“ k 类和科比数列．．．．．．”， （理科做以下（1）（2）（3）） （1）、已知 0,2 1 2       n n n aaS ，求数列 na 的通项公式（5 分）； （2）、证明（1）的数列 na 是一个 “ k 类和科比数列．．．．．．”（4 分）； （3）、设正数列 nc 是一个等比数列，首项 1c ，公比Q  1Q ，若数列 nclg 是一个 “ k 类和科比数．．．．． 列．”，探究 1c 与Q 的关系（7 分） （文科做以下（1）（2）（3）） （1）、已知 )N(3 2 3 4 * naS nn ，求数列 na 的通项公式（6 分）； （2）、在（1）的条件下，数列 nc na 2 ，求证数列 nc 是一个 “1．类和科比数列．．．．．．”（4 分）； （3）、设等差数列 nb 是一个 “ k 类和科比数列．．．．．．”，其中首项 1b ，公差 D ，探究 1b 与 D 的数量关系，并写出相应的常数  kft  （6 分）； 23、设   x mxxh  ,     5,4 1x ， 其中 m 是不等于零的常数， （1）、（理）写出  xh 4 的定义域（2 分）； （文） 1m 时，直接写出  xh 的值域（4 分） （2）、（文、理）求  xh 的单调递增区间（理 5 分，文 8 分）； （ 3 ） 、 已 知 函 数 ( )f x ( [ , ])x a b ， 定 义 ： 1( ) min{ ( ) | }f x f t a t x   ( [ , ])x a b ， 2 ( ) max{ ( ) | }f x f t a t x   ( [ , ])x a b ． 其 中 ， min{ ( ) | }f x x D 表 示 函 数 ( )f x 在 D 上 的 最 小 值 ， max{ ( ) | }f x x D 表示函数 ( )f x 在 D 上的最大值．例如： ( ) cosf x x ， [0, ]x  ，则 1( ) cos , [0, ]f x x x   ， 2 ( ) 1, [0, ]f x x   ， （理）当 1m 时，设           2 4 2 4 xhxhxhxhxM  ，不等式     nxMxMt  21 恒成立，求 nt, 的取值范围（11 分）； （文）当 1m 时，     nxhxh  21 恒成立，求 n 的取值范围（8 分）； 2010 奉贤区高三数学期末调研考参考答案 2011、1、4 一、填空题（56 分） 1、      ,22,22 或或xxx ； 2、    4xx4  ，或， ； 3、 3 8 ； 4、 8 1arccos ； 5、理       3 1log 3 1 xxy ，文  3log3  xxy 6、   kkk 23255  或   kkk 53252  ； 7、  2,1  不唯一，  aa 2, 形式均可以； 8、理  13,13 ，文 32 ； 9、理   2 ； 文   10、22； 11、0； 12、 3 4 13、 1  mp n pn m nm p bbb 14、理 xy )4 1( ； 14、 文      1 0 q d 或      1 0 q d 另一种描述： 0d 或 1q 且 10  qd 与 不同时成立 二、选择题（20 分） 15．A □ B □ C □ D □ 16．A □ B □ C □ D □ 17．A □ B □ C □ D □ 18．A □ B □ C □ D □ 三、解答题 19、解：（1）定义域       01 1 021 x x x （2 分），    1,00,1 x （1 分）（直接写出得 3 分）    xfxf x x x x x x x x            1 1 21 1 2 log 12 12log 21 21 （2 分） 所以  xf 是奇函数（1 分） （2） ,2log 1 1 2   x x （1 分）， 41 1   x x ，（1 分） 5 3 x 或 1x （2 分） 最后不等式的解集是       5 3,00,1  （2 分） 20、解：（1）   2 12cos cos2 sincos2 2  A A AAAf （2 分） 2 12cossincos  AAA （1 分） )12cos2(sin2 1  AA （1 分） 2 1)42sin(2 2  A （2 分） （2）由 .2 2)42sin(,12 1)42sin(2 21)(   AAAf 得 （2 分） .12 5.3,12 7.4,4 3 42   CBBAAA 又 （A,B,C 各 1 分 共 3 分） 在△ABC 中，由正弦定理得： .sin sin BC AC A B  sin 6sin BC BAC A    （2 分） 21、（理）解：（1）方程为 )1(13 2 2  xyx ，（4 分+1 分定义域） （2）设直线l 的方程为 0)2(  yxt 或  2 xty （1 分） 由      13 )2( 2 2 yx xty 得 0344)3( 2222  txtxt （1 分） 设 ),(),,( 2211 yxQyxP 由条件得              03 34 03 4 03636)34)(3(416 03 2 2 21 2 2 21 2224 2 t txx t txx tttt t （只计算 03636 2  t 1 分） 解得 32 t 即 ),3()3,( t （1 分） 2121 )1)(1( yyxxMQMP   （1 分）   221 21 2 2121  xxtxxxx （1 分） 2 21 2 21 2 41))(12()1( txxtxxt  （1 分） = 2 2 24 2 24 41 3 48 3 374 t t tt t tt      =0（2 分） （文）解：(1)点 P 的轨迹方程为 14 22  yx （4 分） 说明只出现     433 2222  yxyx （1 分） 只出现点 P 的轨迹是以( 3 ,0)，(- 3 ,0)为焦点的椭圆（2 分） （2） 依题意直线 AB 的方程为 y=x+m.（1 分） 设 A( 11, yx ),B( 22 , yx ) 代入椭圆方程，得 04485 22  mmxx ，（1 分）   ,0442064 22  mm 52 m （1 分） 5 44 2 21  mxx ，      5 42 2 21212121  mmxxmxxmxmxyy （1+1=2 分） 5 102,5 8,05 85 2 2 2121  mmmyyxx （1 分） 因此   22 21 2 2121 55 2416805 24211 mmxxxxxxAB  = 25 1704 （1 分） 2 md ABO  = 5 52 （1 分） 22 )5(5 2 2 1 mmdABS AOB  = 25 1362 （1 分） 22、理科（1）     4 1 4 1 2 2 1 1     n n n n aS aS 作差得     4 11 22 1 1    nn n aaa 1 分 化简整理 22 11 22 nnnn aaaa   ， 21   nn aa 2 分 所以 na 成等差数列 1 分 计算 11 a 1 分 12  nan 1 分 （2）计算     22 1 1 nkS nk  ； 22nkSkn  ； 所以 2 )1( 1      k k S S kn nk 与 n 无关的常数 所以数列 na 是一个 “ k 类和科比数列．．．．．．” 4 分 （3） Qc ccc n n nn lglglglg 1 1    是一个常数， 所以 nclg 是一个等差数列，首项 1lgc ，公差 Qlg 1 分   QnncnSn lg2 1lg 1    QknkncknSkn lg2 1lg 1  1 分   QnknkcnkS nk lg2 1)1()1(lg)1( 1)1(  1 分     t Qknknckn Qnknkcnk S S kn nk     lg2 1lg lg2 1)1()1(lg)1( 1 1)1( 对一切 *Nn  恒成立 化简整理        0lglg21lg1 1 22  QcktknQtkk 对一切 *Nn  恒成立 ， 所以        0lglg2 01 1 22 Qc ktk 3 分 2 1cQ  1 分 22、文（1）解：联立：          23 2 3 4 3 2 3 4 11 naS aS nn nn nnn aaa  13 4 3 4 2 分  24 1   na a n n 1 分 所以 na 是等比数列， 1 分 ,3 2 3 4 11  aa 21 a 1 分 121 24.2   nn na 1 分 （2） 12  nan 前 n 项的和 2nSn  1 分 2 2 4nS n  1 分 42  n n S S 1 分 所以数列 na 是一个 “1．类和科比数列．．．．．．” 1 分 （3）对任意一个等差数列数列 nb ，首项 1b ，公差 D   DknknknbSkn 2 1 1  1 分   DnknknbkS nk 2 1)1()1()1( 1)1(  1 分     t Dknkkb Dnkkbk S S kn nk    2 1 2 1)1()1()1( 1 1)1( 对一切 *Nn  恒成立 1 分       Dtknkktbnkkbk 121)1(112 11  对一切 *Nn  恒成立     22 1 )1(21  ktkDnDbktk 对一切 *Nn  恒成立 所以          021 0)1( 1 22 Dbktk Dktk 2 分 12BD  1 分 所以 21      k kt 2 分 23、理 （1）、        4 5,16 1,5,4 14 xx 2 分 （2）、 0m 时，  xh 在     5,4 1 递增 ； 16 10  m 时，  xh 在     5,4 1 递增 2516 1  m 时，  xh 在 5,m 递增 （对 1 个 2 分，2 个 3 分，3 个 5 分 （3）、由题知：       x xxhxh 4 4134 2 1 分 所以，    xhxh 4      2 1,4 1x 1 分    xhxh 4   2 1x 1 分    xhxh 4     4 5,2 1x 1 分                   xhxhxh xhxhxhxM 4,4 4,                  4 5,2 1,4 14 2 1,4 1,1 xxx xxx xM 1 分                  4 5,2 1,2 5 2 1,4 1,1 1 x xxx xM 1 分                  4 5,1,4 14 1,4 1,4 17 2 xxx x xM 1 分                            4 5,1,4 142 5 1,2 1,4 7 2 1,4 1,4 171 21 xxx x xxx MM 1 分         0,10 21 21 xMxM 1 分 10 21,0  tn 2 分 23、（文） （1）、       5 26,2xh 4 分 （2）、 0m 时，  xh 在     5,4 1 递增 2 分 16 10  m 时，  xh 在     5,4 1 递增 2 分 2516 1  m 时，  xh 在 5,m 递增 2 分 （3）            5,1,2 1,4 1,1 1 x xxxxh 2 分                5,4,1 4,4 1,4 17 2 xxx x xh 2 分                        5,412 4,1,4 9 1,4 1,4 171 21 xxx x xxx xhxh 1 分         5 16,021 xhxh 2 分 所以 5 16n 1 分