天水市2015届高三一轮复习数学（理）考试题及答案

第Ⅰ卷 一、 选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的一项。 1.已知集合    2| 2 0 , | 5 5A x x x B x x       ，则 ( ) A.A∩B= B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B 2. i 为虚数单位，则   2)1 1( i i （ ） A. 1 B. 1 C. i D. i 3.已知双曲线C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0, 0a b  ）的离心率为 5 2 ，则C 的渐近线方程为（ ） A. 1 4y x  B. 1 3y x  C. 1 2y x  D. y x  4. 83 2( )x x  二项展开式中的常数项为 A. 56 B. 112 C. -56 D. -112 5．以下四个命题中： ①为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为 40 的样本，考虑 用系统抽样，则分段的间隔 k 为 40. ②线性回归直线方程 axby ˆˆˆ  恒过样本中心 ),( yx ③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布 2(2, ) ( 0)N    ．若ξ在 ( ,1) 内取值的概率为 0.1，则ξ在 (2,3) 内取值的概率为 0.4 ； 其中真命题的个数为 （ ） A． 0 B．1 C． 2 D．3 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．6 B．2 3 C．3 D．3 3 7．已知等比数列{ }na 的前 n 项和为 Sn ,且 1 3 2 4 5 5, ,2 4 n n Sa a a a a     则 （ ） A．4n-1 B．4n-1 C．2n-1 D．2n-1 8.同时具有性质“⑴ 最小正周期是 ；⑵ 图象关于直线 6x  对称；⑶ 在[ , ]6 3   上是减函数”的一个函数可以是 A. 5sin( )2 12 xy   B. sin(2 )3y x   C. 2cos(2 )3y x   D. sin(2 )6y x   9.如图所示程序框图中，输出 S  （ ） A. 45 B. 55 C. 66 D. 66 10．已知函数 2( )f x x 的图像在点 1 1( , ( ))A x f x 与点 2 2( , ( ))B x f x 处的切线互相垂直并交于一 点 P,则点 P 的坐标可能为（ ） A. 3( ,3)2  B. (0, 4) C (2,3) D. 1(1, )4  11.在 ABC 中， 6A  , 3 3 , 3AB AC  ， D 在边 BC 上，且 2CD DB ,则 AD （ ） A． 19 B． 21 C．5 D． 2 7 12. 已 知 函 数   2log , 0 2 sin( ), 2 104 x x f x x x       ， 若 存 在 实 数 1 2 3 4, , ,x x x x 满 足      1 2 3 4( )f x f x f x f x   ，且 1 2 3 4x x x x   ，则 3 4 1 2 ( 1) ( 1)x x x x     的取值范围 是（ ） A.(20，32) B.(9,21) C.(8,24) D.(15，25) 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．设 ( )f x 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 [ 1,1)x  时， 24 2, 1 0,( ) , 0 1, x xf x x x         ， 则 3( )2f  。 14. 将 2 名主治医生，4 名实习医生分成 2 个小组，分别安排到 A、B 两地参加医疗互助活动， 每个小组由 1 名主治医生和 2 名实习医生组成，实习医生甲不能分到 A 地，则不同的分配 方案共有 种． 75 80 85 90 95 100 分 数 频率 组距 0.01 0.02 0.04 0.06 0.07 0.03 0.05 15．设不等式组 0 0 x y x y y        所表示的区域为 M ，函数  sin , 0,y x x   的图象与 x 轴所围成的 区域为 N ,向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为 16．设 m R ，过定点 A 的动直线 0x my  和过定点 B 的动直线 3 0mx y m    交于点 ( , )P x y ，则| | | |PA PB 的最大值是 。 三．解答题 (本题共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中 A＞0，ω＞0，0＜φ＜π 2 )的 周期为π，且图象上有一个最低点为 M 2π 3 ，－3 . (1) 求 f(x)的解析式； (2) 求函数 y＝f(x)＋f x＋π 4 的最大值及对应 x 的值． 18．（本小题满分 12 分）如图，在直棱柱 11 1 1 / /ABCD A BC D AD BC 中， ， 90 , , 1BAD AC BD BC    ， 1 3AD AA  。 （I）证明： 1AC B D ； （II）求直线 1 1 1B C ACD与平面 所成角的正弦值。 19.(本小题满分12分)某高校在2012年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按 成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100] 得到的频率分布直方图如图所示． (1)分别求第3，4，5组的频率； (2) 若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试。 (ⅰ) 已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学 生 甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率； (ⅱ) 学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2 名学生接受考官L的面试，设第4组中有 名学生被考 官L面试，求 的分布列和数学期望. 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心在原点O ，焦点在 x 轴上，离 心率为 1 2 ，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程； （ 2 ） 是 否 存 在 与 椭 圆 C 交 于 ,A B 两 点 的 直 线 l ： ( )y kx m k   R ， 使 得 2 2OA OB OA OB      成立？若存在，求出实数 m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 21 ．（本小题满分 12 分）设函数 )1ln(2)1()( 2 xxxf  （1）若关于 x 的不等式 0)(  mxf 在 ]1,0[ e 有实数解，求实数 m 的取值范围； （2）设 1)()(g 2  xxfx ，若关于 x 的方程 px )(g 至少有一个解，求 p 的最小值. （3）证明不等式： nn 1 3 1 2 11)1ln(   )( *Nn  请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写 清楚题号. 22．(本小题满分 10 分)选修 4—1：几何证明选讲 如 图 所 示 , PA 为 圆 O 的 切 线 , A 为 切 点 , 两点，于交圆 CBOPO , 20PA  ， 10,PB  BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E . （1） 求证 AB PC PA AC   （2） 求 AD AE 的值. 23．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中, O 为极点, 半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为 (2, )3  . (1) 求圆 C 的极坐标方程； (2) 在以极点 O 为原点，以极轴为 x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l 的参数方程为         ty tx 2 32 2 11 （t 为参数），直线l 与圆 C 相交于 A，B 两点，已知定点 )2,1( M ,求|MA|·|MB|。 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 | | 2 |,f x x x a a R     . （1）当 3a  时，解不等式 ( ) 0f x  ； （2）当 ( ,2)x  时， ( ) 0f x  恒成立，求 a 的取值范围. 理科数学答案 二 13 1 14 6 15 2 8  16 5 三 17 解：(1) 由2π ω ＝π，得ω＝2. ------- 由最低点为 M 2π 3 ，－3 ，得 A＝3. 18 解： (Ⅰ) ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD  111111 , 面且面是直棱柱 DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC 11111 ,,  ，面。面且又  . ---------- 4 （Ⅱ） 轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向 XADYABA   BDACyBDyACyCyBDDA  ),0,,3(),0,,1()0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,0 1 ，则，设 ).3,0,3(),0,3,1(.30,0030 1 2  ADACyyyBDAC ），，（），，（的一个法向量平面则的法向量为设平面 303,313-. 0 0, 1 1 1       ADnACD ADn ACnnACD 7 21 37 33|,cos|sin003,313-1    ADnADnACD ），，（），，（的一个法向量平面 7 21 11 夹角的正弦值为与平面所以 ACDBD 。-------12 19 解：(1) 第三组的频率为0.065=0.3； 第四组的频率为0.045=0.2； 第五组的频率为0.025=0.1. ……………………3分 (2)(ⅰ)设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A,第三组应有3人进入面试 则: P(A)= 3 30 2 28 1 2 C CC  145 27 ……………………6分 (ⅱ)第四组应有2人进入面试，则随机变量 可能的取值为0,1,2. …………7分 且 )210()( 2 6 2 42 、、  i C CCiP ii  ，则随机变量 的分布列为:  0 1 2 P 5 2 15 8 15 1 ……10分 3 2 15 2 15 8 E ……………………12分 20 解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为 2 2 2 2 1x y a b    0a b  ，半焦距为 c . 依题意 1 2 ce a   ，由 右焦点到右顶点的距离为1，得 1a c  ．解得 1c  ， 2a  ．所以 2 2 2 3b a c   ． 所以椭圆C 的标准方程是 2 2 14 3 x y  ．………4 分新*课*标*第*一*网] （Ⅱ）解：存在直线l ，使得 2 2OA OB OA OB      成立.理由如下： 由 2 2 , 1,4 3 y kx m x y     得 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m     ． 2 2 2(8 ) 4(3 4 )(4 12) 0km k m      ，化简得 2 23 4k m  ． 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 2 8 3 4 kmx x k     ， 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k   ． 若 2 2OA OB OA OB      成 立 ， 即 2 2 2 2OA OB OA OB      ， 等 价 于 0OA OB   ．所以 1 2 1 2 0x x y y  ． 1 2 1 2( )( ) 0x x kx m kx m    ， 2 2 1 2 1 2(1 ) ( ) 0k x x km x x m     ， 2 2 2 2 2 4 12 8(1 ) 03 4 3 4 m kmk km mk k        , 化简得， 2 27 12 12m k  ．将 2 27 112k m  代入 2 23 4k m  中， 2 273 4( 1)12 m m   ， 解得， 2 3 4m  ．又由 2 27 12 12 12m k   ， 2 12 7m  ， 从而 2 12 7m  ， 2 217m  或 2 217m   ． 所以实数 m 的取值范围是 2 2( , 21] [ 21, )7 7    ． …12 分 21. 解：（1）依题意得 mxf m ax)(   1 22 1 2)1(2)(   x xx xxxf ，而函数 )(xf 的定义域为 ),1(  ∴ )(xf 在 )0,1( 上为减函数，在 ),0(  上为增函数，则 )(xf 在 ]1,0[ e 上为增函数 2)1()( 2 max  eefxf 即实数 m 的取值范围为 22  em ………………………………4 分 （2） 1)()(g 2  xxfx )]1ln(x[2)1ln(22 xxx  则 x x xxg  1 2)1 11(2)( 显然，函数 )(g x 在 )0,1( 上为减函数，在 ),0(  上为增函数 则函数 )(g x 的最小值为 0)0(g  所以，要使方程 px )(g 至少有一个解，则 0p ，即 p 的最小值为 0 …………8 分 （3）由（2）可知： 0)]1ln(x[2)(g  xx 在 ),1(  上恒成立 所以 xx  )1ln( ，当且仅当 x=0 时等号成立 令 )(1x *Nnn  ，则 )1,0(x 代入上面不等式得： nn 1)11ln(  即 nn n 11ln  ， 即 nnn 1ln)1ln(  所以， 11ln2ln  ， 2 12ln3ln  ， 3 13ln4ln  ，…， nnn 1ln)1ln(  将以上 n 个等式相加即可得到： nn 1 3 1 2 11)1ln(   ………………………………12 分 22.解（1）∵ PA 为圆O 的切线, ,PAB ACP   又 P 为公共角, PCAPAB  ∽ AB PC PA AC   …………4 分 （2）∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点O 的割线, 2 ,PA PB PC   40, 30PC BC   又∵ 0 2 2 290 , 900CAB AC AB BC      又由（1）知 1 12 5 6 52 AB PA AC ABAC PC      ,连接 EC ,则 ,CAE EAB   ADBACE  ∽ ， AC AD AE AB  AD AE AB AC 6 5 12 5 360      ……….10 分 23. 解：（1）设 ),( P 是圆上任意一点， 则在等腰三角形 COP 中，OC=2，OP=  , |3|  COP ，而 COPOCOP  cos||||2 1 所以， )3cos(4   即为所求的圆 C 的极坐标方程。 ……………………5 分 （2）圆 C 的直角坐标方程为 4)3()1x 22  y（ ，即： 032222  yxyx 将直线l 的参数方程         ty tx 2 32 2 11 （t 为参数）代入圆 C 的方程得： 0343)323(t 2  t ，其两根 21 tt 、 满足 34321 tt [来源:学&科&网 Z&X&X&K] 所以，|MA|·|MB| 343|| 21  tt ………………10 分