2010高三数学理期中考试试卷及答案

2010—2011 学年度高三上学期期中考试 数学（理）试题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分共 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码（31103XXXX，XXXX 为班级+座号）、 考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。 3．考试结束，监考人将答题卡收回。 第 I 卷（选择题共 50 分） 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．设集合 A= 1 22x x       ,B= 2 1x x  ，则 A∪B= （ ） A． 1 2x x  B． 1 12x x       C． 2x x  D． 1 2x x   2．已知 4sin 2 5   ，则 cos 的值为 （ ） A． 25 7 B． 7 25  C． 5 4 D． 4 5  3．等比数列 na 中， 4 4a  ，则 2 6a a 等于 （ ） A． 4 B．8 C．16 D．32 4．下列命题中的假命题．．．是 （ ） A． ,lg 0x R x   B． ,tan 1x R x   C． 3, 0x R x   D． ,2 0xx R   5．已知 ∈（ 2  , ），sin = 3 5 ，则 tan（ 4   ）等于 （ ） A． 1 7 B．7 C．－ 1 7 D．－7 6．m、n 表示直线，  ,, 表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （ ） （1）   则,,, mnnm （2） mnnm  则,,,   （3）   mm 则,,,  （4）   则,,, nmnm A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4） 7．将函数 3sin( )y x   的图象 F 按向量 ( ,3)3  平移得到图象 F′,若 F′的一条对称轴是直线 4x  ，则θ的一个可能取值是 （ ） A． 5 12  B． 5 12  C． 11 12  D． 11 12  8．某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈 )(xf BxA  )sin(  0, 0,| | 2A        的模型波动（ x 为月份），已知 3 月份达到最高价 9 千元，7 月 份价格最低为 5 千元，根据以上条件可确定 ( )f x 的解析式为 （ ） A． ( ) 2sin( ) 74 4f x x    (1 12, )x x N    B． ( ) 9sin( )4 4f x x   (1 12, )x x N    C． ( ) 2 2 sin 74f x x  (1 12, )x x N    D． ( ) 2sin( ) 74 4f x x    (1 12, )x x N    9．如图，圆 O 的内接“五角星”与圆 O 交与 ),5,4,3,2,1( iAi 点，记弧 1i iA A  在圆 O 中所对 的 圆 心 角 为 ),4,3,2,1( iai ， 弧 5 1A A 所 对 的 圆 心 角 为 5a ， 则 42531 2sin3sin)cos(3cos aaaaa  = （ ） A． 2 3 B． 2 1 C．0 D．1 10．已知函数 ( )y f x 和 ( )y g x 在[ 2,2] 的图象如下所示 ( )y f x ( )y g x 给出下列 四 个 命 题 ：（ 1 ） 方 程 [ ( )] 0 6f g x  有且仅有 个根 ； （ 2 ） 方 程 [ ( )] 0 3g f x  有且仅有 个根 ；（3）方程 [ ( )] 0 5f f x  有且仅有 个根 ； （4）方程 [ ( )] 0 4g g x  有且仅有 个根 ．其中正确的命题个数 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第 II 卷（非选择题共 100 分） 填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置． 11． 22 1ee dxx = ． 12．已知向量 (3,1), (1,3), ( ,2)a b c k     ，若 ( )a c b    ，则实数 k  ____________． 13．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与 x 轴的正半轴重合．直线l 的极 坐 标 方 程 为 2 2)4sin(   ， 圆 C 的 参 数 方 程 为 2cos 2sin 2 x y       （ 参 数  0 2  ， ），则圆心C 到直线l 的距离等于 ． 14．过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的左焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 ,M N 两点，且 双曲线的右顶点 A 满足 MA NA ，则双曲线的离心率等于 ． 15．符号 x 表示不超过 x 的最大整数，如    208.1,3  ，定义函数   xxx  ．那 么下列命题中正确的序号是___________．①函数 x 的定义域为 R，值域为 1,0 ． ② 方程  2 1x 有无数多个解．③函数 x 是周期函数． ④函数 x 是增 函数． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．本题（1）、（2）两个必答题，每小题 7 分，满分 14 分．（1）（本小题满分 7 分） 已知 , ,x y z 为正实数，且 1 1 1 1x y z    ，求 4 9x y z  的最小值及取得最小值时 , ,x y z 的 值．（2）（本小题满分 7 分）已知矩阵 33 3A c dd      ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征 向量为 1 1 1a       ，属于特征值 1 的一个特征向量为 2 3 2a       ，求矩阵 A ． 17．（本小题满分 13 分）已知 )(xf xx 2cos222sin3  ．（1）求 )(xf 的最小正周 期与单调递减区间；（2）在 ABC 中， a 、 b 、 c 分别是角 A B C、 、 的对边，若 ABCbAf  ,1,4)( 的面积为 2 3 ，求 a 的值． 18．（本小题满分 13 分）迎世博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中 右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为 260000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏 之间的中缝空白的宽度为 5cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位： cm ）， 能使整个矩形广告面积最小． （单位： cm ） 19．（本小题满分 13 分）盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑 色球．规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1 个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得 1 分．现 从盒内一次性取 3 个球．（1）求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；（2）设 为取 出的 3 个球中白色球的个数，求 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分 13 分）设椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   ( , 0)a b  的左、右焦点分别为 1 2,F F ，若 P 是椭圆上的一点， 1 2 4PF PF   ，离心率 1 2e  ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若 P 是第 一象限内该椭圆上的一点， 1 2 5 4PF PF    ，求点 P 的坐标；（3）设过定点 (0,2)P 的直线 与椭圆交于不同的两点 ,A B ，且∠AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线l 的斜率 k 的 取值范围． 21．（本小题满分 14 分）已知函数 21( ) ln , ( ) .2f x x g x ax bx   （1）当 1 2a b  时，求 函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x  的单调区间；（2）若 2 ( ) ( ) ( )b h x f x g x  且 存在单调递减 区间，求 a 的取值范围；（3）当 0a  时，设函数 ( )f x 的图象 1C 与函数  g x 的图象 2C 交于点 P、Q，过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N，则是否存在 点 R，使 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行？如果存在，请求出 R 的横坐标， 如果不存在，请说明理由．