2016年衡阳市高三三模理科数学试题及答案

答案与解析 1.B 5 2 5 )21( iiiZ  2.C 3 1)15sin()75cos(  αα 9 7 9 121)15(sin21)230cos( 2  αα 3.B 1,1  σμ 1359.02 6826.09544.0 s 1359.0 μ 4.B 只有①对 5.D 由 39,5.17  yx 代入方程可知 a=109， 当 20x 时， 29109204 y 6.B 由图可知， 63234 3 4 πφπφπππφπ  7.C  8416352103 ninininn 8172645  ininini 8.B 如图，所求几何体的体积为 42 正方体V 9.B 如图，由题意可知：  ,2 pc 抛物线方程为 1 2 .4 PFcxy  的中点在 y 轴上， cx p  ，带入抛物线方程可得 cy p 2 ， 又 点 P 在 双 曲 线 上 ， 12)21(22314 22 2 2 2 2  eeb c a c 10.C ①：甲单独一人，则 122 2 2 3 1 2  ACC ②：甲与另一人一起，则： 122 2 1 2 1 3  ACC 11.C 由图可知， 0)( min ENEM 图中此时 第 11 题图 第 8 题图 第 9 题图 的  90MEN 故此时 EM 与抛物线相切，且 1EMk 12.A 012 txx 一根在 )1,0( e 中间，一根在 ),1(  e ， 0)1(  ey 即： 0111 2  ete ， 111 2  eet ， e eeet 11 2  13. 9 10 14.1 52  yxAMOAZ ， 如 图 ， 15222max Z 15. π16 令 BC= a ，则 aAH 3 3 ，又 AHPΔ 中，  30APH ， aaPH  33 3 ， 4 39 12 3 2 3 2 1 3 1 3   aaaaV ABCP 3 a 第 15 题图 第 13 题图 第 12 题图 第 14 题图 从而， 3PH3  ，AH ，令球 O 的半径为 R，则在 OΔAH 中可知： 2)3()3( 222  RRR ， πRπS 164 2  球表面积 16. ),( e 令 )0)(,( 000 xyxP 为 )(xg 图象上满足条件的对称点，则 ),-(' 00 yxP 在 )(xf 的图象上， 2 102 00  xexy ， )ln( 0 2 00 axxy  ，∴方 程 )0,()ln(2 1  在axex 上有解， )2 1,2 1(2 1)0,(  xex 时， ，且函 数 )ln()( axx  为定义域上的减函数，又当  )ln(, axx 时 ， eaa  ,2 1ln,2 1)0( 即只需 17.解：(1)由 1 1( )n n a f a   可得， 1 2 3n na a   ， n N ， 2n  . 所以 na 是等差数列， 因为 1 1a  ，所以 2 2 11 ( 1) 3 3n na n      ， n N . …4 分 (2)因为 2 1 3n na  ，所以 1 2 3 3n na   ， 所以 1 1 9 9 1 1( )(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n na a n n n n       . 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 9 1 1 3( )2 3 2 3 2 3n n n nS a a a a a a a a n n          . …8 分 3 4n tS n  恒成立等价于 3 3 2 3 4 n t n n  ，即 24 2 3 nt n   恒成立．…9 分 令 24( ) ( 0)2 3 xg x xx   ，则 2 8 ( 3)( ) 0(2 3) x xg x x    ， 所以 24( ) ( 0)2 3 xg x xx   为增函数， 所以当 1n  时， 2 min 4 4( )2 3 5 n n  . ………11 分 所以 4 5t  ，即 t 的取值范围是 4, 5     . ………12 分 18. 20. 21、解：（1） 3 2 1( ) ( ) xh x x x e    ， 3 2 1( ) ( 4 2 ) xh x x x x e     ， (1) 0h  ， (1) 1h   。  ( )h x 在(1, (1))h 处的切线方程为： ( 1)y x   ，即 1y x   ………… 5 分 （2） ( ) ( R, >0)ag x a xx    ， ( ) lng x a x c   ， ( ) ln 0g e a e c a c a c        ，从而 ( ) lng x a x ，………… 6 分 设 ( , ( ))P t F t 为 ( )y F x 在 1x   时的图象上的任意一点，则 1t   ， PQ 的 中点在 y 轴上， Q 的坐标为( , ( ))t F t  ， 1t   ， 1t  ，所以 3 2( , )P t t t  ， ( , ln( ))Q t a t  ， 2 2 ( 1)ln( )OP OQ t at t t       .由于 0OP OQ   ， 所以 (1 )ln( ) 1a t t   . ………… 8 分 当 1t   时， (1 )ln( ) 1a t t   恒成立， Ra ；………… 9 分 当 1t   时， 1 (1 )ln( )a t t    ，令 1( ) (1 )ln( )t t t     ( 1)t   ，则 2 ( 1) ln( )( ) [(1 )ln( )] t t tt t t t        1t   ， 1 0, ln( ) 0t t t     ， ( ) 0t  ，从而 1( ) (1 )ln( )t t t     在( , 1)  上为增函数，由于t   时， 1( ) 0(1 )ln( )t t t     ， ( ) 0t  ，………… 11 分 0a  ……12 分 (22) 【解析】（Ⅰ）连接 AB 、OE ，因为 EA 、EB 为圆O的切线，所以 OE 垂直平分 AB 又 BC 为圆O的直径，所以 CDAB  ，所以 CDOE // 又 O 为 BC 的 中 点 ， 故 E 为 BD 的 中 点 ， 所 以 EDBE  ………………5 分 （Ⅱ）设 ( 0)AC t t  ，则 3AD t ， 4CD t 在 Rt BCD 中，由射影定理可得： 2 212BD DA DC t   2 3BD t  ，在 Rt ABD 中， 1 32AE BD t  :AE AC = 3 …… …………10 分 O . (23) 【解析】（Ⅰ）由  cos2 ，可得：  cos22  ，所以 xyx 222  故 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 圆 的 标 准 方 程 为 ： 11- 22  yx ）（ ………………5 分 （Ⅱ）在直角坐标系中 ），（），，（ 2 33 2 3330 BA 所以 3)332 33()02 3( 22 AB ，直线 AB 的方程为： 333  yx 所以圆心到直线 AB 的距离 3 4 333   d ，又圆 C 的半径为 1， 所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为 13  故 ABP 面 积 的 最 大 值 为 2 3333132 1  ）（S ………………10 分 (24) 【解析】（Ⅰ）             2 1,1 2 10,13 0,1 12)( xx xx xx xxxf 由 1)( xf ，得      11 0 x x 或      113 2 10 x x 或      11 2 1 x x 解得： 20  x 故 { 0 2}M x x   …… …………5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 20  a 因为 a aa a aaa aaa )1)(1(111 223 2  当 10  a 时， 0)1)(1( 2  a aa ，所以 aaa 112  当 1a 时， 0)1)(1( 2  a aa ，所以 aaa 112  当 21  a 时， 0)1)(1( 2  a aa ，所以 aaa 112  综上所述：当 10  a 时， aaa 112  当 1a 时， aaa 112  当 21  a 时 ， aaa 112  ………………10 分