本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后，将答题卡交回。满分 150
分，考试用时 l20 分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上
填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置
贴好条形码。
2.第一卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷上的答案无效。
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
1．已知集合 2{ | 2 0}A x x x ， {1,2,3,4}B ，则集合 A B （ ）
A. B. {1 2}， C. {3 4}， D. {13 4}，，
2．设i 是虚数单位，若复数 z 满足 (1 ) 1z i i ，则复数 z （ ）
A． 1 B．1 C．i D． i
3．若 ,a b 为实数，则“ 0 1ab ”是“ 1a b
或 1b a
”的（ ）条
件
A．充分必要 B．充分而不必要
C．必要而不充分 D． 既不充分也不必要
4. 一几何体的三视图如图，其中侧（左）视图和俯视图都是腰长为 4 的等腰
直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体体积的大小为（ ）
A．12 B．16 C．48 D．64
5．从某校高三 100 名学生中采用系统抽样的方法抽取 10 名学生作代表，学生的编号从 00 到 99，若第一组
中抽到的号码是 03，则第三组中抽到的号码是（ ）
A. 22 B . 23 C. 32 D. 33
6．已知直线 a 和平面 ，则能推出 //a 的是（ ）
A. 存在一条直线b ， / /a b ，且 / /b B. 存在一条直线b ， a b ，且b
C. 存在一个平面 ， a ，且 / / D. 存在一个平面 ， / /a ，且 / /
7．若函数 ( ) sin 3 cos ( 0)f x ax ax a 的最小正周期为1，则函数 ( )f x 的一个零点为（ ）[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
A. 1
3 B.
3
C. 1( ,0)3 D. (0,0)
8．执行如图所示的程序框图，若输入 ],[ x ，则输出 y 的取值范围是
A．[0,1] B．[ 1,1]
C． 2[ ,1]2
D． 2[ 1, ]2
9．若直线 y x b 与曲线 243 xxy 有公共点，则 b 的取值范围是
（ ）
A. ]221,221[ B. ]3,21[ C. ]221,1[ D.
]3,221[
10. 某班有 50 名学生，一次数学考试的成绩 服从正态分布 )10,105( 2N ，已知 32.0)10595( P ，
估计该班学生数学成绩在 115 分以上的人数为（ ）
A. 10 B. 9 C. 8
D. 7
11.双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x 与曲线 )0,0(1
3 2
2
2
2
ba
b
y
a
x 的交点恰为某正方形的四个顶点，则双曲线的离心率为
（ ）
A．3 B. 2 C. 3 D. 2
12. 已知函数 ( ) | |xf x xe ，方程 2 ( ) ( ) 1 0( )f x tf x t R 有四个不同的实数根，则 t 的取值范围为
（ ）
A.
2 1( , )e
e
B. ( , 2) C.
2 1( , 2)e
e
D.
2 1( , )e
e
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知
1
2 1 e
m dxx
，则 5(1 )mx 的展开式中含 3x 项的系数为 （用具体数字作答）。
14．如图，山上原有一条笔直的山路 BC ，现在又新架设了一条索道 AC ，
某人在山脚 B 处看索道 AC ，发现张角 120ABC ；从 B 处攀登 400
米到达 D 处，回头再看索道 AC ，发现张角 150ADC ；从 D 处 再 攀
登 800 米到达C 处，则索道 AC 的长为 _____ 米。
15.在无重复数字的三位数中， 数字 2 在 3 的左侧（不一定相邻）的三位数有 个（用具体数字
作答）。
16. 如图，从一点 O 引出三条射线 , ,OA OC OB 与直线 l 分别交于
, ,A C B 三 个 不 同 的 点 ， 则 下 列 命 题 正 确 的
是 。
①若 ,OC OA OB R ，则 1 ；
②若先引射线 ,OA OB 与 l 交于 ,A B 两点，且 ,OA OB
恰好是 夹角为
90 的单位向量，再引射线OC 与直线l 交于点C （C 在 ,A B 之间），则 OAC 的面积 1
8OACS 的概率是
1
4
；
③若 2, 1OA OB ，OA
和OC
的夹角为30 ，OB
和OC
的夹角为 45 ，则 6 2
4OC ；
④若 C 为 AB 中点，P 为线段OC 上一点（不含端点），且OP kOC ，过 P 作直线 m 分别交射线 ,OA OB
于 ,A B ，若 ,OA aOA OB bOB ，则 ab 的最大值是 2k 。
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本题满分 12 分 ）
已知数列 na 的各项均为正数, nS 为其前 n 项的和，且对于任意的 n N ,都有 24 1n nS a 。
（1）求 1 2,a a 的值和数列{ }na 的通项公式；
（2）求数列
1
1
n
n n
b a a
的前 n 项和 nT 。
18.（本题满分 12 分 ）
设不等式 2 2 4x y 确定的平面区域为U ， 1x y 确定的平面区域为V 。
（1）定义：横、纵坐标均为整数的点为“整点”，在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在
区域V 的概率；
（2）在区域U 内任取3个点，记这3个点在区域V 的个数为 X ，求 X 的分布列和数学期望。
20.（本题满分 12 分 ）
已知点 A 是抛物线 2 2 0y px p 上一点， F 为抛物线的焦点，准线 l 与 x 轴交于点 K ，
已知| | 2 | |AK AF ，三角形 AFK 的面积等于 8。
（1）求 p 的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线 1 2l l、 ，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G H、 ，
求| |GH 的最小值。
21.（本题满分 12 分 ）
已知函数 ( ) lnf x x a x 在 1x 处的切线 l 与直线 2 0x y 垂直，函数 21( ) ( ) 2g x f x x bx 。
（1）求实数 a 的值；
（2）若函数 ( )g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；
（3）设 1 2 1 2( )x x x x、 是函数 ( )g x 的两个极值点，若 7
2b ，求 1 2( ) ( )g x g x 的最小值。
选考题：本小题满分 10 分
请考生在第 22、23、24 三道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲
如图，梯形 ABCD 内接于⊙O，AD∥BC，过点 C 作⊙O 的切线，交 BD 的延长线于点 P，
交 AD 的延长线于点 E。
（1）求证：AB2＝DE·BC；
（2）若 BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线 PC 的长。
23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 2
2 3
x t
y t
（t 为参数），直线l 与曲线 2 2:( 2) 1C y x
交于 A B、 两点 。
（1）求线段 AB 的长；
（2）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为 3(2 2, )4
，求点 P 到线段 AB
中点 M 的距离。
24．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
设函数 ( ) | 4 | | |,f x x x a x R 。
（1）证明：当 1a 时，不等式 ln ( ) 1f x 成立；
（2）关于 x 的不等式 axf )( 在 R 上恒成立，求实数 a 的最大值。
2015 年红河州高中毕业生复习统一检测
理科数学参考答案
三、解答题
17. 解：（1） 1n 时， 2
1 1 14 ( 1) 1S a a
2n 时， 2
2 2 24 ( 1) 3S a a ……… （3 分）
2n 时， 2
1 14 ( 1)n nS a
2 2 2
14 ( 1) ( 1)n n na a a
1 1( ) ( 2) 0n n n na a a a
0na
1 2 0n na a
{ }na 是以为 1 首项，2 为公差的等差数列
2 1na n ……… （6 分）
（2） 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n
……… （8 分）
1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1nT n n
1 1(1 )2 2 1 2 1
n
n n
.……… （12 分）
18.解: （1）依题可知平面区域U 的整点为 0,0 , 0, 1 , 0, 2 , 1,0 , 2,0 , 1, 1 共有 13 个，
平面区域V 的整点为 0,0 , 0, 1 , 1,0 共有 5 个， …2 分
∴
2 1
5 8
3
13
. 40
143
C CP C
……4 分
F
R
A
D
B
C
P
（2）依题可得：平面区域U 的面积为： 22 4 ，平面区域V 的面积为： 1 2 2 22
，
在区域U 内任取 1 个点，则该点在区域V 内的概率为 2 1
4 2 ， …………5 分
易知： X 的可能取值为 0 1 2 3，，，， …………6 分[来
且 3 20 3 1 2
0 1
3 33 3
2 1 3 2 11 1 1 1( 0) 1 ( 1) 12 2 8 2 2 8P X C P X C
， ，
2 1 3 3
2 3
3 33 3
3 2 11 1 1 1 1( 2) 1 ( 3) 12 2 8 2 2 8P X C P X C
， …10 分
∴ X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 3
3
2 1
8
2
3
3 2 1
8
3
3 2 1
8
3
1
8
…………11 分
∴ X 的数学期望： 3 2
3 3 3 3
2 1 3 2 1 3 2 1 1 30 1 2 3 =8 8 8 8 2EX
……12 分
（或者： 1~ (3, )2X B
，故 1 3=3 2 2EX np ）
19. 解：（1）∵点 D 是 RC 的中点，且 RCBD 2 ，
所以点 B 在以点 D 为圆心，RC 为半径的圆上，
所以∠RBC=90º， …… 2 分
又因为点 A 是 RB 的中点，
∴ BCADBCAD 2
1,// ，
∴∠ RBCRADPAD =90º，
∴ ADPA ，
∴ BCPA
∵ AABPAABBC , ，
∴ BC ⊥平面 PAB ， …… 4 分
∵ PB 平面 PAB ，
∴ PBBC …… 6 分
（2）法 1：取 RD 的中点 F ，连结 AF 、 PF ，
∵ 1 ADRA ，∴ RCAF ，
∵ ADAPARAP , ，∴ AP 平面 RBC ，
∵ RC 平面 RBC ，∴ APRC ，
∵ ,AAPAF
∴ RC 平面 PAF ，
∵ PF 平面 PAF ，∴ PFRC ，
∴∠ AFP 是二面角 PCDA 的平面角， ……9 分
在 Rt△ RAD 中，
2
2
2
1
2
1 22 ADRARDAF ，
在 Rt△ PAF 中，
2
622 AFPAPF ，
3
3
2
6
2
2
cos
PF
AFAFP .
∴ 二面角 PCDA 的平面角的余弦值是
3
3 . ……12 分
法 2：建立如图所示的空间直角坐标系 xyzA ，
则 D （－1，0，0），C （－2，1，0）， P （0，0，1）.
∴ DC =（－1，1，0）， DP =（1，0，1）， ……8 分
设平面 PCD 的法向量为 n =（x，y，z），则：
0
0
zxDPn
yxDCn
，
令 1x ，得 1,1 zy ，∴ n =（1，1，－1），
显然， PA 是平面 ACD 的一个法向量， PA =（ ,0,0 1 ）， ……10 分
∴cos< n ， PA >=
3
3
13
1
PAn
PAn
，
∴二面角 PCDA 的平面角的余弦值是
3
3 . ……12 分
20. 解：（Ⅰ）设 0 0,A x y ，因为抛物线的焦点 ( 02
PF ，)，准线l 的方程为：
2
px 作 AM l 于 M
，
则 0 ,2
pAM x AF …………1 分
2 2AK AF AK AM AKM 又 得 ，即 为等腰直角三角形， …2 分
24. 解: (1) ： ( ) | 4 | | 1|f x x x 的最小值为 3
( ) 3f x e ，所以 ln ( ) 1f x 成立. (5 分)
(2) 由绝对值的性质得
( ) | 4 | | | | ( 4) ( ) | | 4 |f x x x a x x a a ，
所以 ( )f x 最小值为| 4 |a ，从而| 4 |a a ，解得 2a ，因此 a 的最大值为 2. (10 分)
微信/支付宝扫码支付