2011东城区高三期末数学（理）试题含答案

北京东城区 2010—2011 学年度高三第一学期期末教学统一检测 数学（理）试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 150 分，考试时长 120 分钟，考生务必将答案答在 答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题，共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 1．若集合 2{ | 4}, { | 4}P x x Q x x    ，则 （ ） A．Q P  B． P Q  C． RP C Q  D． RQ C P  2．在复平面内，复数 ( 1)i i  对应的点在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知实数 ,x y 满足 1 0, 1 0, 1 0, x y y x y           那么2x-y 的最大值为 （ ） A．—3 B．—2 C．1 D．2 4．已知 ,  为不重合的两个平面，直线 ,m  那么“ m  ”是“  ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若 0.3 1 1 3 2 1log 2, log 3, ( )2a b c   ，则 （ ） A． a b c  B． a c b  C．b c a  D．b a c  6．直线 2 20 2ax by a b x y     与圆 的位置关系为 （ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 7．已知△ABD 是等边三角形，且 1 ,| | 32AB AD AC CD      ，那么四边形 ABCD 的面 积为 （ ） A． 3 2 B． 3 32 C．3 3 D． 9 32 8．已知函数 ( )f x 的定义域为 R，若存在常数 0, , | ( ) | | |m x R f x m x  对任意 有 ，则 称 ( )f x 为 F 函数 ，给出 下列函 数：① 2( )f x x ；② ( ) sin cosf x x x  ；③ 2( ) 1 xf x x x    ；④ ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，且满足对一切实数 1 2,x x 均有 1 2 1 2| ( ) ( ) | 2 | | .f x f x x x   其中是 F 函数的序号为 （ ） A．②④ B．①③ C．③④ D．①② 第Ⅱ卷（共 10 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9．已知 1sin( ) ,3      且 是第二象限角，那么sin 2 = 。 10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积为 。 11．在数列 1{ } , 2na a 中 若 ，且对任意的正整数 p， q 都有 ,p q p qa a a  则 8a 的值为 。 12．已知函数 3log , 0, ( ) 1( ) , 0,3 x x x f x x    那么不等式 ( ) 1f x  的解集为 。 13．已知双曲线 2 2 1kx y  的一条渐近线与直线 2 1 0x y   垂直，那么双曲线的离心 率为 ；渐近线方程为 。 14．已知函数 2( ) ln( 1)f x a x x   ，若在区间（0，1）内任取两个实数 p，q，且 p q ， 不等式 ( 1) ( 1) 1f p f q p q     恒成立，则实数 a 的取值范围是 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共 13 分） 函数 ( ) sin( )( 0, 0,| | )2f x A x A         的部分图象如图所示。 （I）求 ( )f x 的最小正周期及解析式； （II）设 ( ) ( ) cos2 ,g x f x x  求函数 ( ) [0, ]2g x 在区间 上的最大值和最小值。 16．（本小题共 13 分） 已知数列 2{ } , { }n n na n S n n b 的前 项和 数列 满足 * 1 2 1( ),n nb b n N    且 1 5.b  （I）求{ },{ }n na b 的通项公式； （II）设数列 2 1 1{ } , , : .log ( 1) 2n n n n n n c n T c Ta b    的前 项和为 且 证明 17．（本小题共 14 分） 如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直， ,AD CD AB//CD， AB=AD=2，CD=4，M 为 CE 的中点。 （I）求证：BM//平面 ADEF； （II）求证：平面 BDE  平面 BEC； （III）求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值。 18．（本小题共 13 分） 已知函数 ( ) ln .f x x x （I）求函数 ( )f x 在[1，3]上的最小值； （II）若存在 1[ , ]x ee  （e 为自然对数的底数，且 2.718e  ）使不等式 22 ( ) 3f x x ax    成立，求实数 a 的取值范围。 19．（本小题共 13 分） 设 A、B 分别为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右顶点，椭圆的长轴长为 4，且 点 3(1, )2 在该椭圆上。 （I）求椭圆的方程； （II）设 P 为直线 x=4 上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 AP 与椭圆相交于异于 A 的点 M，证明： MBP 为锐角三角形。 20．（本小题共 14 分） 已知集合 1 2{ , , , }nA a a a  中的元素都是正整数，且 1 2 na a a   ，对任意的 ,x y A ，且 , | | .25 xyx y x y  有 （I）求证： 1 1 1 1;25n n a a   （II）求证： 9;n  （III）对于 n=9，试给出一个满足条件的集合 A。