2011崇明县高三期末试卷及答案（数学）

崇明县 2010 学年第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 考生注意： 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答案必须写在答题纸上，做在试卷上一律 不得分。答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。 一、填空题（每题 4 分，共 56 分） 1、已知以 ,x y 为变量的二元一次方程组的增广矩阵为 2 1 1 1 2 0      ，则这个二元一次方程组的解 为____________. 2、如果集合  | cos ,A y y x x R   ，集合  2| 0B x x x   ，则 A B  ______. 3、已知 5cos , 05 2      ，则 tan  ________. 4、已知 2, 2 2a b   ，且 a  与 b  的夹角为 4  ，则 a b   _________. 5、若函数 2( ) log 1f x x  的反函数为 ( )y g x ，则方程 ( ) 16g x  的解为_______. 6、在 6(3 2)x  的展开式中， 2x 项的系数等于____________.（结果用数字表示） 7、函数   12( ) , 1,21f x xx x   的值域为_____________________. 8、设圆 C 与双曲线 2 2 19 16 x y  的渐近线相切， 且圆心是双曲线的右焦点，则圆 C 的标准 方程是______________________________. 9、已知点 ( 3, 1), (cos ,sin )A B   ，其中  0,  ， 则 AB  的最大值为________. 10、已知右图程序框图的输出结果是 3y  ， 则输入框中 x 的所有可能的值为 . 11、某校高一年级 128 名学生参加某次数学联考，随机抽取 该校高一年级其中 10 名学生的联考数学成绩如下表： 学生 a b c d e f g h i j 成绩 78 68 80 85 82 75 80 92 79 81 该校高一学生数学联考成绩标准差的点估计值等于 （精确到 0.1） 输入 x 值 x≤0 x＜1 2 1xy  1 2 logy x 1 3 1y x   输出 y 结束 开始 （第 10 题图） 是 是 否 否 12、已知直线 : 3 1 0,l x y   集合  | 10,A n n n N    ，从 A 中任取 3 个元素分别作为圆方程 2 2 2( ) ( )x a y b r    中的 a r、b、 ，则使圆心 ( , )a b 与原点的连线垂直于直线 l 的概率等于 ___________.（用分数表示） 13、在共有 2009 项的等比数列 na 中，有等式 1 3 5 2009 1005 2 4 6 2008 a a a a aa a a a       成立；类比上述性质， 在共有 2013 项的等差数列 nb 中，相应的有等式 成立． 14、定义在 R 上函数 ( )f x ，集合 A a a 为实数，且对于任意 , ( )x R f x a ≥ 恒成立 ，且存在 常数 m A ，对于任意 n A ，均有 m n≥ 成立，则称 m 为函数 ( )f x 在 R 上的“定下界”． 若 2 1( ) 1 2 x xf x   ，则函数 ( )f x 在 R 上的“定下界” m  ． 二、选择题（每题 5 分，共 20 分） 15、在下列四个函数中，周期为 2  的偶函数为………………………………………………（ ） A、 2sin 2 cos2y x x B、 2 2cos 2 sin 2y x x  C、 tan 2y x x D． 2 2cos siny x x  16、8 名学生和 2 位教师站成一排合影，2 位教师不相邻的排法种数为 …………………（ ） A、 8 2 8 9P P B、 8 2 8 9P C C、 8 2 8 7P P D、 8 2 8 7P C 17、函数 ( ) sinf x x x m n   为奇函数的充要条件是………………………………………（ ） A、 2 2 0m n  B、 0mn  C、 0m n  D、 0m n  18、已知 0, 0a b  ， a 、 b 的等差中项等于 1 2 ，设 2x b a   ， 1 2y a b   ，则 x y 的最小值 等于…………………………………………………………………………………………（ ） A、 9 2 B、5 C、 11 2 D、 6 三、解答题（本大题共 74 分，解答下列各题需要必要的步骤） 19、（本题 12 分，第（1）小题 8 分，第（2）小题 4 分） 已知复数 z 是关于 x 的实系数一元二次方程 2 25 0x mx   的一个根，同时复数 z 满足关系 式 8 4z z i   ． （1）求 z 的值及复数 z ； （2）求实数 m 的值． 20、（本题 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分）． 已知三角形 ABC 中， A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、b 、 c ， 函数 2 23 11( ) sin 2 (1 2 ) cos sin4 16f x x cos C x C      的图像过点 1,6 2      ． （1）求 sinC 的值； （2）当 2,2sin sina A C  时，求 b 、 c 边的长． 21、（本题 14 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 8 分） 已知函数 ( ) 2 af x x x   的定义域为  0,2 （ a 为常数）. （1）证明：当 8a≥ 时，函数 ( )y f x 在定义域上是减函数； （2）求函数 ( )y f x 在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时 x 的值． 22、（本题 16 分，第（1）小题 4 分；第（2）小题 6 分；第（3）小题 6 分） 已知数列 na 满足： 1 1 2a  ， 1 1 3(1 ) 2(1 ) 1 1 n n n n a a a a      （ n N  ），数列 21n nb a  （ n N  ）， 数列 2 2 1n n nc a a  （ n N  ）. （1）证明数列 nb 是等比数列； （2）求数列 nc 的通项公式； （3）是否存在数列 nc 的不同项 , ,i j kc c c （ i j k  ），使之成为等差数列？若存在请求出这样的 不同项 , ,i j kc c c （i j k  ）；若不存在，请说明理由． 23、（本题 18 分，第（1）小题 4 分；第（2）小题 6 分；第（3）小题 8 分） 如图，已知椭圆 E： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  ，焦点为 1F 、 2F ，双曲线 G： 2 2x y m  ( 0)m  的顶点是该椭圆的焦点，设 P 是双曲线 G 上异于顶点的任一点，直线 1PF 、 2PF 与椭圆的交点分 别为 A、B 和 C、D，已知三角形 2ABF 的周长等于8 2 ，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8 2 . （1）求椭圆 E 与双曲线 G 的方程； （2）设直线 1PF 、 2PF 的斜率分别为 1k 和 2k ，探求 1k 和 2k 的关系； （3）是否存在常数  ，使得 AB CD AB CD   恒成立？若存在，试求出  的值；若不存在， 请说明理由． 崇明县 2010 学年第一学期期未考试参考答案与评分标准 高三数学 A PB C D O F2 F1 y x· · · · 一、填空题（每空 4 分共 56 分） 1、 2 1,3 3x y  2、[0,1] { 1} 3、 2 4、 4 5、3 6、 2160 7、[2 2,3] 8、 2 2( 5) 16x y   9、3 10、 18, ,18  11、 6.2 12、 1 24 13、 1 2 3 2013 2 4 6 2012 1007( ) ( )b b b b b b b b b           14、 1 二、选择题（每空 5 分共 20 分） 15、B 16、A 17、A 18、C 三、解答题（共 74 分） 19、（1）(8 分)解 1：由题意 z 也是原方程的一根 25z z  | |z z z  | | 5z  8 4 | | 3 4z i z i     解 2：设 2 2, 8 4z a bi a b a bi i       2 2 8 4 a b a b      3 4 a b    3 4 ,| | 5z i z   (2) （ 4 分 ） 由 题 意 z 也 是 原 方 程 的 一 根 , 3 4z i  z z m   6m   20、（1）（6 分） 2 21 3 3 3 112cos sin2 4 2 4 16C C     10sin 4C  （2） （2） sin sin a c A C  2 4c a  6cos 4C   2 2 2 2 2 cos 616 4 2 2 ( )4 c a b ab C b b           2 6 12 0 6, , 2 6 b b b or b      21、(1) ]2,0(,, 2121  xxxx 21 2121 21 )2)(()()( xx axxxxxfxf  因为 ]2,0(,, 2121  xxxx 所以 02,82,0 212121  axxaxxxx )()(,0)()( 2121 xfxfxfxf  所以 )(xf 是减函数 (2)①当 0, ( )a f x x  ， )(xf 是增函数 所以 24)2(max,2 afx  ，无最小值 ②当 0a  时， )(xf 是增函数 所以 max2, (2) 4 2 ax f f    ，无最小值 ③当 0a 且 22 a 即 80  a 时,所以 aax 22min,2  ，无最大值 ④当 0a 且 22 a 即 8a 时 所以 24min,2 ax  ，无最大值 22、（1）由已知 )(0,1 *Nnba nn  4 3 1 b 1’ )1(2)1(3 22 1 nn aa   22 1 3 2 3 1 nn aa  )(3 2 *1 Nnb b n n  所以 }{ nb 是 4 3 为首项， 3 2 为 公比的等比数列 （2） )()3 2(4 3 *1 Nnb n n   )() 3 2( 4 311 *12 Nnba n nn   )()3 2(4 1 *122 1 Nnaac n nnn    （3）假设存在 kji ccc ,, 满足题意成等差 kij ccc 2 代入得 111 )3 2(4 1)3 2(4 1)3 2(4 12   kij ijijkij ijkijij     322 232 1 1 ，左偶右奇不可能成立。所以假设不成立，这样三项不存在。 23、（1）由题意知，椭圆中 4 8 2, 2 2,2 8 2, 2a a ab b    所以椭圆的标准方程为 2 2 18 4 x y  又顶点与焦点重合，所以 4222  bacm ； 所以该双曲线的标准方程为 2 2 14 4 x y  。 （2）设点 2),,( xyxP 2,2 21  x ykx yk 42 2 21   x ykk P 在双曲线上，所以 2 2 14 4 x y  422  xy 所以 121  kk （3）设直线 AB： )2(1  xky 01 k 由方程组      148 )2( 22 1 yx xky 得 0888)12( 2 1 2 1 22 1  kxkxk 设 ),(),,( 2211 yxByxA 所以 12 88, 12 8 2 1 2 1 212 1 2 1 21     k kxx k kxx 由弦长公式 12 )1(244)(1|| 2 1 2 1 21 2 21 2 1   k kxxAB 同理 12 )1(244)(1|| 2 2 2 2 21 2 21 2 2   k kxxCD 由 1 221 1,1 kkkk  代入得 2 )1(24|| 2 1 2 1   k kCD 8 23 || 1 || 1|,||||||  CDABCDABCDAB  所以存在 8 23 使得 ||||||| CDABCDAB  成立。