红河州2015高三一检数学（文）试卷及答案

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考试用时 l20 分钟． 第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡 上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定 的位置贴好条形码． 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试卷上的答案无效． 本卷共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求. 一、选择题 1.已知全集U R ，集合 {1,2,3,4,5}A  ， { | 3}B x R x  ≥ ，下图中阴影部分所表示的集合 为 （ ） （A）{1} （B）{1,2} （C）{1,2,3} （D）{0,1,2} 2. 5 2 3 i i    （ ） （A）0 （B）1 （C） 2 （D） 2 3.某程序框图如下图所示，则该程序运行后输出 S 的值为 （ ） 开始 0S  1i  S S i  1i i  S输出5?i  结束 是 否 （A）10 （B）12 （C）15 （D）18 4.已知数列{ }na 是等差数列，其前 n 项和为 nS ，若 3 27a a  ，则 4S  （ ） （A）15 （B）14 （C）13 （D）12 5.若实数 x ， y 满足线性约束条件 0 2 3 2 3 x x y x y      ≥ ≥ ≤ ，则 z x y  的最小值是（ ） （A） 3 （B）0 （C） 3 2 （D）3 6.若 [ 1,1]x  ，则方程 | |2 sin 2πx x  的实数根的个数为 （ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 U BA 7.已知命题 p ： x R  ， 2log 0x  ，命题 q ： 0x R  ， 02 0x  ，则下列命题为真命题的是 （ ） （A） p q （B） p q （C）( )p q  （D） ( )p q  8.如下图，网格纸上的正方形小格的边长为1，图中的粗线画出了某几何体的三视图，则该几 何体的表面积是 （ ） （A） 4 2 2 （B） 4 4 2 （C）6 2 3 （D）6 3 3 9.若函数 ( ) sin 3 cosf x x x   ，x R ，又 ( ) 2f   ， ( ) 0f   ，| |  的最小值等于 5 4  ， 则正数 的值为 （ ） （A） 8 5 （B） 4 5  （C） 2 5 （D） 2 5  10.若直线 2 0mx ny   （ 0m  ， 0n  ）截圆 2 2( 3) ( 1) 1x y    ，所得的弦长为 2 ，则 1 3 m n  的最小值为 （ ） （A）6 （B）8 （C）10 （D）12 11.假设在 5 秒钟内的任何时刻，两条不相关的短信能机会均等地进入同一部手机，若这两条 短信进入手机的时间之差小于 2 秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为 （ ） （A） 4 25 （B） 8 25 （C） 9 25 （D） 16 25 12.若函数 3 21 2( ) 3 3f x x x   在区 间 ( , 5)a a  内存 在最小 值，则 实数 a 的取 值范围是 （ ） （A）[ 5,0) （B）( 5,0) （C）[ 3,0) （D）( 3,0) 第Ⅱ卷 (非选择题，共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡上. 13.已知球的体积是36 ，一个平面截该球得到直径为 2 5 的圆，则球心到这个平面的距离是 . 14.已知抛物线 2 8x y 的 准线经过双曲线 2 2 2 1y xm   的一个焦点，则该双曲线的离心率为 . 15.在 ABC 中， P 是 BC 的中点， 1AB  ， 2AC  ，则 AP BC  = . 16.已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a  ， 12n n nS an   ，则 na  . 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请 把答案做在答题卡上. 17．（本小题满分 12 分）在锐角 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 2 2 2 cos( ) sin cos b a c A C ac A A    ． （Ⅰ）求角 A ； （Ⅱ）若 2a  ，求 ABC 的面积的最大值． 18．（本小题满分 12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD 中， 90ADC   ，CD AB∥ ， 4AB  ， 2AD CD  ，将 ACD 沿 AC 折起，使平面 ACD  平面 ABC ，得到三棱锥 D ABC ，如图 2 所示． 19．（本小题满分 12 分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者， 现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名，按年龄所在的区间分组：第 1 组：[20，25）；第 2 组：[25，30）；第 3 组：[30，35）；第 4 组：[35，40）；第 5 组：[40，45]．得到的频率分布 直方图如下图所示． （Ⅰ）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动，应从第 3，4，5 组各抽取多少名志愿者？ （Ⅱ）在满足条件（Ⅰ）时，该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验， 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率． 40 频率 组距 45350 0.07 2520 0.04 0.06 年龄30 0.01 0.02 20．（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xoy 中，动点 P 与定点 (1,0)F 的距离和它到定直线 2x  的距离之比是 2 2 ． （Ⅰ）求动点 P 的轨迹 的方程； （Ⅱ）设曲线 上的三点 1 1( , )A x y ， 2(1, )2B ， 2 2( , )C x y 与点 F 的距离成等差数列，线段 AC 的 垂直平分线与 x 轴的交点为T ，求直线 BT 的斜率 k ． [来源:学|科|网 Z|X|X|K] 21．（本小题满分 12 分）已知函数 2( ) xf x e x a   的图象在点 0x  处的切线为 y bx （e 为 自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数 ( )f x 的解析式； （Ⅱ）当 x R 时，求证： 2( )f x x x ≥ ； （Ⅲ）若 ( )f x kx 对任意的 (0, )x  恒成立，求实数 k 的取值范围． 选考题：请考生在第 22、23、24 三道题中任选一题做答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选的 题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分 10 分）选修 4－1∶几何证明选讲 如图，梯形 ABCD 内接于⊙O ， //AD BC ，过点C 作⊙O 的切线，交 BD 的延长线于点 P ，交 AD 的延长线于点 E ． （Ⅰ）求证： 2AB DE BC  ； （Ⅱ）若 9BD  ， 6AB  ， 9BC  ，求切线 PC 的长． A B C D E O P 23．（本小题满分 10 分）选修 4－4∶坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中，直线l 的参数方程为 2 2 3 x t y t      （t 为参数），直线l 与曲线 C : 2 2( 2) 1y x   交于 A 、 B 两点． （Ⅰ）求弦 AB 的长； （Ⅱ）以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为 3(2 2, )4  ，求点 P 到线段 AB 的中点 M 的距离． 24．（本小题满分 10 分）选修 4－5∶不等式选讲 设函数 ( ) | 4 | | |f x x x a    ， x R ． （Ⅰ）证明：当 1a  时，不等式ln ( ) 1f x  成立； （Ⅱ）关于 x 的不等式 ( )f x a≥ 在 R 上恒成立，求实数a 的最大值． 2015 年红河州高中毕业生复习统一检测 文科数学参考答案 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分． 17．（12 分） 解：（Ⅰ）∵ 2 2 2 cos( ) sin cos b a c A C ac A A    ，∴ 2cos2cos sin 2 BB A   ． ∵ B 是锐角，∴cos 0B  ．∴sin 2 1A  ． ∵0 2A   ，0 2A   ，∴ 4A  ． ………………………………6 分 （Ⅱ） 1 1 2sin sin2 2 4 4ABCS bc A bc bc     ． 由（Ⅰ）知， 2 2 22 2 cos 4b c bc    2 2bc bc≥ ． ∴(2 2) 4bc ≤ ．即 2(2 2)bc ≤ ． ∴ 2 2 2(2 2) 2 14 4ABCS bc     ≤ ． ∴ ABC 的面积的最大值为 2 1 ． ………………………………12 分 18．（12 分） 解:（Ⅰ）在图 1 中,可得 2 2AC BC  ，∴ 2 2 2AC BC AB  ．∴ AC BC ． 取线段 AC 的中点O ，连接 DO ，∵ AD CD ，∴ DO AC ． 又∵平面 ACD  平面 ABC ，平面 ACD  平面 ABC AC ， DO  平面 ACD ， ∴ DO 平面 ABC ．∴ DO BC ． ∵ AC DO O ，∴ BC  平面 ACD ． ………………………6 分 (Ⅱ)设点C 到平面 ABD 的距离为 h ． 由（Ⅰ）可知 BC  平面 ACD ，∴ BC AD ． 由已知得 AD CD ，∴ AD  平面 BCD ．∴ AD BD ． ∴ 2 21 1 22 2ABDS AD BD AB AD        16 4 2 3   ． 由（Ⅰ）可知 DO 平面 ABC ， 2DO  ， 1 1 2 2 2 2 42 2ABCS AC BC        ． 根据体积关系得， C ABD D ABCV V  ． ∴ 1 1 3 3ABD ABCS h S DO      ． ∴ 2 3 4 2h   ．∴ 2 6 3h  ． ∴点C 到平面 ABD 的距离是 2 6 3 ． ……………………………12 分 19．（12 分） 解：（Ⅰ）第 3 组的人数为0.06 5 100 30   ，第 4 组的人数为0.04 5 100 20   ，第 5 组的人 数为0.02 5 100 10   ．所以第 3,4,5 组共 60 名志愿者．利用分层抽样的方法在 60 名志愿者 中抽取 6 名志愿者，每组抽取的人数为：第 3 组： 30 6 360   ；第 4 组： 20 6 260   ；第 5 组： 10 6 160   ．所以应从第 3,4,5 组中分别抽取的人数为 3 人，2 人，1 人．…………6 分 （Ⅱ）记第 3 组的 3 名志愿者为 1A ， 2A ， 3A ，第 4 组的 2 名志愿者为 1B ， 2B ，第 5 组的 1 名志愿者为 1C ．从 6 名志愿者中取 2 名志愿者有： 1 2( , )A A ， 1 3( , )A A ， 1 1( , )A B ， 1 2( , )A B ， 1 1( , )A C ， 2 3( , )A A ， 2 1( , )A B ， 2 2( , )A B ， 2 1( , )A C ， 3 1( , )A B ， 3 2( , )A B ， 3 1( , )A C ， 1 2( , )B B ， 1 1( , )B C ， 2 1( , )B C ．共 有 15 种方法． ……………………………………9 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 1B ， 2B 至少有一名志愿者被抽中的有： 1 1( , )A B ， 1 2( , )A B ， 2 1( , )A B ， 2 2( , )A B ， 3 1( , )A B ， 3 2( , )A B ， 1 2( , )B B ， 1 1( , )B C ， 2 1( , )B C ．共 9 种． 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 9 3 15 5  ． ………………12 分 20．（12 分） 解：（Ⅰ）由已知，得 2 2( 1) 2 | 2 | 2 x y x    ． ………………2 分 两边平方，化简得 2 2 12 x y  ．故轨迹 的方程是 2 2 12 x y  ． ……………4 分 （Ⅱ）由已知可得 1 2| | (2 )2AF x  ， 2| | (2 1)2BF   ， 2 2| | (2 )2CF x  ．……6 分 BA C D O 两式相减得： 2 2 2 21 2 1 2 02 x x y y    ③ 把①代入③化简得： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2( )x x y y y yy y x x       ④ ……………………10 分 把④代入②，令 0y  得， 1 2x  ，∴点T 的坐标为 1( ,0)2 ．……………………11 分 ∴直线 BT 的斜率 2 02 211 2 k     ． ………………………………………12 分 21．（12 分） 解：（Ⅰ）∵ 2( ) xf x e x a   ，∴ ( ) 2xf x e x   ．∴ (0)f b  ．∴ 1b  ．∴切线方程是 y x ． ∵切点为(0,1 )a ．∴1 0a  ．∴ 1a   ．∴ 2( ) 1xf x e x   ． ……………4 分 （Ⅱ）令 2( ) ( ) ( ) 1xx f x x x e x        ，则 ( ) 1xx e   ，由 ( ) 0x  解得 0x  ． 当 ( ,0)x  时， ( ) 0x  ， ( )x 单调递减；当 (0, )x  时， ( ) 0x  ， ( )x 单调递增； ∴ min( ) (0) 0x   ．∴ 2( )f x x x ≥ ． ………………………………8 分 （Ⅲ） ( )f x kx 对任意的 (0, )x  恒成立等价于 ( )f x kx  对任意的 (0, )x  恒成立． 令 ( )( ) f xg x x  ， 0x  ．∴ 2 2 2 ( ) ( ) ( 2 ) ( 1)( ) x xxf x f x x e x e xg x x x         2 ( 1)( 1)xx e x x    ． 由（Ⅱ）可知当 (0, )x  时， 1 0xe x   恒成立．∴当 (0,1)x 时， ( ) 0g x  ．当 (1, )x  时， ( ) 0g x  ．∴ min( ) (1) 2g x g e   ．∴ min( ) 2k g x e   ． ∴实数 k 的取值范围为( , 2)e  ． ……………………………………………12 分 22.（本小题满分 10 分）选修 4－1∶几何证明选讲 解：（Ⅰ）证明：∵AD // BC，∴  AB CD ．∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD． ∵PC 与⊙O 相切，∴∠ECD＝∠DBC．∴△CDE∽△BCD，∴ DC CB ＝ DE CD ． ∴CD2＝DE·BC，∴AB2＝DE·BC． ……………………………………5 分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，DE 2AB BC  ＝ 36 9 ＝4． ∵AD // BC，∴△PDE∽△PBC． ∴ PD PB ＝ DE BC ＝ 4 9 ．∴ 9 PD PD  ＝ 4 9 ． 解得 PD＝ 36 5 ．∴ 819 5PB PD   ． ∴ 2PC ＝PD·PB＝ 36 5  81 5 ． ∴ 36 81 54 5 5 5PC    ． …………………………………10 分 23．（本小题满分 10 分）选修 4－4∶坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）直线l 的参数方程的标准形式为 12 2 32 2 x t y t        （t为参数），代入曲线C 得 2 4 10 0t t    ．记 A ， B 对应的参数分别为 1t， 2t ．则 1 2 4t t    ， 1 2 10t t    ． 所以 2 1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 2 14AB t t t t t t           ． ……………………………………5 分 （Ⅱ）由极坐标与直角坐标互化公式得点 P 的直角坐标( 2,2) ．所以点 P 在直线l 上． 中点 M 对应的参数为 1 2 22 t t    ，由参数t的几何意义得，点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 1 2| | 22 t tPM    ． …………………………………10 分 24．（本小题满分 10 分）选修 4－5∶不等式选讲 解：（Ⅰ）当 1a  时， ( ) | 4 | | 1| | ( 4) ( 1) | 3f x x x x x       ≥ . ∴ ( ) 3f x e≥ ．即 ( )f x e ．∴ln ( ) 1f x  ． ……………………………………5 分 （Ⅱ）由绝对值的性质得 ( ) | 4 | | | | ( 4) ( ) | | 4 |f x x x a x x a a        ≥ ． ∴ min( )f x =| 4 |a  ，∴| 4 |a a ≥ ，解得 2a ≤ ．∴ a 的最大值为 2． ………………10 分 请注意：以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其它答案请参考评分标准酌情给分． A B C D E O P