全国I卷2015高三最后一模数学（理）试题及答案

2015 年高考理科数学押题密卷(全国新课标 I 卷) 说明： 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考 和选考两部分． 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如 需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案． 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项符合题目要求． （1）已知集合 A={ (x，y)|x，y为实数，且 x2＋y2=4}，集合 B={(x，y) |x，y为实数，且 y=x －2}， 则 A ∩ B的元素个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）复数 z＝ 1－3i 1＋2i ，则 （A）|z|＝2 （B）z的实部为 1 （C）z的虚部为－i （D）z的共轭复数为－1＋i （3）已知随机变量 X服从正态分布 N (1，σ2)，若 P (X≤2)＝0.72， 则 P (X≤0)＝ （A）0.22 （B）0.28 （C）0.36 （D）0.64 （4）执行右面的程序框图，若输出的 k＝2，则输入 x的取值范 围是 （A）(21，41) （B）[21，41] （C）(21，41] （D）[21，41) （5）已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn， a1＋a3＝ 5 2 ，且 a2＋ a4＝ 5 4 ，则 Sn an ＝ （A）4n－1 （B）4n－1 （C）2n－1 （D）2n－1 开始 是 x≤81？ 否 输入 x x＝2x－1 结束 k＝0 输出 k k＝k＋1 （6）过双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1的一个焦点 F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段 OF（O为 原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （A） 2 （B）2 （C） 5 （D） 3 （7）已知函数 f (x)＝cos(2x＋ π 3 )，g (x)＝sin(2x＋2π 3 )，将 f (x)的图象经过下列哪种变换可 以与 g (x)的图象重合 （A）向左平移 π 12 （B）向右平移 π 12 （C）向左平移 π 6 （D）向右平移 π 6 （8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A）11 3 6 （B） 3 （C）5 3 3 （D）4 3 3 （9）已知向量 a=（1, 2），b=（2,3）若（c+a）∥b，c⊥ （b+a），则 c= （A）（ 7 9 ， 7 3 ） （B）（ 7 3 ， 7 9 ） （C）（ 7 3 ， 7 9 ） （D）（－ 7 9 ，－ 7 3 ） （10）4名研究生到三家单位应聘，每名研究生至多被一家单位录用，则每家单位至少录 用一名研究生的情况有 （A）24种 （B）36种 （C）48种 （D）60种 （11）函数，其图像的对称中心是 （A）（－1，1） （B）（1，－1） （C）（0，1） （D）（0，－1） （12）关于曲线 C：x 1 2 ＋y 1 2 ＝1，给出下列四个命题： ①曲线 C有且仅有一条对称轴； ②曲线 C的长度 l满足 l＞ 2； ③曲线 C上的点到原点距离的最小值为 2 4 ； ④曲线 C与两坐标轴所围成图形的面积是 1 6 上述命题中，真命题的个数是 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 第Ⅱ卷 侧视图 俯视图 正视图 11 2 3 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填写在题中横线上． （13）在(1＋x2)(1－ 2 x )5的展开式中，常数项为__________． （14）四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 4 2的正方形，侧棱长都等于 4 5，则经过该棱锥 五个顶点的球面面积为_________． （15）点 P在△ABC内部（包含边界），|AC|=3， |AB|=4，|BC|=5， 点 P到三边的距离分别是 d1, d2 , d3 ，则 d1+d2+d3的取值范围 是_________． （16）△ABC的顶点 A在 y2＝4x上，B，C两点在直线 x－2y+5=0 上，若| AB－ AC |＝2 5 ，则△ABC面积的最小值为_____． 三、解答题：本大题共 70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为 选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分 12分） 在△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 a≥b，sin A＋ 3cos A＝2sin B． （Ⅰ）求角 C的大小； （Ⅱ）求 a＋b c 的最大值． （18）（本小题满分 12分） 某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的 8场比赛中得分统计的茎叶图如下： 甲 乙 9 7 0 7 8 6 3 3 1 1 0 5 7 9 8 3 2 1 3 （Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小； （Ⅱ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过．．15分的频率作为概率，假设甲、乙 两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的 2 场比赛中甲、乙两 名队员得分均超过．．．15分次数 X的分布列和均值． （19）（本小题满分 12分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1的侧面 ABB1A1为 正方形，侧面 BB1C1C 为菱形，∠CBB1＝60， AB⊥B1C． （Ⅰ）求证：平面 ABB1A1⊥BB1C1C； （Ⅱ）求二面角 B-AC-A1的余弦值． B C B1 B1 A C1 A1 A1 （20）（本小题满分 12分） 已知椭圆 C：x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1（a＞b＞0）经过点 M (－2，－1)，离心率为 2 2 ．过点 M作 倾斜角互补的两条直线分别与椭圆 C交于异于 M的另外两点 P、Q． （Ⅰ）求椭圆 C的方程； （Ⅱ）证明：直线 PQ的斜率为定值，并求这个定值； （Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论． （21）（本小题满分 12分） 已知函数 x轴是函数图象的一条切线． （Ⅰ）求 a； （Ⅱ）已知； （Ⅲ）已知： 请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分．作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分 10分）选修 4-1：几何证明选讲 如图所示，AC 为⊙O的直径，D为BC ︵ 的中点，E为 BC的中点． （Ⅰ）求证：DE∥AB； （Ⅱ）求证：AC·BC＝2AD·CD． （23）（本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系 Ox中，直线 C1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M是 C1上任意一点，点 P在 射线 OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点 P的轨迹为 C2． （Ⅰ）求曲线 C2的极坐标方程； （Ⅱ）求曲线 C2上的点到直线ρcos(θ＋  4 )＝ 2距离的最大值． （24）（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 设 f (x)＝|x－3|＋|x－4|． （Ⅰ）解不等式 f (x)≤2； （Ⅱ）若存在实数 x满足 f (x)≤ax－1，试求实数 a的取值范围． 2015 年高考理科数学押题密卷(全国新课标 I 卷) A B C D E O 一、选择题： CDBCD ABCDD BA 二、填空题： （13）41； （14）100； （15）[ 12 5 ，4]； （16）1． 三、解答题： （17）解：（Ⅰ） sin A＋ 3cos A＝2sin B即 2sin(A＋  3 )＝2sin B，则 sin(A＋  3 )＝sin B． …3分 因为 0＜A，B＜，又 a≥b进而 A≥B， 所以 A＋  3 ＝－B，故 A＋B＝2 3 ，C＝  3 ． ……………………………6分 （Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得 a＋b c ＝ sin A＋sin B sin C ＝ 2 3 [sin A＋sin(A＋  3 )]＝ 3sin A＋cos A＝2sin(A＋  6 )．…10分 当 A＝  3 时， a＋b c 取最大值 2． ……………………………12分 （18）解： （Ⅰ）x-甲＝ 1 8 (7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x-乙＝ 1 8 (7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s2甲＝ 1 8 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s2乙＝ 1 8 [(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25． 甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 （Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过 15分的概率分别为 p1＝ 3 8 ， p2＝ 1 2 ，两人得分均超过 15分的概率分别为 p1p2＝ 3 16 ， 依题意，X～B (2， 3 16 )，P (X＝k)＝Ck2( 3 16 )k(13 16 )2－k，k＝0，1，2， …7分 X的分布列为 X 0 1 2 P 169 256 78 256 9 256 …10分 X的均值 E (X)＝2× 3 16 ＝ 3 8 ． ……………………………12分 （19）解： （Ⅰ）由侧面 ABB1A1为正方形，知 AB⊥BB1． 又 AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以 AB⊥平面 BB1C1C， 又 AB平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1⊥BB1C1C．…………………………4分 B C B1B 1 A C1 A1 A1 x z yO （Ⅱ）建立如图所示的坐标系 O-xyz． 其中 O是 BB1的中点，Ox∥AB，OB1为 y轴，OC为 z轴． 设 AB＝2，则 A (2，－1，0)，B (0，－1，0)，C (0，0， 3)，A1(2，1，0)． AB→＝(－2，0，0)， AC→＝(－2，1， 3)，AA1→＝(0，2，0)． …6分 设 n1＝(x1，y1，z1)为面 ABC的法向量，则 n1· AB→＝0，n1· AC→＝0， 即 －2x1＝0， －2x1＋y1＋ 3z1＝0．取 z1＝－1，得 n1＝(0，3，－1)． …8分 设 n2＝(x2，y2，z2)为面 ACA1的法向量，则 n2·AA1→＝0，n2· AC→＝0， 即 2y2＝0， －2x2＋y2＋ 3z2＝0．取 x2＝ 3，得 n2＝( 3，0，2)． …………………10分 所以 cos n1，n2＝ n1·n2 |n1||n2| ＝－ 7 7 ． 因此二面角 B-AC-A1的余弦值为－ 7 7 ． ……………………………12分 （20）解： （Ⅰ）由题设，得 4 a2 ＋ 1 b2 ＝1， ① 且 a2－b2 a ＝ 2 2 ， ② 由①、②解得 a2＝6，b2＝3， 椭圆 C的方程为 x2 6 ＋ y2 3 ＝1． …………………………………………………3分 （Ⅱ）记 P (x1，y1)、Q (x2，y2)． 设直线 MP的方程为 y＋1＝k(x＋2)，与椭圆 C的方程联立，得 (1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0， －2，x1是该方程的两根，则－2x1＝ 8k2－8k－4 1＋2k2 ，x1＝ －4k2＋4k＋2 1＋2k2 ． 设直线 MQ的方程为 y＋1＝－k(x＋2)， 同理得 x2＝ －4k2－4k＋2 1＋2k2 ．………………………………………………………6分 因 y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)， 故 kPQ＝ y1－y2 x1－x2 ＝ k(x1＋2)＋k(x2＋2) x1－x2 ＝ k(x1＋x2＋4) x1－x2 ＝ 8k 1＋2k2 8k 1＋2k2 ＝1， 因此直线 PQ的斜率为定值． ……………………………………………………9分 （Ⅲ）设直线 MP的斜率为 k，则直线 MQ的斜率为－k， 假设∠PMQ为直角，则 k·(－k)＝－1，k＝±1． 若 k＝1，则直线 MQ方程 y＋1＝－(x＋2)， 与椭圆 C方程联立，得 x2＋4x＋4＝0， 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意； 同理，若 k＝－1也不合题意． 故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………12分 （21）解：（Ⅰ）f (x) = 当 x∈(0，a)时，f (x)＜0，f (x)单调递减， 当 x∈(a，＋∞)时，f (x)＞0，f (x)单调递增． ∵ x轴是函数图象的一条切线，∴切点为（a，0）． f (a)=lna＋1=0，可知 a=1. ……………………………4分 （Ⅱ）令 1＋，由 x>0得知 t>1，，于是原不等式等价于： . 取，由（Ⅰ）知： 当 t∈(0，1)时，g (t)＜0，g (t)单调递减， 当 t∈(1，＋∞)时，g (t)＞0，g (t)单调递增． ∴ g (t)> g (1)=0，也就是. ∴ . ……………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知：x是正整数时，不等式也成立，可以令： x=1，2，3，…，n-1，将所得各不等式两边相加，得： 即. ……………………………12分 （22）证明： （Ⅰ）连接 OE，因为 D为BC ︵ 的中点，E为 BC 的中点，所以 OED三点共线． 因为 E为 BC 的中点且 O为 AC的中点，所以 OE∥AB ， 故 DE∥AB． …………… ………………5分 （Ⅱ）因为 D 为BC ︵ 的中点，所以∠BAD＝ ∠DAC，又∠BAD＝∠DCB∠DAC＝∠DCB． 又因为 AD⊥DC，DE⊥CE△DAC∽△ECD． AC CD ＝ AD CE AD·CD＝AC·CE  2AD·CD＝AC·2CE  2AD·CD＝AC·BC． ……………………………10分 （23）解： （Ⅰ）设 P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4． ……………………………3分 消去ρ1，得曲线 C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． ……………………………5分 （Ⅱ）将 C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2． ……………………………7分 C2是以点(0，1)为圆心，以 1为半径的圆，圆心到直线 C3的距离 d＝3 2 2 ， 故曲线 C2上的点到直线 C3距离的最大值为 1＋3 2 2 ． ……………………………10分 （24）解： （Ⅰ）f (x)＝|x－3|＋|x－4|＝ 7－2x，x＜3， 1， 3≤x≤4， 2x－7，x＞4． ……………………………2分 作函数 y＝f (x)的图象，它与直线 y＝2交点的横坐标为 5 2 和 9 2 ，由图象知 不等式 f (x)≤2的解集为[ 5 2 ， 9 2 ]． ……………………………5分 3 O x y 45 2 9 2 －1 y＝2 y＝ax－1 y＝f (x) y＝ax－1 a＝ 1 2 a＝－2 （Ⅱ）函数 y＝ax－1的图象是过点(0，－1)的直线． 当且仅当函数 y＝f (x)与直线 y＝ax－1有公共点时，存在题设的 x． 由图象知，a取值范围为(－∞，－2)∪[ 1 2 ，＋∞)． ………………………10分