期中检测题
(本检测题满分：120 分，时间：120 分钟)
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.二次函数 的最小值是（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
2.已知二次函数 无论 k 取何值，其图象的
顶点都在( )
A.直线上 B.直线上
C.x 轴上 D.y 轴上
3.（河南中考）在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2 4 先向右平移 2 个单位长度，再向上
平移 2 个单位长度，得到的抛物线的表达式是（ ）
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x 2)2 2
C.y=(x 2)2+2 D.y=(x+2)2 2
4.（2015·上海中考）如果一个正多边形的中心角为 72°，那么这个正多边形的边数
是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5.（2015·河北中考）如图，AC，BE 是⊙O 的直径，弦 AD 与 BE 交于点 F，下列三角形中，
外心不是．．点 O 的是（ ）
A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE
第 5 题图
6.（2015·上海中考）如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB，垂足为点 D. 要使四
边形 OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A. AD=BD B. OD=CD C. ∠CAD=∠CBD D. ∠OCA=∠OCB
7.已知二次函数，当取 （ ≠ ）时，函数值相等，则当取 时，函数值
为（ ）
A. B. C. D.c
8.已知二次函数，当取任意实数时，都有 ，则的取值范围是（ ）
A. B. C.
D.
9.已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示，给出以下结论：
① ；②；③ ；④；⑤.
其中正确的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D. 5
10.已知反比例函数 ky x= 的图象如图所示，则二次函数 2 22 4y kx x k 的图象大致为
（ ）
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
11. 已 知 抛 物 线 的 顶 点 为 则 ，
.
12.如果函数是二次函数，那么 k 的值一定是 .
13.将二次函数化为 的形式，结果为 ．
14. （2015·湖南益阳中考）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，⊙O 的
半径为 1，则 的长为 ．
15.把抛物线 的图象先向右平移 3 个单
位 ， 再 向 下 平 移 2 个 单 位 ， 所 得 图 象 的 表 达 式 是
则 .
16.如图所示，已知二次函数 的图象经过（-1,0）和（0,-1）
两点，化简代数式= .
.
17. (2015·江苏南通中考)如图，在⊙O 中，半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C，OD＝13 cm，
AB＝24 cm，则 CD＝ cm.
18.已知二次函数，下列说法中错误．．的是________.（把所有你认为错误的序号都写上）
①当 1x 时， y 随 x 的增大而减小；
②若图象与 x 轴有交点，则 4a≤ ；
③当 3a 时，不等式 2 4 0x x a 的解集是1 3x ；
④若将图象向上平移 1 个单位，再向左平移 3 个单位后过点 (1 2)， ，则 3a .
三、解答题（共 66 分）
19.（8 分）已知二次函数 32 22 mmxxy （m 是常数）.
(1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点.
(2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公
共点？
20.（8 分）已知抛物线 与 轴有两个不同的交点．
(1)求 的取值范围；
(2)抛物线 与 轴的两交点间的距离为 2，求 的值.
21.（8 分）心理学家发现，在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力 与提出概念所用
的时间 (单位：分钟)之间满足函数关系式 的值越大,
表示接受能力越强.
(1)若用 10 分钟提出概念,学生的接受能力 的值是多少?
(2)如果改用 8 分钟或 15 分钟来提出这一概念,那么与用 10 分钟相比，学生的接受能力是
增强了还是减弱了?通过计算来回答.
22.（8 分）（2015·广东珠海中考）已知抛物线 y=a bx+3 的对称轴是直线 x=1.
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于 x 的方程 a +bx-8＝0 的一个根为 4，求方程的另一个根.
23.（8 分）如图所示，抛物线 经过点 A（1，0），与 y 轴交于点 B.
（1）求 n 的值;
（2）设抛物线的顶点为 D，与 x 轴的另一个交点为 C，求四边形 ABCD 的面积.
24.（8 分）（2015·黑龙江绥化中考）如图，以线段 AB 为直径作⊙O，CD 与⊙O 相切于点
E，交 AB 的延长线于点 D，连接 BE.过点 O 作 OC∥BE 交切线 DE 于点 C，连接 AC.
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）若 BD＝OB＝4，求弦 AE 的长.
第
第 24 题图 第 25 题图
25.（8 分）（2015·贵州铜仁中考）如图，已知三角形 ABC 的边 AB 是⊙O 的切线，切点为
B，AC 经过圆心 O 并与圆相交于点 D，C，过点 C 作直线 CE⊥AB，交 AB 的延长线于
点 E.
（1）求证：CB 平分∠ACE;
（2）若 BE=3,CE=4,求⊙O 的半径.
26.（10 分）某饮料经营部每天的固定成本为 50 元，其销售的每瓶饮料进价为 5 元.设销售
单价为 元时，日均销售量为 瓶， 与 的关系如下：
销售单价（元） 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量（瓶） 270 240 210 180 150 120 90
（1）求 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围.
（2）每瓶饮料的单价定为多少时，日均毛利润最大？最大利润是多少？
（毛利润 售价 进价 固定成本）
（3）每瓶饮料的单价定为多少元时，日均毛利润为 430 元？根据此结论请你直接写出销
售单价在什么范围内时，日均毛利润不低于 430 元.
期中检测题参考答案
1.A 解析：依据 ，当
因为所以二次函数有最小值.当时，
2.B 解析：顶点为 当时，故图象的顶点在直线 上.
3. B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线 y=x2-4 先向右平移 2 个单位
长度得 y=(x-2)2-4，再向上平移 2 个单位长度得 y=(x-2)2-4+2=(x-2)2-2.
4.B 解析：设这个正多边形为正 n 边形，由题意可知 360 72n
，解得 5n .
5.B 解析：由图可知⊙O 是 , , ,ABE ADE ABD BDE△ △ △ △ 的外接圆，所以点 O 是 , ,ABE ADE△ △
,ABD BDE△ △ 的外心.因为⊙O 不是 ACF△ 的外接圆，所以点 O 不是 ACF△ 的外心.
6.B 解析：半径 OC⊥AB，由垂径定理可知 AD=BD，即四边形 OACB 中两条对角线互相垂
直，且一条对角线被另一条平分. 根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可知若添
加条件 OD=CD，即可说明四边形 OACB 为菱形.
7.D 解 析 ： 由 题 意 可 知 所 以
所以当
8.B 解析：因为当 x 取任意实数时，都有 ，又二次函数的图象开口向上，所以图象
与轴没有交点，所以
9.B 解析:对于二次函数 ，由图象知：当 时， ，
所以①正确；由图象可以看出抛物线与 轴有两个交点，所以，所以②正确；
因为图象开口向下，对称轴是直线 ，所以，所以 ，所以③错误；当 时，
，所以④错误；由图象知 ，所以，所以⑤正确.故正确结
论的个数为 3.
10.D 解析：由反比例函数的图象可知，当 1x 时， 1y ，所以 1k ，所以在二次函
数 2 22 4y kx x k 中， 2 0k ，则抛物线开口向下，对称轴为直线 4 1
4x k k
，
而 11 0k
，故选 D.
11. -1 解析：
故
12.0 解析：根据二次函数的定义，得，解得 .
又∵ ，∴ ．∴ 当 时，这个函数是二次函数．
13. 解析：
14. 3
解析：∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，∴ ∠AOB=360°× 60°， 的长为
．
15.11 解 析 ：
把它向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位得
即 ∴
∴ ∴
16. 解析：把（-1，0）和（0，-1）两点坐标代入中，得
， ，∴ .
由图象可知，抛物线的对称轴 ，且 ，
∴ ，∴ .
∴
= .
17.8 解析：由垂径定理，得 AC＝AB＝12 cm.
由半径相等，得 OA＝OD＝13 cm.
如图，连接 OA,在 Rt△OAC 中，由勾股定理，
得 OC ＝
＝5.
所以 CD＝OD－OC＝13－5＝8(cm).
18. ③ 解析：①因为函数图象的对称轴为直线 ，又图象开口向上，所以当 1x 时，
y 随 x 的增大而减小，故正确；
②若图象与 轴有交点，则 ，解得，故正确；
③当 3a 时，不等式 2 4 0x x a 的解集是 ，故不正确；
④因为， 将图象向上平移 1 个单位，再向左平移 3 个单位后所得图象的表达式为，若
过点 (1 2)， ，则，解得 ，故正确.
19.（1）证法 1：因为（–2m）2– 4（m2+3）= –12＜0，
所以方程 x2–2mx+m2+3=0 没有实数根，
所以不论 m 为何值，函数 2 22 3y x mx m 的图象与 x 轴没有公共点.
证法 2：因为 1 0a ，所以该函数的图象开口向上.
又因为 2 2 22 3 ( ) 3 3y x mx m x m ，
所以该函数的图象在 x 轴的上方.
所以不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点.
（2）解: 2 2 22 3 ( ) 3y x mx m x m ，
把函数 2( ) 3y x m 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位后，得到函数 2( )y x m 的图
象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与 x 轴只有一个公共点.
所以把函数 2 22 3y x mx m 的图象沿 y 轴向下平移 3 个单位后，得到的函数的
图象与 x 轴只有一个公共点．
20.解：（1）∵ 抛物线与 轴有两个不同的交点，∴ ＞0，即解得 c＜.
(2)设抛物线 与 轴的两交点的横坐标分别为，
∵ 两交点间的距离为 2，∴ .
由题意，得 ，解得 ，
∴ ，．
21.解：(1)当 时， .
(2)当 时， ，
∴ 用 8 分钟与用 10 分钟相比,学生的接受能力减弱了；
当时， ，
∴ 用 15 分钟与用 10 分钟相比,学生的接受能力增强了.
22.（1）证明：由抛物线 y=a +bx+3 的对称轴为 x=1，得 ＝1.
∴ 2a+b=0.
（2）解：∵ 抛物线 y=a +bx-8 与 y=a +bx+3 有相同对称轴 x=1，
且方程 a +bx-8=0 的一个根为 4，
∴ 设 a +bx-8=0 的另一个根 ，则满足：4+ = .
∵ 2a+b=0,即 b=-2a, ∴ 4+ =2，∴ =-2.
23.分析：（1）先把点 A（1，0）的坐标代入函数表达式，可得关于 n 的一元一次方程，即
可求 n；
（2）先过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，利用顶点坐标的计算公式易求顶点 D 的坐标，通过
观察可知 ，进而可求四边形 ABCD 的面
积．
解：（1）∵ 抛物线 经过点 A（1，0），
∴ ，∴
（2）如图所示，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，
∵ 此 函 数 图 象 的 对 称 轴 是 直 线
，
顶 点 的 纵 坐 标
，∴ D 点的坐标是（
2
5 ，
4
9 ）.
又知 C 点坐标是（4，0），B 点坐标是（），
∴
.
24.（1）证明：连接 OE，
∵ CD 与⊙O 相切于点 E，∴ OE⊥CD，∴ ∠CEO=90°.
∵ BE∥OC,∴ ∠AOC=∠OBE,∠COE=∠OEB.
∵ OB=OE,∴ ∠OBE=∠OEB.∴ ∠AOC=∠COE.
∵ OA=OE,OC=OC,∴ △AOC≌△EOC（SAS）.
∴ ∠CAO=∠CEO=90°，∴ AC 是⊙O 的切线.
（2）解：在 Rt△DEO 中，∵ BD=OB,∴ BE=OD=OB=4.
又∵ OB=OE,∴ △BOE 是等边三角形，∴ ∠ABE=60°.
∵ AB 是直径，∴ ∠AEB=90°.
在 Rt△ABE 中，AE=tan 60°·BE＝4 .
25.（1）证明：如图（1），连接 OB，∵ AB 是⊙O 的切线，∴ OB⊥AB.
∵ CE⊥AB，∴ OB∥CE，∴ ∠1=∠3.
∵ OB=OC，∴ ∠1=∠2，∴ ∠2=∠3，∴ CB 平分∠ACE.
（2）解：如图（2），连接 BD，
∵ CE⊥AB，∴ ∠E=90°．∴ BC= 2222 43 CEBE =5.
∵ CD 是⊙O 的直径，∴ ∠DBC=90°，
∴ ∠E=∠DBC，∴ △DBC∽△BEC，∴
CE
BC
BC
CD ，
∴ BC2=CD•CE， ∴ CD=
4
25
4
52
，
∴ OC=
2
1 CD=
8
25 ，∴ ⊙O 的半径为
8
25 .
26.分析：（1）设 与 的函数关系式为 ，把 ， ； ，
代入求出 的值；根据 大于 0 求 的取值范围.
（2）根据“毛利润 售价 进价 固定成本”列出函数关系式，然后整理成顶点式，再根
据二次函数的最值问题解答；
（3）把 代入函数关系式，解关于 的一元二次方程即可，根据二次函数图象的
增减性求出范围．
解：（1）设 与 的函数关系式为 ，
把 ， ； ， 分别代入，
得 解得
∴ .
由 ，解得 ，∴ 自变量 的取值范围是.（2）根据题意得，毛利润
，
∴ 当单价定为 10 元时，日均毛利润最大，最大利润是 700 元.
（3）根据题意，得 ，
整理，得，
即 ，∴ 或，
解得 ， ，
∴ 每瓶饮料的单价定为 7 元或 13 元时，日均毛利润为 430 元，
∵ ，∴ 销售单价满足时，日均毛利润不低于 430 元．
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