北师大高三理科数学试卷及答案

2011 届高三年级数学试题（理） 宝鸡铁一中 郑革功 考试时间 120分钟 满分150分 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．已知集合 {2,3}A  ,则集合 A 的子集个数是 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知数列{ }na 满足 12 0n na a   ( )n N  ，则数列{ }na 一定是 （ ） A．公差为 1 2 的等差数列 B．公差为 2 的等差数列 C．公比为 1 2 的等比数列 D．公比为 2 的等比数列 3．函数 1sin( ),( 0)2 6y x     的最小正周期是 4 ，则  （ ） A． 1 4 B． 1 2 C．1 D．2 4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰 直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体 的体积为 （ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 4 3 D． 2 5．已知函数 ( )y f x 在定义域[ 4,6] 内可导，其导函数 '( )y f x 的图象如右图，则函数 ( )y f x 的单调递增区间为 （ ） A． 4 11[ 4, ],[1, ]3 3   B． 7[ 3,0],[ ,5]3  C． 4 11[ ,1],[ ,6]3 3  D． 7[ 4, 3],[0, ],[5,6]3   6．为了解一片经济树林的生长情况，随机测量了其中100株 树[来源:学|科|网] 木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出样本的频 率分布直方图如图所示．那么在这100株树木中，底部周 长小于110cm的株数n 是 （ ） A．30 B．60 C．70 D．80 7．如图，平面内有三个向量 , , ,OA OB OC    其中OA  与OB  的 夹角为60°, OA  与OC  、OB  与OC  的夹角都为30°, 且∣OA  ∣=∣OB  ∣=1, ∣OC  ∣= 2 3 ,若OC  =  OA  +  OB  , 则   的值为 （ ） A．4 B．3 3 C． 2 3 D．2 8．奇函数 ( )f x 在 (0, ) 上是减函数，且 ( 1) 0f   ，则不等式 ( ) 0f x x  的解集为（ ） A． ( , 1) (1, )   B． ( , 1) (0,1)   C． ( 1,0) (1, )  D． ( 1,0) (0,1)  9．已知函数 2( ) 5 4f x x x   ，则不等式组 ( ) ( ) 0 1 4 f x f y x      表示的平面区域为（ ） 10 ． 若 函 数 ( )f x 满 足 ：“ 对 于 区 间 （ 1,2 ） 上 的 任 意 实 数 1 2 1 2, ( )x x x x ， 2 1 2 1| ( ) ( ) | | |f x f x x x   恒成立”，则称 ( )f x 为完美函数．在下列四个函数中，完美函 数是 （ ） A． 1( )f x x  B． ( ) | |f x x C． ( ) 2xf x  D． 2( )f x x 二、填空题（每小题5分，共30分） 9．已知向量 (3 ,2), (1,2 ),a x b x    且 a b  ，则 _______x  10．已知函数 ( ) ( 0)xf x a b a   的图象经过点 (2,3) 和原 点，则 ( 2) ____f   ． 11．若执行如右图所示的程序框图，则输出的 S = ． 12．在 ABC 中，已知 4, 3, 37AB BC AC   ,则 ABC 的最大角 的大小为 ． 13．在区间[0,10]上随机取两个实数 x ， y ，则事件“ 2 2x y  ”的概率为_____ 14 ． 若 直 线 : 1 0 l ax by   始 终 平 分 圆 M ： 2 2 4 2 1 0x y x y     的 周 长 ， 则    2 22 2a b   的最小值为_________. 三、解答题 15．（本题满分12分）已知 ( ) cos( ) sin3f x x k x   ，且 3( )6 2f   ． （1）求实数 k 的值； （2）求函数 ( )f x 的最大值和最小值． 16．（本题满分12分）某项竞赛分别为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要 回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过 初赛、复赛、决赛的概率分别是 4 1,2 1,4 3 ，且各阶段通过与否相互独立. （1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率； （2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ，求 的分布列、数学期望和方差. 17．（本小题满分12分） 如图，在正方体 1111 DCBAABCD  中， NM , 分别为棱 BCAB, 的中点. （1）试判截面 11 AMNC 的形状，并说明理由； （2）证明：平面 1MNB 平面 11BBDD ． 18．（本小题满分14分）等差数列{ }na 中， 1 3a  ，前 n 项和为 nS ，等比数列{ }nb 各项均 为正数， 1 1b  ，且 2 2 12b S  ，{ }nb 的公比 2 2 Sq b  （1）求 na 与 nb ； （2）求数列 1{ } nS 的前 n 项和 19．（本小题满分14分）已知函数 2( ) lnf x a x bx  图象上一点 (2, (2))P f 处的切线方程 为 22ln23  xy ． （1）求 ba, 的值； （2）若方程 ( ) 0f x m  在 1[ , ]ee 内有两个不等实根，求 m 的取值范围（其中 e 为自然对 数的底数）； 20．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 (1, 3), (5,1)M N ，若动点C 满足 .NC tNM  且点C 的轨迹与抛物线 2 4y x 交于 ,A B 两点. （1）求证：OA OB  ； （2）在 x 轴上是否存在一点 ( ,0)( 0)P m m  ，使得过点 P 的直线l 交抛物线 2 4y x 于 ,D E 两点，并以线段 DE 为直径的圆都过原点。若存在，请求出 m 的值及圆心 M 的轨迹方程；若不存在，请说明理由 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C B B C A D 二、填空题 9. 1 10. 3 4  11． 420 12．120 13． 7 14. 5 三、解答题 15．解：（1）由已知 3( ) cos sin6 2 6 2f k     ，得 3k   --------4 分 （2） ( ) cos( ) 3sin3f x x    x --------5 分 cos cos sin sin 3sin3 3x x x    -------6 分 1 3cos sin 3sin2 2x x x   --------7 分 1 3cos sin2 2x x  sin( )6x   --------9 分 当 2 ,6 2x k k Z     ,即 2 ,3x k k Z   时 --------11 分 函数 ( )f x 的最大值为 1. --------12 分 16．解：（1）记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过 决赛”为事件C，则 .4 1)(,2 1)(,4 3)(  CPBPAP 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率 8 3)2 11(4 3)()()(  BPAPBApp ． -------6分 （2） 可能取值为1，2，3． -------7分 3 1( 1) ( ) 1 ,4 4 3 1 3( 2) ( ) ( ) ( ) (1 ) ,4 2 8 3 1 3( 3) ( ) ( ) ( ) .4 2 8 P P A P P AB P A P B P P AB P A P B                       的分布列为：  1 2 3 P 4 1 8 3 8 3 -------10分  的数学期望 .8 17 8 338 324 11 E -------11分  的方差 64 39 8 3)8 173(8 3)8 172(4 1)8 171( 222 D ．-------12分 17．解：（1）截面MNC1A1是等腰梯形， --------2分 连接AC，因为M、N分别为棱AB、BC的中点， 所以MN//AC，MN≠AC 又 1 1 1 1 1 1/ / , / / , ,AC AC MN AC MN AC 且 11 AMNC 是梯形，--------4分 易证 NCMACNCRtAMARt 1111 ,  --------6分 11 AMNC 是等腰梯形 --------7分 （2）正方体ABCD—A1B1C1D1中 ,,, 1 ABCDMNABCDBBBDAC 平面平面  ,1 MNBB  --------9分 ACMN //又 ， BBBBDBDMN  1,  ， ,11BBDDMN 平面 --------12分 MNBMN 1平面 平面MNB 1 ⊥平面BDD 1 B1 --------14分 （注：对建立空间坐标系完成的，请酌情评分） 18．解：（1）由已知可得 2 2 3 12 3 q a aq q      ， --------3分 解方程组得， 3q  或 4q   （舍去）， 2 6a  --------5分 3 ( 1)3 3na n n     13n nb  --------7分 （2） (3 3 ) 1 2 2 1 1( )2 (3 3 ) 3 1n n n nS S n n n n       --------10分 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1(1 ) (1 )3 2 2 3 3 4 1 3 1nS S S n n n                 … … -14分 19．解：（1）   2af x bxx    ， --------2分  2 42 af b   ，  2 ln2 4f a b  ． --------4分 ∴ 4 32 a b   ，且 ln 2 4 6 2ln 2 2a b     ． --------6分 解得 2, 1a b  ． --------7分 （2）   22lnf x x x  ， --------8分 令   2( ) 2lnh x f x m x x m     ， 则   2 / 2 2(1 )2 xh x xx x    ，令  / 0h x  ， 得 1x  （ 1x   舍去）． --------9分 当 [1, ]x e 时， / ( ) 0h x  ， ∴ ( )h x 是减函数 --------11分 则方程 ( ) 0h x  在 1[ , ]ee 内有两个不等实根的充要条件是 1( ) 0 , (1) 0 , ( ) 0 . h e h h e        --------13分 解不等式组得 m 取值范围是 2 11 2m e    ． --------14分 20．解：（1）由 .NC tNM  知点C 的轨迹是过 ,M N 两点的直线， --------1分 故点C 的轨迹方程是： 1 ( 3)3 ( 1)4y x    ， 即 4y x  --------3分 2 2 2 4 ( 4) 4 12 16 0 4 y x x x x x y x           16, 12 ( 4)( 4) 4( ) 16 16. A B A B A B A B A B A B x x x x y y x x x x x x              --------5分 0A B A BOA OB x x y y     ，故 OA OB  --------7分 （2）假设存在 ( ,0)( 0)P m m  ，使得过点 P 的直线 l 交抛物线 2 4y x 于 ,D E 两点， 并 以 线 段 DE 为 直 径 的 圆 都 过 原 点 。 --------8分 1 1 2 2( , ), ( , )D x y E x y ，由题意，直线 l 的斜率不为零， 所以，可设直线 l 的方程为 x ky m  ，代入 2 4 ,y x 得 2 4 4 0,y ky m   --------10分 216( ) 0,k m    即 2 0,( )k m   同时， 1 2 1 24 , 4y y k y y m    2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( ) .x x ky m ky m k y y km y y m m         --------12分 则 2 1 2 1 2 4 0OD OE x x y y m m       又 0m  ，解得 4m  ，满足 ( ) 式 此时，以 DE 为直径的圆都过原点， 设弦 DE 的中点为 ( , )M x y 1 2 1 2 1 1( ), ( )2 2x x x y y y   