高三数学期终考试题及答案

建湖县第二中学 2009－2010 秋学期高三期终考试 数学试卷答案 （命题：郑介宏、审核：单正林） 一、填空题(本题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分，)〖批阅：郑介宏，孙玉勇，姜勤〗 1．  2xyyP  ，  222  yxxQ ，则 QP  ]2,0[ 2．下列命题正确的是 。①③④ ①．命题“若 0232  xx ，则 1x ”的逆否命题为“若 1x ，则 0232  xx ” ②．若 qp  为假命题，则 p 、 q 均为假命题 ③．命题 p ：存在 Rx 0 ,使得 010 2 0 xx ，则 p ：任意 Rx  ,都有 012  xx ④．“ 2x ”是“ 0232  xx ”的充分不必要条件 3． )1ln( 652   x xxy 的定义域为 ),3[)2,1(  4． 若将复数 i i   1 1 表示为 ,( , )a bi a b R  （i 是虚数单位）的形式，则 a b  1 5． 等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 3S = 6 ， 1a = 4 ，则公差 d 等于 2 6． 若 3cos(6 ) 2cos( ) 5,2a a      则 atan 2 。 7．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 充分不 必要条件 条件。 8． 为了得到函数 22cos 18y x       的图象，可以将函数 sin 2y x 的图象向右至少平移 5 8  个 单位长度。 9． 下列函数中既是奇函数又在区间 ]1,1[ 上单调递减的有 。③ ①． xy sin ②． 1 xy ③． x xy   2 2ln ④． )22(2 1 xxy  10．设等比数列{ }na 的公比 2q ，前 n 项和为 nS ，则 4 4 S a  __________． 8 15 11．等边三角形 ABC 中， P 在线段 AB 上，且 AP AB  ，若 CP AB PA PB      ，则实数  的值是 2 2 2  ． 12．函数 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且 )2 1()2 1( xfxf  ，则  )2()1( ff  )2009(f 0 。 13．已知不等式 2 2 1 1 16sin cos m     对任意 R  且  , ,2k k k Z       恒成立，则正实数 m 的 最小值为： 8 。 14．下列说法中： ① 函数 1 1)(   x xxf 与 xxg )( 的图象没有公共点； ② 若定义在 R 上的函数 )(xf 满足 )1()2(  xfxf ，则 6 为函数 )(xf 的周期； ③ 若对于任意 )3,1(x ，不等式 022  axx 恒成立，则 3 11a ； ④ 定义：“若函数 )(xf 对于任意 x R，都存在正常数 M ，使 xMxf )( 恒成立，则称函数 )(xf 为有界泛函．”由该定义可知，函数 1)( 2  xxf 为有界泛函．则其中正确的个数为 。2 二、解答题(本题共 6 小题，总分 90 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．〖批阅：孔德林〗（本小题满分 14 分） 已知  0822  xxxA ,  9 3 2 19B x x x    ,  0222  axxxC ． （1）若不等式 0102  cxbx 的解集为 BA ，求b 、 c 的值； （2）设全集 U R，若 BC   ACU ，求实数 a 的取值范围． 【解】： （1） A  ]3,2[B , 12,2  cb ； ……………………………………………6 分 （2） B  ACU ]3,4( , ………………………………………8 分 ① C 时， )2,2(a ； ………………………………………………………10 分 ② C 时， a ]2,6 11[   )4 9,2[ ………………………………………………………12 分 综上， )4 9,6 11[a ． ………………………………………………………14 分 试 场 号 座 位 号 班 号 班 级 姓 名 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 密 封 装 订 线 16．〖批阅：肖龙昶〗（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 tan 21 tan A c B b   ． （1）求角 A； （2）若 m (0, 1)  ，n  2cos , 2cos 2 CB ，试求|m  n|的最小值． 【解】：（1） tan 2 sin cos 2sin1 1tan sin cos sin A c A B C B b B A B      ， ………………………3 分 即 sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B   ， ∴ sin( ) 2sin sin cos sin A B C B A B   ，∴ 1cos 2A  ． ……………………………5 分 ∵ 0 πA  ，∴ π 3A  ． ……………………………………7 分 （2）m  n 2(cos ,2cos 1) (cos ,cos )2 CB B C   ， |m  n| 2 2 2 2 2 2π 1 πcos cos cos cos ( ) 1 sin(2 )3 2 6B C B B B        ．………10 分 ∵ π 3A  ，∴ 2π 3B C  ，∴ 2π(0, )3B ． 从而 π π 7π26 6 6B    ． ……………………………………………12 分 ∴当 πsin(2 )6B  ＝1，即 π 3B  时，|m  n| 2 取得最小值 1 2 ． ………13 分 所以，|m  n| min 2 2  ． …………………………………………………14 分 17．〖批阅：颜士荣〗（本小题满分 15 分） 在直角坐标系 xoy 中，若角 的始边为 x 轴的非负半轴，终边为射线 : 2 2l y x ( 0)x  . （1）求sin( )6   的值； （2）若点 ,P Q 分别是角 始边、终边上的动点，且 4PQ  ，求 POQ 面积最大时，点 ,P Q 的坐标。 【解】(1)由射线l 的方程为 2 2y x ，可得 3 1cos,3 22sin   ，…………………… 2 分 故sin( )6   ＝ 2 2 3 1 1 1 2 6 3 2 3 2 6     . …………………………………………4 分 (2)设     0,022,,0,  babbQaP . 在 POQ 中因为   168 222  bbaPQ ， …………………………………………6 分 即 ababababba 4262916 22  ，所以 ab ≤4 ………………………8 分 2 4 2  POQS ab ．当且仅当 ba 3 ，即 3 32,32  ba 取得等号. ……11 分 所以 POQ 面积最大时，点 ,P Q 的坐标分别为         3 64,3 32,0,32 QP ．……15 分 18．（本小题满分 15 分）〖批阅：崔辉〗 如图,某小区准备在一直角围墙 ABC 内的空地上植造一块“绿地 ABD ”,其中 AB 长为定值 a , BD 长可 根据需要进行调节( BC 足够长).现规划在 ABD 的内接正方形 BEFG 内种花,其余地方种草,且把种 草的面积 1S 与种花的面积 2S 的比值 1 2 S S 称为“草花比 y ”. （1）设 DAB   ,将 y 表示成 的函数关系式； （2）当 BE 为多长时, y 有最小值?最小值是多少? 【解】解:(Ⅰ)因为 tanBD a  ,所以 ABD 的面积为 21 tan2 a  ( (0, )2   )…………(2 分) 设正方形 BEFG 的边长为t ,则由 FG DG AB DB  ,得 tan tan t a t a a    , 解得 tan 1 tan at    ,则 2 2 2 2 tan (1 tan ) aS    ………………………………(6 分) 所以 2 2 2 2 1 2 2 1 1 tantan tan2 2 (1 tan ) aS a S a        ,则 2 1 2 (1 tan ) 12tan Sy S      …(9 分) (Ⅱ)因为 tan (0, )   ,所以 1 1 1 1(tan 2) 1 (tan )2 tan 2 tany         1 …(13 分) 当且仅当 tan 1  时取等号,此时 2 aBE  .所以当 BE 长为 2 a 时, y 有最小值 1…(15 分) 19．〖批阅：祁建国〗（本小题满分 16 分）, 已知函数   3f x x ax  与   2g x bx c  的图象相交于一点  ,0P t ，且 0t 两函数的图象在点 P 处有 相同的切线． 第 18 题 G F E D C B A （1）当 1t 时，求 cba ，， ． （2）若函数    y g x f x  在 1,3 上单调递增，求t 的取值范围。 【解】：（1）由已知 )1()1( ／／ gf  ，且 0)1()1(  gf ∴3+a=2b，且 1+a=0，b+c=0 ………………………………………………………3 分 得：a ＝―1，b＝1，c＝―1。 ……………………………………………………7 分 （2） 3223)()( ttxxtxxgxfy  ））（（ txtxttxxy／  323 22 ………………………………………………………12 分 由于函数 )()( xgxfy  在（－1，3）上单调递减，且 22 23 ttxxy／  开口向下， ∴ 0| 1 x ／y ， 0| 3 x ／y ；即 0627023 22  tttt ， ……………………………………14 分 所以： 3t  或 9t   ………………………………………………………16 分 20．〖批阅+协助：商云宏、孙西勇〗（（本小题满分 16 分） 设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，数列{ }nb 满足: n nb na ,且数列{ }nb 的前 n 项和为 *( 1) 2 ( )nn S n n N   . (1)求 1 2,a a 的值； (2)求证：数列{ 2}nS  是等比数列； (3)抽去数列{ }na 中的第 1 项，第 4 项，第 7 项，……，第 3n-2 项，……余下的项顺序不变，组成一个新 数列{ }nc ，若{ }nc 的前 n 项和为 nT ，求证： 112 11 5 3 n n T T   . 【解】：(1)由题意得: 1 2 32 3 ( 1) 2n na a a na n S n       ;………………1 分 当 n=1 时,则有: 1 1(1 1) 2,a S   解得: 1 2a  ; 当 n=2 时,则有: 1 2 22 (2 1) 4a a S    ,即 2 22 2 (2 ) 4a a    ,解得: 2 4a  ;  1 22, 4a a  ………………3 分 (2) 由 1 2 32 3 ( 1) 2n na a a na n S n       ① 得: 1 2 3 1 12 3 ( 1) 2( 1)n n na a a na n a nS n          ② ………………4 分 ② - ①得: 1 1( 1) ( 1) 2n n nn a nS n S      , 即: 1 1( 1)( ) ( 1) 2n n n nn S S nS n S       即: 1 2 2n nS S   ; ……………5 分  1 2 2( 2)n nS S    ,由 1 12 2 4 0S a     知: 数列{ 2}nS  是以 4 为首项,2 为公比的等比数列.…………………………………7 分 (3)由(2)知: 12 4 2n nS    ,即 1 14 2 2 2 2n n nS      ……………………8 分 当 n≥2 时, 1 1 (2 2) (2 2) 2n n n n n na S S         对 n=1 也成立, 即 2n na  (n * )N ………………………………………………………….…10 分  数列{ }nc 为 2 3 5 6 8 92 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,,它的奇数项组成以 4 为首项、公比为 8 的等比数列；偶数项组成以 8 为首项、公比为 8 的等比数列；…………………11 分  当 n=2k-1 *( )k N 时, 2 5 3 1 3 6 3 3 1 3 2 1 2 4 2 2( ) ( ) (2 2 2 ) (2 2 2 ) 4(1 8 ) 8(1 8 ) 5 128 ,1 8 1 8 7 7 k k n k k k k k T c c c c c c                               3 1 1 5 12 12 128 2 8 ,7 7 7 7 k k k n n nT T c         1 112 8 12 12 84 12, 5 8 12 28 35 8 12 5 5(5 8 12) 5 k kn n k k n n T T T T                …………………14 分  当 n=2k *( )k N 时, 2 5 3 1 3 6 3 1 3 2 1 2 4 2 3 2 1 1 1 1 ( ) ( ) (2 2 2 ) (2 2 2 ) 4(1 8 ) 8(1 8 ) 12 128 ,1 8 1 8 7 7 12 12 40 128 2 8 ,7 7 7 7 40 8 12 10 7 10 11, 8 1 712 8 12 3 3(8 1) 3 3 k k n k k k k k k k k n n n k kn n k k n n T c c c c c c T T c T T T T                                                         112 11 5 3 n n T T   .……………………………………………………………16 分