2015龙岩市质检数学（理）试题及答案

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1． 2sin15 cos15  = A． 2 1 B． 2 1 C． 2 3 D． 2 3 2．命题“对任意实数 x [1,2] ，关于 x 的不等式 2 0x a  恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是 A． 4a  B． 4a  C． 3a  D． 3a  3．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为 A． 20 B． 25 C． 22.5 D． 22.75 4．已知复数 ( 2)z a a i   （ ,a R i 为虚数单位）为实数， 则 2 0 ( 4 ) a x x dx  的值为 A． 2 B． 22  C． 24  D． 44  5．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形， 则这个几何体的表面积是 A． 3 3 B． 3 2 C． 3 7 D． 3 7 1  6．如图， BA, 分别是射线 ONOM , 上的两点，给出下列向量：① 2OA OB  ； ② 1 1 2 3OA OB  ；③ 3 1 4 3OA OB  ；④ 3 1 4 5OA OB  ；⑤ 3 1 4 5OA OB  若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有 A．①② B．②④ C．①③ D．③⑤ 7．已知过抛物线 xy 122  焦点的一条直线与抛物线相交于 A ， B 两点，若 14AB ，则线段 AB 的中点 到 y 轴的距离等于 A．1 B． 2 C． 3 D． 4 8 ． 若 函 数 1)62sin(2)(  axxf  )( Ra  在 区 间     2,0  上 有 两 个 零 点 21, xx )( 21 xx  ， 则 axx  21 的取值范围是 0.08 0.04 0.03 0.02 353025201510 长度(mm) 频率 组距 （第 3 题图） （第 5 题图） 正视图 侧视图 俯视图 1 1 1 3 （第 6 题图） A B N M O A． )13,13(   B． )13,3[  C． )13 2,13 2(   D． )13 2,3 2[  9．已知函数 )(xfy  是 R 上的减函数，且函数 )1(  xfy 的图象关于点 A )0,1( 对称．设动点 M ),( yx ， 若实数 yx, 满足不等式 0)6()248( 22  xyfyxf 恒成立，则 OMOA 的取值范围是 A． ),(  B． ]1,1[ C． ]4,2[ D． ]5,3[ 10．定义：分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数．我们可以把 1 分拆为若干个不同的单位分数之 和． 如： 1 1 11 2 3 6    ， 1 1 1 11 2 4 6 12     ， 1 1 1 1 11 2 5 6 12 20      ，…… 依此类推可得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 6 12 30 42 56 72 90 110 132 156m n              ， 其中 nm  ， *,m n N ．设 nymx  1,1 ，则 1 2   x yx 的最小值为 A． 2 23 B． 2 5 C． 7 8 D． 3 34 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上. 11．如右图所示的程序执行后输出的结果 S 为 ． 12．二项式 2 5 3 1( )x x  展开式中的常数项为 （用数字作答）. 13．已知点P 在渐近线方程为 034  yx 的双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 上，其中 1F ， 2F 分别为其左、右焦点．若 1 2PF F 的面积为 16 且 1 2 0PF PF    ，则 a b 的值为 ． 14．若用 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个数字的奇偶性不同 的六位数，则这样的六位数共有 个（用数字作答）． 15．已知动点 P 在函数 2 4)(  xxf 的图像上，定点 )2,4( M ，则线段 PM 长度的最小值是 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 16.（本小题满分 13 分） 已知在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ， ( 3 ) ( )( )b b c a c a c    ，且 B 为钝角． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 1 2a  ，求 3b c 的取值范围． 17.（本小题满分 13 分） 某运动队拟在 2015 年 3 月份安排 5 次体能测试，规定：依次测试，只需有一次测试合格就不必参加 后续的测试．已知运动员小刘 5 次测试每次合格的概率依次构成一个公差为 9 1 的等差数列，他第一次测试 合格的概率不超过 9 4 ，且他直到第二次测试才合格的概率为 27 8 ． （Ⅰ）求小刘第一次参加测试就合格的概率； （Ⅱ）在小刘参加第一、第二次测试均不合格的前提下，记小刘 参 加 后 续 测试的次数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望． 18.（本小题满分 13 分） （第 11 题图） 1i  0S  WHILE 5i  S S i  1i i  WEND PRINT S END A F D CB E N O （第 18 题图） 如图，已知 ,AC BD 是圆O 的两条互相垂直的直径，直角梯形 ABEF 所在平面与圆O 所在平面互相 垂直，其中 90FAB EBA     ， 2BE  ， 6AF  ， 4 2AC  ，点 N 为线段 EF 中点． （Ⅰ）求证：直线 //NO 平面 EBC ； （Ⅱ）若点 M 在线段 AC 上，且点 M 在平面CEF 上的射影为线段 NC 的中点，请求出线段 AM 的 长． 19.（本小题满分 13 分） 如图，已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 3 ，其 左、右顶点分别为 1 2( 3,0), (3,0)A A ．一条不经过原点的直线 l y kx m ： 与该椭圆相交于 M 、 N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ ）若 0m k  ，直 线 1A M 与 2NA 的斜 率分别 为 1 2,k k ．试 问：是否存在实数  ，使得 1 2 0k k  ？若存在，求  的值；若不存在，请说明理由． 20.（本小题满分 14 分） 已知函数 1 )()(   x eaxxf x （ e 为自然对数的底数），曲线 )(xfy  在 ))1(,1( f 处的切线与直线 0134  eyx 互相垂直. （Ⅰ）求实数 a 的值； （Ⅱ）若对任意 ),3 2( x ， )12()()1(  xmxfx 恒成立，求实数 m 的取值范围； （Ⅲ）设 ( 1) ( )( ) ( )x x f xg x x e e   ， 1 2 3 11 2[g( ) g( ) g( ) g( )]n nT n n n n       ( 2,3 )n   ．问：是 否存在正常数 M ，对任意给定的正整数 ( 2)n n  ，都有 3 6 9 3 1 1 1 1 n MT T T T      成立？若存在，求 M 的最小值；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分 14 分） 本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题 7 分，请考生任选 2个小题作答，满分 14 分．如 果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所 选题号填入括号中． （1）已知二阶矩阵 2 1M a b      ),( Rba  ，若矩阵 M 属于特征值 1 的一个特征向量       3 1 1 ，属于 特征值 3 的一个特征向量       1 1 2 ． （Ⅰ）求实数 ba, 的值； （Ⅱ）若向量 3 5        ，计算 5M  的值． （2）在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为         ty tx 2 32 2 1 （t 为参数），若以原点O 为极点, x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为  cos4 ，设 M 是圆C 上任一点，连结 OM 并延长到Q ，使 MQOM  ． （Ⅰ）求点Q 轨迹的直角坐标方程； （第 19 题图） 1A 2A N O y x M （Ⅱ）若直线l 与点Q 轨迹相交于 BA, 两点，点 P 的直角坐标为(0,2) ，求 PBPA  的值． 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法 与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则． 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部 分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 50 分． 1-5 ACCAD 6-10 BDBCC 二、填空题：本题考查基础知识和基本运 算，每小题 4 分，满分 20 分． 11．15 12．10 13．7 14．288 15． 32 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ ）由 ( 3 ) ( )( )b b c a c a c    得 2 2 23b bc a c   ，得 2 2 2 3b c a bc   于是 2 2 2 cos 2 b c aA bc   3 2  又 (0, )A  ，∴ 6A  ……………………………………………6 分 （Ⅱ）∵ B 为钝角 于是 2A C   ，又 6A  ，∴ 0 3C   由正弦定理可知， 1 22 11sin 2 aR A    所以 3b c sin 3sinB C  5sin( ) 3sin6 C C   1 3cos sin2 2C C  cos( )3 C  又 0 3C   ， 2 3 3 3C     ∴ 3b c cos( )3 C  1 1,2 2      …………………………………………13 分 17.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）设小刘五次参加测试合格的概率依次为 1 2 3 4 4, , , , ( )9 9 9 9 9p p p p p p     ， 则 ,27 4)9 1)(1(  pp 即 052427 2  pp ， 0)59)(13(  pp ， 解得 3 1p 或 9 5p （舍去） 所以小刘第一次参加测试就合格的概率为 3 1 . …………………………6 分 （Ⅱ） 的可能取值为 1，2，3， 1 2 5 45( 1) 3 9 9 81P       ， 5 6 24( 2) (1 )9 9 81P      ， 5 6 12( 3) (1 )(1 )9 9 81P       ， 所以 的分布列为  1 2 3 P 45 81 24 81 12 81 45 24 12 129 431 2 3 .81 81 81 81 27E         ………………………………13 分 18.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）由题设 ,ABAF  且平面 ABEF 平面 ABCD ，可知 AF 平面 ABCD 又 BD 是圆的直径， ,ADAB  因此，以点 A 为原点可建立空间直角坐标系如图 由于 ,AC BD 是圆O 的两条互相垂直的直径，且 4 2AC  所以四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形 则 )0,0,4(B ，， )0,4,4(C ， )0,2,2(O ， )2,0,4(E ， )6,0,0(F ， )4,0,2(N EBAB , ， BCAB , ， )0,0,4( AB 是平面 EBC 的法向量 )4,2,0( NO ， 0)4,2,0()0,0,4(  NOAB 所以直线 //NO 平面 EBC ………………………………………7 分 （Ⅱ）点 M 在线段 AC 上，可设 )0,4,4()0,4,4(   ACAM NC 的中点为 )2,2,3(Q ， )2,42,43(  MQ ， 由题设有 MQ 平面CEF )4,0,4(EF ， )2,4,0( EC ，      04)42(4 08)43(4   ECMQ EFMQ 解得 4 1 )0,1,1()0,4,4(  AM ， 线段 AM 的长为 2AM ………………………………13 分 19.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ）由题设可知 3a  因为 2 2 3e  即 2 2 3 c a  ，所以 2 2c  ．又因为 2 2 2 9 8 1b a c     A F D C B E N O （第 18 题图） x z y 所以椭圆C 的方程为： 2 2 19 x y  ………………………………………4 分 （Ⅱ）解法一： 由 0m k  知: (1,0)D ， …………………………………………………5 分 设直线 1A M 的方程为 1( 3)y k x  ，直线 2NA 的方程为 2 ( 3)y k x  ． 联立方程组 1 2 2 ( 3) 19 y k x x y     ，消去 y 得: 2 2 2 1 1 1(1 9 ) 54 81 9 0k x k x k     解得点 M 的坐标为 2 1 1 2 2 1 1 3 27 6( , )1 9 1 9 k kM k k    ． ……………………8 分 同理，可解得点 N 的坐标为 2 2 2 2 2 2 2 27 3 6( , )1 9 1 9 k kN k k     ……………………9 分 由 , ,M D N 三点共线，有 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 6 6 1 9 1 9 3 27 27 31 11 9 1 9 k k k k k k k k      ， ………………10 分 化简得 2 1 1 2( 2 )(18 2) 0k k k k   ． 由题设可知 k1 与 k2 同号，所以 2 12k k ，即． 1 2 1( ) 02k k   …………12 分 所以，存在 1 2    使得使得 1 2 0k k  . ……………………………13 分 解法二： 由 0m k  知， km  ， 直线l 方程化为 )1(  xky ，所以l 过定点 (1,0)D ……………………5 分 当直线l 的倾斜角  时， )3 22,1(M ， )3 22,1( N 此时 6 2 1 k ， 3 2 2 k ， 2 1 2 1  k k 由此可猜想：存在 2 1 满足条件，下面证明猜想正确 …………………7 分 联立方程组 09918)91( 19 )1( 2222 2 2       kxkxk yx xky ， 设 ),(),,( 2211 yxNyxM ， 则 2 2 21 91 18 k kxx  ， 2 2 21 91 99 k kxx   …………………10 分 31 1 1  x yk ， 32 2 2  x yk 所以 1 2    时， 32 1 3 2 2 1 1 21  x y x ykk  = )3)(3(2 )3)(1()3)(1(2 21 1221   xx   )3)(3(2 )955( 21 1221 xx xx )3)(3(2 )991 18591 99( 21 2 2 2 2    xx k k k kk 0)3)(3)(91(2 )8199099( 21 2 222   kkkk ………………………………12 分 由此可得猜想正确，因此，存在 2 1 使得 1 2 0k k  成立 ………13 分 20.（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ） 2)1( )()1]()([)(   x eaxxeaxexf xxx 2 2 )1( ]1)1([   x xaxex 依题意得： eeaf 4 3 4 )3()1(  ， 0a ……………………………4 分 （Ⅱ）对任意的 ),3 2( x ， )12()()1(  xmxfx 恒成立等价于 0)12(  xmxe x 对 ),3 2( x 恒成立，即 12  x xem x 对 ),3 2( x 恒成立 令 )3 2(12)(  xx xext x , 则 最小)(xtm  2 2 )12( )12()(   x xxext x  由 0)(  xt 得： 1x  或 1 2x   （舍去） 当 )1,3 2(x 时， 0)(  xt ；当 ),1( x 时， 0)(  xt )(xt 在 )1,3 2( 上递减，在 ),1(  上递增 etxt  )1()( 最小 em  ………………………………………9 分 （Ⅲ） ( 1) ( )( ) ( )x x f xg x x e e   = x x ee e  ee e eee e ee exg xxx x         1 1 )1( ， 1)1()(    x x ee eexgxg ……………………………10 分 因此有 )1,,3,2,1(,1)()(  nkn kngn kg  由 1 2 3 11 2[g( ) g( ) g( ) g( )]n nT n n n n       )]1()2()1([21 ngn ngn ngTn   得 nnTn 2)1(22]111[222   ， nTn  …………………………11 分 3 6 9 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )3 1 2 3nT T T T n           ，取 2mn  ( *m N )， 则  n 1 3 1 2 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )1 2 3 4 5 6 7 8 2 m         0 1 2 1 2 3 1 1 1 11 2 2 2 22 2 2 2 m m           1 2 m  ， ………………12 分 当 m 趋向于  时，1 2 m 趋向于  ． ……………………………13 分 所以，不存在正常数 M ，对任意给定的正整数 ( 2)n n  ， 都有 3 6 9 3 1 1 1 1 n MT T T T      成立． …………………………14 分 （2）（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y   ，设 ( , )Q x y ，则 ( , )2 2 x yM ， ∴ 2 2( 2) ( ) 42 2 x y   ∴ 2 2( 4) 16x y   这就是所求的直角坐标方程. ……………3 分 （Ⅱ）把 1 2 32 2 x t y t       代入 2 2( 4) 16x y   ，即代入 2 2 8 0x y x   得 2 21 3 1( ) (2 ) 8( ) 02 2 2t t t      ，即 2 (4 2 3) 4 0t t    令 ,A B 对应参数分别为 1 2,t t ，则 0)324(21  tt ， 1 2 4 0t t   所以 3242121  ttttPBPA . …………………7 分 （3）（Ⅰ） 21)(  xxxf , 由 0)( xf 得 21  xx  4412 22  xxxx  2 1x ， 所以所求不等式的解集为      2 1, . ………………………………4 分 （Ⅱ）当 1b 时，        1,4)2( 21,4)2( 2,4)2( )( xaxa xaxa xaxa xf 因为 ( )f x 既存在最大值，也存在最小值， 所以 02 a ，所以 2a 所以 a 的取值集合为 2 . ………………………………………7 分