全国I卷2015高三最后一模数学（文）试题及答案

2015 年高考文科数学押题密卷(全国新课标 I 卷) 说明： 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考 和选考两部分． 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如 需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案． 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项符合题目要求． （1）设集合    21,0,1 , |M N x x x    ,则 M N  （A） 1,0,1 （B） 0,1 （C） 1 （D） 0 （2）复数 z＝ 1－3i 1＋2i ，则 （A）|z|＝2 （B）z 的实部为 1 （C）z 的虚部为－i （D）z 的共轭复数为－1＋i （3）不等式 x－1 x2－4 ＞0 的解集是 （A）(－2，1)∪(2，＋∞) （B）(2，＋∞) （C）(－2，1) （D）(－∞，－2)∪(1，＋∞) （4）执行右面的程序框图，若输出的 k＝2，则输入 x 的取值范 围是 （A）(21，41) （B）[21，41] （C）(21，41] （D）[21，41) （5）已知 p： x∈R，ax2－ax＋1≥0，q：(a－1)2≤1；则 p 是 q 成立的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）函数 f (x)＝(x＋2)3－( 1 2 )x 的零点所在区间是 （A）(－2，－1) （B）(－1，0) （C）(0，1) （D）(1，2) （7）已知向量 a=（1, 2），b=（2,3）若（c+a）∥b，c⊥（b+a），则 c= 开始 是x≤81？ 否 输入 x x＝2x－1 结束 k＝0 输出 k k＝k＋1 （A）（ 7 9 ，7 3 ） （B）（ 7 3 ，7 9 ） （C）（ 7 3 ，7 9 ） （D）（－ 7 9 ，－ 7 3 ） （8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A）11 3 6 （B） 3 （C）5 3 3 （D）4 3 3 （9）已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＋a3＝ 5 2 ，且 a2＋a4＝ 5 4 ，则Sn an ＝ （A）4n－1 （B）4n－1 （C）2n－1 （D）2n－1 （10）已知函数 f (x)＝cos(2x＋ π 3 )，g (x)＝sin(2x＋2π 3 )，将 f (x)的图象经过下列哪种变换可 以与 g (x)的图象重合 （A）向右平移 π 12 （B）向左平移 π 6 （C）向左平移 π 12 （D）向右平移 π 6 （11）过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段 OF（O 为 原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （A） 2 （B）2 （C） 5 （D） 3 （12）函数，其图像的对称中心是 （A）（1，－1） （B）（－1，1） （C）（0，1） （D）（0，－1） 第Ⅱ卷 侧视图 俯视图 正视图 11 2 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上． （13）在等差数列{an}中，a7＝8，前 7 项和 S7＝42，则其公差是为_________． （14）四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 4 2的正方形，侧棱长都等于 4 5，则经过该棱锥 五个顶点的球面面积为_________． （15）点 P 在△ABC 内部（包含边界），|AC|=3， |AB|=4，|BC|=5， 点 P 到三边的距离分别是 d1, d2 , d3 ，则 d1+d2+d3 的取值范围 是_________． （16）△ABC 的顶点 A 在圆 O：x2＋y2＝1 上，B，C 两点在直线 3x+y+3=0 上， 若| AB － AC |＝4，则△ABC 面积的最小值为_____． 三、解答题：本大题共 70 分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题 为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a≥b，sin A＋ 3cos A＝2sin B． （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）求a＋b c 的最大值． （18）（本小题满分 12 分） 某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8 场比赛中得分统计的茎叶图如下： 甲 乙 9 7 0 7 8 6 3 3 1 1 0 5 7 9 8 3 2 1 3 （Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小； （Ⅱ）从乙比赛得分在 20 分以下的 6 场比赛中随机抽取 2 场进行失误分析，求抽到 恰好有 1 场得分不足 10 分的概率． （19）（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 ABB1A1 为正方形，侧面 BB1C1C 为菱形，∠CBB1＝60， AB⊥B1C． （Ⅰ）求证：平面 ABB1A1⊥BB1C1C； （Ⅱ）若 AB＝2，求三棱柱 ABC-A1B1C1 体积． B C B1 B1 A C1 A1 A1 （20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1（a＞b＞0）经过点 M (－2，－1)，离心率为 2 2 ．过点 M 作 倾斜角互补的两条直线分别与椭圆 C 交于异于 M 的另外两点 P、Q． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）试判断直线 PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 x 轴是函数图象的一条切线． （Ⅰ）求 a； （Ⅱ）已知 ． 请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图所示，AC 为⊙O 的直径，D 为BC ︵的中点，E 为 BC 的中点． （Ⅰ）求证：DE∥AB； （Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD． （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系 Ox 中，直线 C1 的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是 C1 上任意一点，点 P 在 射线 OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点 P 的轨迹为 C2． （Ⅰ）求曲线 C2 的极坐标方程； （Ⅱ）求曲线 C2 上的点到直线ρcos(θ＋  4 )＝ 2距离的最大值． （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设 f (x)＝|x－3|＋|x－4|． （Ⅰ）解不等式 f (x)≤2； （Ⅱ）若存在实数 x 满足 f (x)≤ax－1，试求实数 a 的取值范围． 2015 年高考文科数学押题密卷(全国新课标 I 卷) A B C D E O 参考答案 一、选择题： BDACB BDCDA AC 二、填空题： （13）2 3 ； （14）100； （15）[ 12 5 ，4] ； （16）1． 三、解答题： （17）解：（Ⅰ） sin A＋ 3cos A＝2sin B 即 2sin(A＋  3 )＝2sin B，则 sin(A＋  3 )＝sin B． …3 分 因为 0＜A，B＜，又 a≥b 进而 A≥B， 所以 A＋  3 ＝－B，故 A＋B＝2 3 ，C＝  3 ． ……………………………6 分 （Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得 a＋b c ＝sin A＋sin B sin C ＝ 2 3[sin A＋sin(A＋  3 )]＝ 3sin A＋cos A＝2sin(A＋  6 )．…10 分 当 A＝  3 时，a＋b c 取最大值 2． ……………………………12 分 （18）解：（Ⅰ） x-甲＝ 1 8 (7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x-乙＝ 1 8 (7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s2甲＝ 1 8 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s2乙＝ 1 8 [(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25． 甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4 分 （Ⅱ）题设所述的 6 个场次乙得分为： 7，8，10，15，17，19． ……………………………7 分 从中随机抽取 2 场，这 2 场比赛的得分如下： (7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)， (8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)， (10，15)，(10，17)，(10，19)， (15，17)，(15，19)， (17，19)， 共 15 种可能， ……………………………9 分 其中恰好有 1 场得分在 10 分以下的情形是： (7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)， (8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)， 共 8 种可能，所求概率 P＝ 8 15 ． ……………………………12 分 （19）解： （Ⅰ）由侧面 ABB1A1 为正方形，知 AB⊥BB1． 又 AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以 AB⊥平面 BB1C1C， 又 AB平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1⊥BB1C1C． …4 分 B C B1B 1 A C1 A1 A1 O （Ⅱ）设 O 是 BB1 的中点，连结 CO，则 CO⊥BB1． 由（Ⅰ）知，CO⊥平面 ABB1A1，且 CO＝ 3 2 BC＝ 3 2 AB＝ 3． 连结 AB1，则 VC-ABB1 ＝ 1 3 S△ABB1·CO＝ 1 6 AB2·CO＝2 3 3 ． …8 分 因 VB1-ABC＝VC-ABB1 ＝ 1 3 VABC-A1B1C1 ＝2 3 3 ， 故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 VABC-A1B1C1 ＝2 3． ………………………12 分 （20）解： （Ⅰ）由题设，得 4 a2 ＋ 1 b2 ＝1， ① 且 a2－b2 a ＝ 2 2 ， ② 由①、②解得 a2＝6，b2＝3， 椭圆 C 的方程为x2 6 ＋y2 3 ＝1．………………………………………………5 分 （Ⅱ）记 P (x1，y1)、Q (x2，y2)． 设直线 MP 的方程为 y＋1＝k(x＋2)，与椭圆 C 的方程联立，得 (1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0， －2，x1 是该方程的两根，则－2x1＝8k2－8k－4 1＋2k2 ，x1＝－4k2＋4k＋2 1＋2k2 ． 设直线 MQ 的方程为 y＋1＝－k(x＋2)， 同理得 x2＝－4k2－4k＋2 1＋2k2 ．………………………………………………9 分 因 y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)， 故 kPQ＝y1－y2 x1－x2 ＝k(x1＋2)＋k(x2＋2) x1－x2 ＝k(x1＋x2＋4) x1－x2 ＝ 8k 1＋2k2 8k 1＋2k2 ＝1， 因此直线 PQ 的斜率为定值． ……………………………………………12 分 （21）解：（Ⅰ）f (x) = 当 x∈(0，a)时，f (x)＜0，f (x)单调递减， 当 x∈(a，＋∞)时，f (x)＞0，f (x)单调递增． …………………………2 分 ∵ x 轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a，0）． f (a)=lna＋1=0，可知 a=1. ……………………………5 分 （Ⅱ）令 1＋，由 x>0 得知 t>1，，于是原不等式等价于： . ……………………………7 分 取，由（Ⅰ）知： 当 t∈(0，1)时，g (t)＜0，g (t)单调递减， 当 t∈(1，＋∞)时，g (t)＞0，g (t)单调递增． ∴ g (t)> g (1)=0，也就是. ∴ . ……………………………12 分 （22）证明： （Ⅰ）连接 OE，因为 D 为BC ︵ 的中点，E 为 BC 的中点，所以 OED 三点共线． 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点，所以 OE∥AB，故 DE∥AB． （Ⅱ）因为 D 为BC ︵ 的中点，所以∠BAD＝ ∠DAC，又∠BAD＝∠DCB∠DAC＝∠DCB． 又因为 AD⊥DC，DE⊥CE△DAC∽△ECD． AC CD ＝AD CE AD·CD＝AC·CE  2AD·CD＝AC·2CE  2AD·CD＝AC·BC． （23）解： （Ⅰ）设 P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4． ……………………………3 分 消去ρ1，得曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝2sin θ． ………………………5 分 （Ⅱ）将 C2，C3 的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2． ………………………… …7 分 C2 是以点(0，1)为圆心，以 1 为半径的圆，圆心到直线 C3 的距离 d＝3 2 2 ， 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1＋3 2 2 ． ………………………10 分 （24）（Ⅰ）f (x)＝|x－3|＋|x－4|＝ 7－2x，x＜3， 1， 3≤x≤4， 2x－7，x＞4． ………………………2 分 作函数 y＝f (x)的图象，它与直线 y＝2 交点的横坐标为 5 2 和 9 2 ，由图象知 不等式 f (x)≤2 的解集为[ 5 2 ， 9 2 ]． ………………………5 分 3 O x y 45 2 9 2 －1 y＝2 y＝ax－1 y＝f (x) y＝ax－1 a＝ 1 2 a＝－2 （Ⅱ）函数 y＝ax－1 的图象是过点(0，－1)的直线． 当且仅当函数 y＝f (x)与直线 y＝ax－1 有公共点时，存在题设的 x． 由图象知，a 取值范围为(－∞，－2)∪[ 1 2 ，＋∞)． …………………10 分