本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
参考公式：
样本数据 nxxx ,,, 21 的标准差 锥体体积公式
])()()[(1 22
2
2
1 xxxxxxns n ShV 3
1
其中 x 为样本平均数 其中 S 为底面面积， h 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
V Sh 32
3
4,4 RVRS
其中 S 为底面面积， h 为高 其中 R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.）
1．如图，设全集U R ， | 2M x x ， 0,1,2,3N ，
则图中阴影部分所表示的集合是
A． 3 B． 0,1 C． 0,1,2 D． 0,1,2,3
2．若命题 p ： 0 0,sin 1x R x ；命题 q ： 2, 1 0x R x ，则下列结论正确的是
A． p 为假命题 B． q 为假命题 C． p q 为假命题 D． p q 为真命题
3．已知函数 2log 1( 0)( ) (2 )( 0)
x xf x f x x
，则 (0)f
A． 1 B． 0 C．1 D． 3
4．某工厂对一批新产品的长度（单位：mm ）进行检测，如图是
检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为
A． 20
B． 25
C． 22.5
D． 22.75
（第 1 题图）
N M
U
（第 4 题图）
0.08
0.04
0.03
0.02
353025201510 长度(mm)
频率
组距
5．函数 cos xy e ( )x 的大致图象为
6．已知 ,A B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且 2AB ，则OB AB
A． 1 B．1 C． 2
2
D． 2
2
7．如图所示的程序框图输出的结果是 14S ，则判断框内应填的条件是
A． 7?i B． 15?i
C． 15?i D． 31?i
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，
则这个几何体的表面积是
A． 3
3
B． 3
2
C． 3 7 D． 3 7 1
9．已知 ,x y 满足 2
y x
x y
x a
，且目标函数 2z x y 的最小值为1，
则实数 a 的值是
A．1 B． 1
3
C． 1
4
D． 1
8
10．已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0, 0a b ）的渐近线与
圆 2 2( 2) 1x y 相切，则双曲线的离心率为
A． 4
3
B． 3
2
C． 2 5
5
D． 2 3
3
11．已知函数 ( ) sin( )4f x A x ( 0, 0)A 的部分图象如图所示， EFG 是边长为 2 的等边三角
形，为了得到 ( ) sing x A x 的图象，只需将 ( )f x 的图象
A．向左平移 1
2
个长度单位
B．向右平移 1
2
个长度单位
C．向左平移
4
个长度单位
D．向右平移
4
个长度单位
12．如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 4，点 E ， F
分别是线段 AB ， 1 1C D 上的动点，点 P 是上底面 1 1 1 1A B C D 内
一动点，且满足点 P 到点 F 的距离等于点 P 到平面 1 1ABB A 的
是
否
结束
（第 7 题图）
2S
0i
2 1i i
3S S
开始
S输出
（第 8 题图）
正视图 侧视图
俯视图
1 1 1
3
x
y
O x
y
O x
y
O x
y
O
A B C D
E
GFO
y
x
（第 11 题图）
（第 12 题图）
A B
CD
E
P
F 1C
1B1A
1D
距离，则当点 P 运动时， PE 的最小值是
A．5 B． 4 C． 4 2 D． 2 5
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置上.）
13．已知 i 是虚数单位，复数 2
1
i
i
的模为________ .
14．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，
若在平行四边形 ABCD 内部随机取一个点Q ，
则点 Q 取自 ABE 内部的概率是 _________ .
15．在 ABC 中，已知 sin 2sin
C
A
， 2b a ，那么 cos B 的值是 ___________.
16．定义：分子为 1 且分母为正整数的分数叫做单位分数. 我们可以把 1 拆分为无穷多个不同的单位分数之
和. 例如： 1 1 11 2 3 6
， 1 1 1 11 2 4 6 12
， 1 1 1 1 11 2 5 6 12 20
，……依此方法可得：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 6 12 30 42 56 72 90 110 132 156m n
， 其 中 *,m n N ， 则
m n .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分 12 分）
已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，公差 0d ， 2 4S ，且 2a ， 5a ， 14a 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）从数列 na 中依次取出第 2 项，第 4 项，第 8 项，……，第 2n 项，……，按原来顺序组成一
个新数列 nb ，记该数列的前 n 项和为 nT ，求 nT 的表达式．
18．（本小题满分 12 分）
如图，平面 1 1ABB A 为圆柱 1OO 的轴截面，点 C 为底面圆周上
异于 ,A B 的任意一点．
（Ⅰ）求证： BC 平面 1A AC ；
（Ⅱ）若 D 为 AC 的中点，求证： 1 //A D 平面 1O BC ．
19．（本小题满分 12 分）
某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试. 甲、乙两人参加了
5次考试，成绩如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成绩 82 87 86 80 90
乙的成绩 75 90 91 74 95
（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出 1 人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；
（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5 分，则称该次考试两人“水平相当”. 由上述5 次摸
底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
20．（本小题满分 12 分）
若函数 2 3( ) sin cos 3sin ( 0)2f x x x x 的图象与直线 mmy ( 为常数)相切，并且切
点的横坐标依次构成公差为 的等差数列．
（Ⅰ）求 及 m 的值；
（Ⅱ）求函数 ( )y f x 在 0,2x 上所有零点的和．
（第 14 题图）
A B
CD E
（第 18 题图）
A
1A 1O
1B
B
C
O
D
21．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 1C ：
2
2
2 1( 1)y x aa
与抛物线 2C ： 2 4x y 有相同焦点 1F ．
（Ⅰ）求椭圆 1C 的标准方程；
（Ⅱ）已知直线 1l 过椭圆 1C 的另一焦点 2F ，且与抛物线 2C 相切于第一象限的点 A ，设平行 1l 的直线
l 交椭圆 1C 于 ,B C 两点，当△OBC 面积最大时，求直线l 的方程．
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1-5 CABCC 6-10 BCDBD 11-12 AD
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
13． 2 14． 1
2
15． 1
4
16．33
18．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间
想象能力及推理论证能力．
证明：（Ⅰ） AB 为 O 的直径，点C 为 O 上的任意一点
BC AC ……………………………………………………………2 分
又圆柱 1OO 中， 1AA 底面 O
1AA BC ,即 1BC AA ………………………………………………4 分
而 1AA AC A
BC 平面 1A AC ………………………………………………6 分
（Ⅱ）（法一）取 BC 中点 E ，连结 DE 、 1O E ,
D 为 AC 的中点
ABC 中， //DE AB ,且 1
2DE AB ……………………………8 分
又圆柱 1OO 中， 1 1 //AO AB ,且 1 1
1
2AO AB
1 1//DE AO , 1 1DE AO
1 1A DEO 为平行四边形 ………………………………………………10 分
1 1//A D EO ……………………………………………………11 分
而 1A D 平面 1O BC ， 1EO 平面 1O BC
1 //A D 平面 1O BC ……………………………………………12 分
（法一图） （法二图）
（Ⅱ）证明：（法二）连结 DO 、 1AO ,
D 为 AC 的中点，O 为 AB 的中点
ABC 中， //DO BC
而 DO 平面 1O BC ， BC 平面 1O BC x k b 1
//DO 平面 1O BC ………………………………………………………8 分
又圆柱 1OO 中， 1 1 //AO OB ,且 1 1AO OB
1 1AOBO 为平行四边形
1 1//AO BO
而 1AO 平面 1O BC ， 1BO 平面 1O BC
1 //AO 平面 1O BC ……………………………………………………10 分
1DO AO O
平面 1 //A DO 平面 1O BC
1A D 平面 1A DO
1 //A D 平面 1O BC …………………………………………………12 分
19．【命题意图】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应
用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想.新*课*标*第*一*网
解：（Ⅰ）解法一：
依题意有 82 87 86 80 90 855x 甲
75 90 91 74 95 855x 乙 ……………………………………………2 分
2 2 2 2 2 21 6482-85 87 -85 86-85 80-85 90-855 5s 甲 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ……3 分
2 2 2 2 2 21 38275-85 90-85 91-85 74-85 95-855 5s 乙 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） …4 分
答案一： 2 285x x s s 乙 乙甲 甲， 从稳定性角度选甲合适. …………6 分
（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5 次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适. …………
6 分）
答案二： 2 285x x s s 乙 乙甲 甲， 乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适.…6 分
解法二：因为甲 5 次摸底考试成绩中只有 1 次 90 ，甲摸底考试成绩不低于 90 的概率为
1
5
； ………………………………………………………………………………2 分
乙 5 次 摸 底 考 试 成 绩 中 有 3 次 不 低 于 90 ， 乙 摸 底 考 试 成 绩 不 低 于 90 的 概 率 为
3
5
． ………………………………………………………………………………5 分
所以选乙合适． …………………………………………………6 分
A
1A 1O
1B
B
C
O
D E A
1A 1O
1B
B
C
O
D
（Ⅱ）依题意知5 次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为 , ,A B C .“水平不
相当”考试是第一次，第四次，记为 ,a b .
从 这 5 次 摸 底 考 试 中 任 意 选 取 2 次 有 , , , , , , , , ,ab aA aB aC bA bB bC AB AC BC 共 10 种 情
况． ……………………………9 分
恰 有 一 次 摸 底 考 试 两 人 “ 水 平 相 当 ” 包 括 共 , , , , ,aA aB aC bA bB bC 共 6 种 情
况． ……………………………10 分
5 次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率
6 3( ) 10 5P A ． ……………12 分
20．【命题意图】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、
函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归
转化思想．
解：（Ⅰ） 2 3( ) sin cos 3sin 2f x x x x
= 1 3 3sin 2 (1 cos2 )2 2 2x x
= 1 3sin 2 cos22 2x x
=sin(2 )3x …………………………………… 3 分
依题意得函数 ( )f x 的周期为 且 0 ， 22 2 x kb 1
1 ， 1m ……………………………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 sin(2 ) 03x 2 ( )3x k k Z
2 6
kx …………8 分
又 0,2x x 2 7 5, , ,6 3 6 3
………………………10 分
( ), 0,2y f x x 所有零点的和为 2 7 5 11
6 3 6 3 3
…………12 分
21．【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查
运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．
解：（Ⅰ）抛物线 yx 42 的焦点为 )1,0(1F ，
1c ，又 2 1, 2b a
椭圆方程为 12
2
2
xy ． ………………………………………………………4 分
（Ⅱ）（法一）设 ),( 00 yxA ， 00 x ， 0 0y
,4
1 2xy 1' ,2y x ,2
1
01
xkl
直线 1l 的方程为 )(2
1
4
1
00
2
0 xxxxy 即 ，2
00 4
1
2
1 xxxy 且过点 2 (0, 1)F
2
0 0
11 24 x x ， ， ,12
1
01
xkl
切线 1l 方程为 1 xy …………………………6 分
因为 1//l l ，所以设直线l 的方程为 mxy ，
由
12
2
2
xy
mxy
，消 y 整理得 ,0223 22 mmxx …………………………7 分
2 24 12( 2) 0m m ，解得 20 3m ①
设 1 1( , )B x y ， 2 2( , )C x y ，则
2
1 2 1 2
2 2, ,3 3
m mx x x x
∴
2 2
2
1 2 1 2
4 4( 2)| | 1 1 ( ) 4 2 9 3
m mBC x x x x
2
22
263
22
9
)2(1242 mmm …………………………8 分
直线 l 的方程为 0 myx ，
点O 到直线 l 的距离为
2
md ………………………………………9 分
21 1 2 2 | || | 6 22 2 3 2OBC
mS BC d m
2 2
2 2(6 2 ) 2 (3 )3 3
m m m m ， ………………………………10 分
由① 20 3m ， 23 0m
2 2
2 2 3 9(3 ) 2 4
m mm m （当且仅当 2 3
2m 即 6
2m 时，取等号）
OBCS 最大 2
2
所以，所求直线l 的方程为： 6
2y x ． ……………………………………12 分
（法二） 2 (0, 1)F ，由已知可知直线 1l 的斜率必存在，
设直线 1 : 1l y kx
由 2
1
4
y kx
x y
消去 y 并化简得 2 4 4 0x kx
∵直线 1l 与抛物线 2C 相切于点 A .
∴ 2( 4 ) 4 4 0k ，得 1k . ………………………………5 分
∵切点 A 在第一象限.
∴ 1k ………………………………6 分
∵l ∥ 1l
∴设直线l 的方程为 y x m
由 2
2 12
y x m
y x
，消去 y 整理得 2 23 2 2 0x mx m ， …………………7 分
2 2(2 ) 12( 2) 0m m ，解得 3 3m .
设 1 1( , )B x y ， 2 2( , )C x y ，则
1 2
2
3
mx x ，
2
1 2
2
3
mx x
2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2| | ( ) 4 ( ) 4 33 3 3
m mx x x x x x m . ……8 分
又直线l 交 y 轴于 (0, )D m
2 2 2
1 2
1 1 2 2 2| | | | | | 3 (3 )2 2 3 3OBCS OD x x m m m m …10 分
2 22 3 9( )3 2 4m
当 2 3
2m ，即 6 ( 3, 3)2m 时， max
2( ) 2OBCS . …………11 分
所以，所求直线l 的方程为 6
2y x . ………………………………12 分
22．【命题意图】本题为导数、与不等式的综合,主要考查导数的应用.考查考生综合运用知识的能力及分
类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．
解：（Ⅰ） 2( )f x x a ， 7(1) 3f a ， (1) 1f a …………………………3 分
切线方程为 7( ) (1 )( 1)3y a a x ， …………………………4 分
令 0x ，得 4
3y 为定值 …………………………………………5 分
（Ⅱ）由 2+ [ ( ) ]xxe m f x a m x 对 0x 时恒成立，
得 2 2+ 0xxe mx m x 对 0x 时恒成立，
即 2+ 0xe mx m 对 0x 时恒成立，
2
min( + ) 0xe mx m ………………………7 分
记 2( ) xg x e mx m ，
( ) xg x e m ， 0, 1xx e
若 1m ， '( )g x ， ( )g x 在[0, ) 上为增函数，
2
min( ) (0) 1 0g x g m
1 1m …………………………………………10 分
若 1m ，则当 0,ln(-x m ）时， '( )g x ， ( )g x 为减函数，
则当 ( ln( , )x m ) 时， '( )g x ， ( )g x 为增函数，
2
min( ) (ln ) + ln (1 ln + ) 0g x g m m m m m m m m （ ） （ ） （ ）
1 ln + 0m m （ ） ， ………………………12 分
令 m t ，则 ln 1 0t t ( 1)t ，
( ) ln 1t t t 显然是增函数，
1, ( ) (1) 0t t ， 1t 即 1m 不合题意. ……………13 分
综上，实数 m 的取值范围是 1 1m ． ………………………14 分
微信/支付宝扫码支付