湖北省七市2015年高三4月联合考试数学（文）试题及答案

2015 年 4 月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试 数学(文史类)参考答案及评分标准 说明 1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评 分标准的精神进行评分。 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内 容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分 数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。 3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一．选择题：A 卷：ABDDB CABDC B 卷：ACBDB CACDB 二．填空题：11． 9 4 12．6 13．①③④ 14． 16 29 15． 4 16． 2 2 17．(Ⅰ) 2 3 4 6 6 6 2 7 7 7 7    (或 2396 2401 )；(Ⅱ)(4，2) 三．解答题： 18．(Ⅰ)解： ( ) 3 sin( ) cos( ) 2sin( )3 3 6f x x x x          m n 2 分 由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为 4  ，所以 2 4 24T        ， 3 分 令 2 2 22 6 2k x k     ≤ ≤ ，解得 3 6k x k   ≤ ≤ (k∈Z) 5 分 又 [0 ]x  ， ，所以所求单调增区间为 2[0 ] [ ]6 3   ， ， ， 6 分 (Ⅱ)解： 1( ) 2sin(2 ) 1 sin(2 ) 2 26 6 2 6 6f A A A A k          ， ， 或 52 26 6A k    A k 或 3A k   (k∈Z)，又 (0 )A  ， ，故 3A  8 分 ∵ 3cos (0 )5C C  ， ， ，∴ 4 3 3 4sin sin sin( ) sin( )5 3 10C B A C C      ， 10 分 由正弦定理得 sin sin b a B A  ，∴ 5 3 sin 3 3 4sin Bb A    12 分 19．(Ⅰ)解：当 n = 1 时， 1 2 2 1 1 1 32 32S a a a   ， 1 分 当 n≥2 时， 1 1 32n nS a   ，与已知式作差得 1n n na a a  ，即 1 2 ( 2)n na a n  ≥ 欲使{an}为等比数列，则 2 12 2a a r  ，又 2 1 1 32a a  ，∴ 1 32r  5 分 故数列{an}是以 1 32 为首项，2 为公比的等比数列，所以 62n na  6 分 (Ⅱ)解： 6nb n  ， 6 6| | 6 6n n nb n n     ， ， ≥ 若 6n  ， 2 1 11 2n n n nT b b      9 分 若 6n≥ , 2 1 5 6 11 302n n n nT b b b b           ，∴ 2 2 11 62 11 30 62 n n n n T n n n       ， ， ≥ 12 分 20．(Ⅰ)证：由于 C 是以 AB 为直径的圆上一点，故 AC⊥BC 又 SC⊥平面 ABC，∴SC⊥BC 2 分 ∵ SC AC C ，∴BC⊥平面 SAC，BC⊥SA 4 分 O、M 分别为 AB、SB 的中点，故 OM 平行于 SA ∴OM⊥BC 6 分 (Ⅱ)解：四面体 S－ABC 的体积 2 21 1 1 2( )3 3 6 3ABCV SC S AC BC AC BC     ≤ 当且仅当 2AC BC  时取得最大值 9 分 取 BC 的中点 N，连接 MN、AN，则 MN 与 SC 平行， MN⊥平面 ABC ∴ MAN   11 分 1 10tan 512 2 MN AN      13 分 21. (Ⅰ)解： '( ) ln 1( 0)f x x x   令 '( ) 0f x ≥ ，即 1ln 1 lnx e ≥ ，所以 1x e ≥ 同理，令 '( ) 0f x ≤ ，可得 1(0 ]x e  ， 3 分 所以 ( )f x 的单调递增区间为 1[ )e  ， ，单调减区间为 1(0 ]e ， 4 分 min 1 1( ) ( )f x f e e    5 分 (Ⅱ)解： ( ) ln aF x x x   ， 2'( ) x aF x x  (1) 当 a≥0 时， '( ) 0 ( )F x F x ， 在[1 ]e， 上单调递增， min 3( ) (1) 2F x F a    所以 3 [0, )2a     ，舍去 8 分 (2)当 0a  时， ( )F x 在 (0 )a， 上单调递减，在 ( )a  ， 上单调递增 ①若 ( 1 0)a  ， , ( )F x 在[1 ]e， 上单调递增, min 3( ) (1) 2F x F a    所以 3 ( 1,0)2a     ，舍去 10 分 ②若 [ 1]a e  ， ，F(x)在[1 ]a， 上单调递减，在[ ]a e ， 上单调递增 所以 min 3( ) ( ) ln( ) 1 2F x F a a      ，解得 [ , 1]a e e     12 S C M A O B H N 分 ③若 ( )a e  ， ，F(x)在[1，e]上单调递减， min 3( ) ( ) 1 2 aF x F e e     所以 ( , )2 ea e     ，舍去. 综上所述： a e  . 14 分 22．(Ⅰ)解：设 T(x，y)，则 2 2 y y x x     ，化简得 2 2 1( 2)4 4 x y x    又 A、B 的坐标 ( 2 0) ， 、(2，0)也符合上式，故曲线 :C 2 2 1( 0 1)4 4 x y     ， 3 分 当 0 1  时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，焦点为 ( 2 1 0) (2 1 0)   ， ， ， 4 分 当 1  时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆，焦点为 (0 2 1) (0 2 1)   ， ， ， 5 分 (Ⅱ)解：由于 0 1  ，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，其焦点为 ( 2 1 0) (2 1 0)   ， ， ， ， 椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的最小距离 故 2 2 1 1   ， 3 4   ，曲线C 的方程为 2 2 14 3 x y  6 分 (ⅰ)由 2 2 1 14 3 x x y    解得 3 3(1 ) (1 )2 2M N ， ， ， 或 3 3(1 ) (1 )2 2N M ， ， ， 当 3 3(1 ) (1 )2 2M N ， ， ， 时， 1 3: ( 2) : ( 2)2 2AM y x BN y x   ， ，解得 P(4，3) 当 3 3(1 ) (1 )2 2N M ， ， ， 时，由对称性知，P(4，－3) 所以点 P 坐标为(4，3)或(4，－3) 9 分 (ⅱ)由(ⅰ)知，若存在，直线 l1 只能是 4x  9 分 以下证明当 m 变化时，点 P 总在直线 4x  上． 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立 2 2 14 3 x y  及 1x my  ，消去 x 得： 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ， 1 2 1 22 2 6 9 3 4 3 4 my y y ym m       ， 直线 1 2 1 2 : ( 2), : ( 2)2 2 y yAM y x BN y xx x      10 分 消去 y 得 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 ( 2) 2 ( 2) 4 2 6 ( 2) ( 2) 3 y x y x my y y yx y x y x y y          以下只需证明 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 6 4 4 6( ) 03 my y y y my y y yy y        ※对于 m∈R 恒成立 而 2 2 1 2 1 2 2 2 2 9 6 36 364 6( ) 4 ( ) 6 ( ) 03 4 3 4 3 4 m m mmy y y y m m m m              所以※式恒成立，即点 P 横坐标总是 4，点 P 总在直线 4x  上 故存在直线 l1： 4x  ，使 P 总在直线 l1 上． 14 分