2015 年 4 月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试
数学(理工类)参考答案及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评
分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。
当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内
容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分
数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。
一．选择题：A 卷：DBDCA CDBCA
B 卷：ABDBA CDCAA
二．填空题：
11． 9
4 12．6 13． 3 14．(Ⅰ)(4，2) (Ⅱ) 2 3 4
6 5 6 6
7 7 7 7
(或填 2351
2401
)
15． 2 1 16． 2 3
三．解答题：
17．(Ⅰ)解： ( ) 3 sin( ) cos( ) 2sin( )3 3 6f x x x x m n 2 分
由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为
4
，所以 2 4 24T ， 3 分
令 2 2 22 6 2k x k ≤ ≤ ，解得
3 6k x k ≤ ≤ (k∈Z) 5 分
又 [0 ]x ， ，所以所求单调增区间为 2[0 ] [ ]6 3
， ， ， 6 分
(Ⅱ)解： 1( ) 2sin(2 ) 1 sin(2 ) 2 26 6 2 6 6f A A A A k ， ， 或 52 26 6A k
A k 或
3A k (k∈Z)，又 (0 )A ， ，故
3A 8 分
∵ 3cos (0 )5C C ， ， ，∴ 4 3 3 4sin sin sin( ) sin( )5 3 10C B A C C ， 10
分
由正弦定理得
sin sin
b a
B A
，∴ 5 3 sin 3 3 4sin
Bb A
12
分
18．(Ⅰ)解：当 n = 1 时， 1 2 2 1
1 1
32 32S a a a ， 1 分
当 n≥2 时， 1
1
32n nS a ，与已知式作差得 1n n na a a ，即 1 2 ( 2)n na a n ≥
欲使{an}为等比数列，则 2 12 2a a r ，又 2 1
1
32a a ，∴ 1
32r 5 分
故数列{an}是以 1
32
为首项，2 为公比的等比数列，所以 62n
na 6 分
(Ⅱ)解： 6nb n ， 6 6| | 6 6n
n nb n n
，
， ≥ 若 6n ，
2
1
11
2n n
n nT b b 9 分
若 6n≥ ,
2
1 5 6
11 302n n
n nT b b b b ，∴
2
2
11 62
11 30 62
n
n n n
T n n n
，
， ≥
12
分
19．(Ⅰ)证：由于 C 是以 AB 为直径的圆上一点，故 AC⊥BC
又 SC⊥平面 ABC，∴SC⊥BC
∵ SC AC C ，∴BC⊥平面 SAC，BC⊥SA 2 分
O、M 分别为 AB、SB 的中点，故 OM 平行于 SA
∴OM⊥BC
(Ⅱ)解：四面体 S－ABC 的体积
2 21 1 1 2( )3 3 6 3ABCV SC S AC BC AC BC ≤
当且仅当 2AC BC 时取得最大值 6 分
方法一
取 BC 的中点 N，连接 MN、AN，则 MN 与 SC 平行，
MN⊥平面 ABC
∴ MAN ， 1 10tan 512 2
MN
AN
9 分
作 CH⊥SA 垂足为 H，连接 BH，由(Ⅰ)知 BC⊥SA，
∴SA⊥平面 BCH，BH⊥SA
故 BHC ，在 Rt SAC 中， 2
3
AC SCCH SA
, 6tan 2
BC
CH
12
分
方法二
以 CA CB CS
、 ， 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，则
C(0，0，0)，A( 2 ，0，0)，B(0， 2 ，0)，S(0，0，2)
进而 M(0， 2
2
，1)， 2( 2 1)2AM ， ，
(0 0 2)CS ， ， 是平面 ABC 的一个法向量，
故 14sin | cos | 7AM CS ， ， 35 10cos tan7 5
， 9 分
设 v = (x，y，z)是平面 SAB 的一个法向量，则 0
0
v AB
v AS
,即 2 2 0
2 2 0
x y
x z
故可取 ( 2, 2,1)v ，由（1）知， (0, 2,0)CB 是平面 SAC 的一个法向量
故 10 15 6cos | cos , | ,sin ,tan5 5 2v CB
12
分
20．(Ⅰ)解：设所取三个球恰有两个是红球为事件 A，则事件 A 包含两类基本事件：父亲取
出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为
2 1
2 2
2 1
4 3
1
9
C C
C C
；
S
C
M
A O B
H
N
x y
z
父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红色其概率为
1 1 1
2 2 1
2 1
4 3
2
9
C C C
C C
故 1 2 1( ) 9 9 3P A 4 分
(Ⅱ)解：X 可以取 180，90，60，0，取各个值得概率分别为：
2 1 1
2 2 2
2 1 2 1
4 3 4 3
1 1 1 2( 180) , ( 90)18 9
C C CP X P XC C C C
1 1 2 1 7( 60) , ( 0) 13 18 9 3 18P X P X 8 分
所求分布列为
1 2 1 7( ) 180 90 60 0 5018 9 3 18E X 9 分
(Ⅲ)解：由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得 60 个积分的次数 1~ (3 )3Y B ， ，
2 2 3 3
3 3
1 2 1 7( 2) ( 2) ( 3) ( ) ( )3 3 3 27P Y P Y P Y C C ≥ ，故所求概率为 7
27 12
分
21．(Ⅰ)解：设 T(x，y)，则
2 2
y y
x x
，化简得
2 2
1( 2)4 4
x y x
又 A、B 的坐标 ( 2 0) ， 、(2，0)也符合上式
故曲线 :C
2 2
1( 0 1)4 4
x y ， 3 分
当 0 1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，焦点为 ( 2 1 0) (2 1 0) ， ， ， 4 分
当 1 时，曲线 C 是焦点在 y 纵轴上的椭圆，焦点为 (0 2 1) (0 2 1) ， ， ， 5 分
(Ⅱ)解：由于 0 1 ，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，其焦点为 ( 2 1 0) (2 1 0) ， ， ， ，
椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的最小距离
故 2 2 1 1 ， 3
4
，曲线C 的方程为
2 2
14 3
x y 6 分
(ⅰ)由联立 2 2
1
14 3
x
x y
解得 3 3(1 ) (1 )2 2M N ， ， ， 或 3 3(1 ) (1 )2 2N M ， ， ，
当 3 3(1 ) (1 )2 2M N ， ， ， 时， 1 3: ( 2) : ( 2)2 2AM y x BN y x ， ，解得 P(4，3)
当 3 3(1 ) (1 )2 2N M ， ， ， 时，由对称性知，P(4，－3)
所以点 P 坐标为(4，3)或(4，－3) 8 分
(ⅱ)由(ⅰ)知，若存在，直线 l1 只能是 4x 9 分
以下证明当 m 变化时，点 P 总在直线 4x 上．
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立
2 2
14 3
x y 及 1x my ，消去 x 得：
2 2(3 4) 6 9 0m y my ， 1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
my y y ym m
X 180 90 60 0
P 1
18
2
9
1
3
7
18
直线 1 2
1 2
: ( 2), : ( 2)2 2
y yAM y x BN y xx x
10
分
消去 y 得 1 2 2 1 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2 ( 2) 2 ( 2) 4 2 6
( 2) ( 2) 3
y x y x my y y yx y x y x y y
以下只需证明 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
4 2 6 4 4 6( ) 03
my y y y my y y yy y
※对于 m∈R 恒成立
而
2 2
1 2 1 2 2 2 2
9 6 36 364 6( ) 4 ( ) 6 ( ) 03 4 3 4 3 4
m m mmy y y y m m m m
所以※式恒成立，即点 P 横坐标总是 4 ，点 P 总在直线 4x 上
故存在直线 l1： 4x ，使 P 总在直线 l1 上． 13
分
22．(Ⅰ)解：当 x≥0 时， 0a ， ( ) 01
af x x
， ( )f x 在[0 ) ， 递增
当 0x 时， 2( )f x x a ，
( 0) ( ) 0x a f x ， ， ，f (x)递减， ( ) ( ) 0x a f x ， ， ，f (x)递增；
故 ( )f x 在 ( )a ， ，[0 ) ， 递增， ( 0)a ， 递减，（不必说明连续性）
故 2[ ( )] (0) 0 [ ( )] ( ) 3f x f f x f a a a 极小值 极大值， ． 4 分
(Ⅱ)解：即讨论 ( ) ( ) ( )h x g x f x 的零点的个数， (0) 0h ，故必有一个零点为 0x .
①当 0x 时， ( ) ( ) ( ) 1 ln( 1)xh x g x f x e a x ， ( ) 1
x ah x e x
(ⅰ)若 a≤1，则 11
xa ex
， ( ) 0h x ， ( )h x 在 (0, ) 递增， ( ) (0) 0h x h ，故此时 ( )h x
在 (0, ) 无零点； 5 分
(ⅱ)若 a > 1， ( ) 1
x ah x e x
在 (0, ) 递增， ( ) (0) 1h x h a ，1 0a
且 x 时， ( )h x ，则 0 (0 )x ， 使 0( ) 0h x
进而 ( )h x 在 0(0 )x， 递减，在 0( )x ， 递增，
0( ) (0) 0h x h ，由指数、对数函数的增长率知， x 时 ( )h x ，
h x 在 0( , )x 上有一个零点，在 0(0 ]x， 无零点，故 ( )h x 在 (0 ) ， 有一个零点 7 分
②当 0x 时， 31( ) ( ) ( ) 1 3
xh x g x f x e x ax 2( ) xh x e x a ，
设 ( ) ( )x h x ， ( ) 2 0xx e x 对 0x 恒成立，
故 2( ) xh x e x a 在 ( 0)， 递增， ( ) (0) 1h x h a ，且 x 时， ( )h x ；
(ⅰ)若 1 0a ≤ ，即 1a ≤ ，则 ( ) (0) 1 0h x h a ≤ ，故 ( )h x 在 ( 0)， 递减，所以
( ) (0) 0h x h ，
( )h x 在 ( 0)， 无零点； 8 分
(ⅱ)若1 0a ，即 1a ，则 0 ( 0)x ， 使 0( ) 0h x ，
进而 ( )h x 在 0( )x， 递减，在 0( 0)x ， 递增， 0( ) (0) 0h x h
且 x 时， 21( ) ( 1) ( 3 )3
xh x e x x a ， ( )h x 在 0( )x， 上有一个零点，在 0[ 0)x ，
无零点，故 ( )h x 在 ( ,0) 有一个零点 10
分
综合①②，当 1a ≤ 时有一个公共点；当 1 1a ≤ 时有两个公共点；当 1a 时有三个公共
点 11
分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知， 1a 时， ( ) ( )g x f x 对 0x 恒成立，即 1 ln( 1)xe x
令 1
10x ，则
1
10 10951 ln1.1 1.0953 1000e 12
分
由(Ⅱ)知，当 1a 时， ( ) ( )g x f x 对 0x 恒成立，即 31 13
xe x x
令 1
10x ，则
1
310 1 1 1 2699( ) 13 10 10 3000e
，故有 101095 3000
1000 2699e 14
分
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