泰安市2015高三期末数学（理）试题及答案

高三年级考试 数 学 试 题（理科） 2015.1 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.集合      3,2 , , 4aA B a b A B A B    ，则 ，则 等于 A.  2 3 4，， B.  3 41，， C.  0,1,2,3 D.  1,2,3,4 2.已知 a R ，则“ 2a a ”是“ 1a  ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.正项等比数列 na 的公比为 2，若 2 10 16a a  ，则 9a 的值是 A.8 B.16 C.32 D.64 4.已知命题 4: 0, 4p x x x     ：命题 0 0 1: ,2 2 xq x R   .则下列判断正确的是 A.p 是假命题 B.q 是真命题 C.  p q  是真命题 D.  p q  是真 命题 5.已知 ,m n 为不同的直线， ,  为不同的平面，则下列说法正确的是 A. , / / / /m n m n   B. ,m n m n     C. , / / / /m n n m      D. ,n n       6.若变量 ,x y 满足条件 2 1 1 y x x y y        ，则 2x y 的取值范围为 A. 5 ,02     B. 50, 2      C. 5 5,2 3     D. 5 5,2 2     7.下列函数中，与函数 , 0, 1 , 0 x x e x y xe         的奇偶性相同，且在 ,0 上单调性也相同的是 A. 1y x   B. 2 2y x  C. 3 3y x  D. 1log e y x 8.设函数    sin cos 0f x x x     的最小正周期为 ，将  y f x 的图象向左平 移 8  个单位得函数  y g x 的图象，则 A.   0 2g x      在 ， 上单调递减 B.   3 4 4g x       在 ， 上单调递减 C.   0 2g x      在 ， 上单调递增 D.   3 4 4g x       在 ， 上单调递增 9.设函数  f x 的零点为  1, 4 2 2xx g x x   的零点为 2x ，若  1 2 0.25x x f x  ，则 可以是 A.   2 1f x x  B.   2 4xf x   C.    ln 1f x x  D.   8 2f x x  10.定义在 R 上的函数  f x 满足：          1 , 0 0,f x f x f f x f x    是 的导函数， 则不等式   1x xe f x e  （其中 e 为自然对数的底数）的解集 为 A.    , 1 0,    B.  0, C.    ,0 1,   D.  1,  二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11.已知向量      3,1 , 0, 1 , , 3 . 2m n k t m n k         若 与 共线，则 t= ▲ . 12.设 为锐角，若 4cos sin6 5 12                ，则 ▲ . 13.若    12 0 3f x x f x dx   ，则  1 0 f x dx = ▲ . 14.已知直线 3 2 0x y   及直线 3 10 0x y   截圆 C 所得的弦长均为 8，则圆 C 的面积是 ▲ . 15.棱长为 4 的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那 么该几何体的体积是 ▲ . 三、解答题：（本大题共 6 个小题，满分 75 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.） 16.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 2 cos 2 3 .c A b a   （I）求角 C 的大小； （II）若 3b a ， ABC 的面积 23sin A，求 a、c 的值. 17.（本小题满分 12 分） 如 图 所 示 ， 在 直 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C 中 ， 1 2, 4, 3,AA AB AC BC D    为 AB 的中点， 且 1 1AB AC （I）求证： 1 1AB A D ； （II）求二面角 1A AC D  的平面的正弦值. w!w!w.!x!k!b!1.com 18.（本小题满分12 分） 若数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足：  2 1 2 6 2n n nS S S n n N        . （I）若数列 na 是等差数列，求 na 的通项公式. （II）若 1 2 1a a  ，求 50S . 19.（本小题满分 12 分） 某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润 y（单位：万元）与投 资 x（单位：万元）满足：   ln 3f x a x bx   （ , , ,a b R a b 为常数），且曲线  y f x 与直线 y kx 在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像 经过点（4，4）. （I）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式； （II）已知该公司已筹集到 40 万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产 品投资均不少于 10 万元.问怎样分配这 40 万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最 大利润约为多少万元？ （参考数据：ln 10 2.303,ln15 2.708,ln 20 2.996,ln 25 3.219, ln30 3.401      ） 20.（本小题满分 13 分） 已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的两个焦点为 1 2F F、 ，离心率为 2 2 ，直线 l 与椭圆相 交于 A、B 两点，且满足 1 2 14 2, ,2OA OBAF AF K K     O 为坐标原点. （I）求椭圆的方程; （II）求OA OB  的最值. 21.（本小题满分 14 分） 设函数    1 1ln .2 2f x m x x m Rx     . （I）当 5 4m  时，求  f x 的极值； （II）设 A、B 是曲线  y f x 上的两个不同点，且曲线在 A、B 两点处的切线均与 x 轴 平行，直线 AB 的斜率为 k ，是否存在 m ，使得 1?m k  若存在，请求出 m 的值，若 不存在，请说明理由.