2010-2011东城区高三期末统测数学（文）含答案

北京东城区 2010—2011 学年度第一学期期末教学统一检测 数学（文）试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 150 分，考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在 答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题，共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 1．设全集U R ，集合 { | 1}, { | 0 5},A x x B x x     则集合 ( )UC A B （ ） A．{ | 0 1}x x  B．{ | 0 1}x x  C．{ | 0 1}x x  D．{ | 0 1}x x  2．在复平面内，复数 ( 1)i i  对应的点在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在等差数列 4 5 7 2{ } , 15, 15,na a a a a  中 若 则 的值为 （ ） A．—3 B．0 C．1 D．2 4．直线 l 过点（—4，0）且与圆 2 2( 1) ( 2) 25x y    交于 A、B 两点，如果|AB|=8，那 么直线 l 的方程为 （ ） A．5 12 20 0x y   B．5 12 20 0x y   或 4 0x   C．5 12 20 0x y   D．5 12 20 0x y   4 0x   5．已知 ,  为不重合的两个平面，直线 ,m  那么“ m  ”是“  ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若 0.3 1 1 3 2 1log 2, log 3, ( )2a b c   ，则 （ ） A． a b c  B． a c b  C．b c a  D．b a c  7．已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 2y ax 的焦点 F，且与 y 轴相交于点 A，若 OAF （O 为坐标原点）的面积为 4，则抛物线方程为 （ ） A． 2 4y x B． 2 8y x C． 2 24 4y x y x  或 D． 2 28 8y x y x  或 8．已知函数 ( )f x 的定义域为 R，若存在常数 0, , | ( ) | | |m x R f x m x  对任意 有 ，则 称 ( )f x 为 F 函数，给出下列函数：① ( ) 0f x  ；② 2( )f x x ；③ ( ) sin cosf x x x  ； ④ 2( ) 1 xf x x x    ；⑤ ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且满足对一切实数 1 2,x x 均有 1 2 1 2| ( ) ( ) | 2 | | .f x f x x x   其中是 F 函数的序号为 （ ） A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤ 第Ⅱ卷（共 10 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9．已知 为第二象限角，且 1sin ,3   那么 sin 2 = 。 10．已知向量 a，b 满足：| | 1,| | 6, ( ) 2a b a b a     ， 则 a 与 b 的夹角为 。 11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积为 。 12．如果实数 x,y 满足条件 1 0, 1 0, 1 0, x y y x y           那么 2x y 的最大值为 。 13．设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 1 2F PF 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 。 14．已知函数 2 26 5 2, ,( ) 2ln , x x e e x ef x x x x e          （其中 e 为自然对数的底数，且 2.718e  ）若 2(6 ) ( )f a f a  ，则实数 a 的取值范围是 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共 13 分） 已知函数 2( ) 2 3sin cos 2cos 1.f x x x x   （I）求 ( )6f  的值及 ( )f x 的最小正周期； （II）当 [0, ]2x  时，求 ( )f x 的最大值和最小值。 16．（本小题共 13 分） 在公差不为 0 的等差数列{ }na 中， 4 3 6 1010, , ,a a a a 且 成等比数列。 （I）求{ }na 的通项公式； （II）设 2 ( *)na nb n N  ，求数列{ }nb 的前 n 项和公式。 17．（本小题共 14 分） 如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直， ,AD CD AB//CD， AB=AD=2，CD=4，M 为 CE 的中点。 （I）求证：BM//平面 ADEF； （II）求证：平面 BDE  平面 BEC； 18．（本小题共 13 分） 已知函数 3 2( ) 2 .f x x x x   （I）求函数 ( )f x 的单调区间与极值； （II）若对于任意 2(0, ), ( )x f x ax   恒成立，求实数 a 的取值范围。 19．（本小题共 13 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的长轴为 4，且点 3(1, )2 在该椭圆上。 （I）求椭圆的方程； （II）过椭圆右焦点的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆径的圆经过原点， 求直线 l 的方程。 20．（本小题共 14 分） 已知集合 1 2{ , , , }nA a a a  中的元素都是正整数，且 1 2 na a a   ，集合 A 具有 性质 P：对任意的 ,x y A ，且 , | | .25 xyx y x y  有 （I）判断集合{1，2，3，4}是否具有性质 P； （II）求证： 1 1 1 1;25n n a a   （III）求证： 9;n 