2015江南十校高三联考数学（文）试题及答案

2015 年安徽省“江南十校”高三联考 数 学（文科） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、复数 2 2 i i   （i 为虚数单位）的虚部为（ ） A．3 5 B．4 5 C．3 5 i D．4 5 i 2、设集合  ln , 1y y x x    ，集合  24x y x    ，则  R   ð （ ） A． B． 0,2 C． 2, D．   , 2 2,   3、设命题 :p  3,1a  ，  ,2b m ，且 //a b  ；命题 :q 关于 x 的函数  2 5 5 xy m m a   （ 0a  且 1a  ）是指数函数，则命题 p 是命题 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、运行如图所示的程序框图后，输出的结果是（ ） A．0 B．1 C． 21 2  D．1 2 5、设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 3 2S  ， 6 6S  ， 则 13 14 15a a a  的值是（ ） A．18 B． 28 C．32 D．144 6、若函数 2 1xy a   （ 0a  且 1a  ）的图象经过定点  ,m n ，且过点  Q 1,m n 的 直线l 被圆C: 2 2 2 2 7 0x y x y     截得的弦长为3 2 ，则直线l 的斜率为（ ） A． 1 或 7 B． 7 或 4 3 C．0 或 4 3 D．0 或 1 7、已知点  0,1 、  2,3  、  C 1,2 、  D 1,5 ，则向量 C 在 D 方向上的投影 为（ ） A．2 13 13 B． 2 13 13  C． 13 13 D． 13 13  8、已知函数   1 33 sin 1 cos2 2f x a x a x              ，将  f x 图象向右平移 3  个单 位长度得到函数  g x 的图象，若对任意 Rx ，都有   4g x g      成立，则a 的值 为（ ） A． 1 B．1 C． 2 D．2 9、已知函数        1 2 0 1 0 x xf x f x x       若函数    g x f x x a   在 R 上恰有两个相异 零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A． 1,  B． 1,  C． ,0 D． ,1 10、在正方体 1 1 1 1CD C D    中， ①经过点  垂直于平面 1 D  的直线也垂直于平面 1 1D C ； ②设为 C 和 D 的交点，则异面直线 1 与 1C 所成的角是 6  ； ③若正方体的棱长为 2 ，则经过棱 1 1D C 、 1 1C 、 1 中点的正方体的截面面积为 3 3 ； ④若点  是正方形 CD 内（包括边界）的动点，点 Q 在对角线 1C 上，且满足 1Q C   ， Q   ，则点 的轨迹是线段． 以上命题正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．） 11、命题：“存在 Rx ，使得 2 21 1 0x x    ”的否定是 ． 12、   3 0 log 2sin330 2 1 3    ． 13、若实数 x ， y 满足约束条件 4 3 0 2 6 0 x x y x y          ，则 2 1 y x  的取值范围为 ． 14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点．现有一只蚂蚁从坐标平面的原 点出发，按如下线路沿顺时针方向爬过格点：    1 1,0   2 1, 1    3 0, 1    4 1, 1     5 1,0    6 1,1    7 0,1   8 1,1   9 2,1     12 2, 2      16 2, 2       20 2,2      25 3,2   ，则蚂蚁在爬行过程中经过的第350个 格点 350 坐标为 ． 15、若曲线C 上任意一点与直线l 上任意一点的距离都大于1，则称曲线C “远离” 直线l ．在下列曲线中，“远离”直线 :l 2y x 的曲线有 ．（写出所 有符合条件的曲线C 的编号） ①曲线C: 2 5 0x y   ；②曲线C: 2 92 4y x x    ； ③曲线C:  22 5 1x y   ；④曲线C: 1xy e  ； ⑤曲线C: ln 2y x  ． 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．） 16、（本小题满分 12 分）已知函数   4sin cos 16f x x x       ．   求函数  f x 的最小正周期；   在 C 中，角  ， ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若   2f   ， 3a  ， C 3S  求 2 2b c 的值． 17、（本小题满分 12 分）某校高三文科（1）班学生参加“江南十校”联考，其数 学成绩（已折合成百分制）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分布区间为  40,50 ， 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 ，现已知成绩落在 90,100 的有5人．   求该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数；   根据频率分布直方图，估计该班此次数学成绩的平均分（可用中值代替各组数 据的平均值）；   现要从成绩在 40,50 和 90,100 的学生中共选2 人参加某项座谈会，求 2 人来 自于同一分数段的概率． 18 、（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列  na 满 足 2 2 12 4n n n n na a a a a     （ n  ），且 1 1a  ， 2 4a  ．   证明：数列 na 是等差数列；   设 1 2 1 n n n nb a a   ， nb 的前 n 项和为 nS ，求证： 1nS  ． 19、（本小题满分 13 分）如图，圆柱 1 的底面圆半径为 2 ， CD 为经过圆柱轴 1 的截面，点在 上且  1 3    ，Q为 D 上任意一点．   求证： Q   ；   若直线 D 与面 CD 所成的角为30 ，求圆柱 1 的体 积． 20、（本小题满分 13 分）已知函数    1ln 1 a xf x a x x    ，其中 0a  ．   当 1a  时，求曲线  y f x 在   1, 1f 处的切线方程；   讨论  f x 在其定义域上的单调性． 21、（本小题满分 13 分）已知椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）经过点 31, 2      ，它的 左焦点为  F ,0c ，直线 1 :l y x c  与椭圆C 交于  ， 两点， F 的周长为 3a ．   求椭圆C 的方程；   若点是直线 2 :l 3y x c  上的一个动点，过点 作椭圆C 的两条切线 、 ，  、  分别为切点，求证：直线 过定点，并求出此定点坐标．（注：经过椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）上一点 0 0,x y 的椭圆的切线方程为 0 0 2 2 1x x y y a b   ） 参考答案 1. B ． 22 (2 ) 3 4 2 (2 )(2 ) 5 5 i i ii i i       ，故选 B 2.C ．    0 , 2 2A x x B x x      ，  = 2 x 2 ,RC B x x   或  = 2 ,RA C B x x   故选C 3. A ．命题 :3 2 0, 6p m m    ；命题 2: 5 5 1 1 6q m m m    由 得 或 ，故选 A 4. A ．由程序框图可知，最后输出的 2 15sin sin sin 04 4 4p        ，故选 A 5. C ． 由 等 比 数 列 性 质 可 知 3 6 3 9 6 12 9 15 12,S S S S S S S S S   ， ， ， 也 成 等 比 ， 易 求 出 13 14 15 15 12 32a a a S S     , 故选C 6. A ． (2 2), (1 2)P Q， ， ,设 2 ( 1), 2 0l y k x kx y k      ： 即 ，圆 C： 2 2( 1) ( 1) 9x y    ， 圆心 -1,1C（ ）到l 的距离 2 2 2 1 2 33 ( 2)21 k kd k        2 8 7 0k k    ， 1 7,k   或 故选 A 7. D ． ( 11), (3 2),AC BD      ， ， AC  在 BD  方 向 上 的 投 影 为 2 2 1 3 1 2 1 133 2 AC BD BD           13 13   ,故选 D 8. D ． 1 3( ) sin cos 3sin cos2 2f x a x a x x x    = sin( ) 2cos( )3 3a x x    ( ) ( ) sin 2cos3g x f x a x x     ，由题意得 (g x）图象关于直线 4x  对称， ( ) (0), 22g g a    ，故选 D 9 B ． ( ) 0 ( )g x f x x a     ，当  1,0x  时，  1 0,1x   ， ( ) ( 1) 1f x f x x    ， 故把 y x 图象在 0,1 上的部分向左平移 1 个单位得到 ( )f x 在 1,0 上的图象，再把 ( )f x 在  1,0 上的图象每次向左平移 1 个单位连续平移就得到 ( )f x 在 R 上的图象，再作出 y x a   的图象，由图象可得 1a  ， 1a   ，故选 B 10. D ．易证 1 / /A BD 面 1 1B D C 选，①正确； 1 1/ /A B D C ， 1OC D 就是异面直线 1AB 与 1OC 所 成 的 角 ． 1,BD OC BD CC  ， BD  面 1OCC ， 1BD OC  ， 又 1 1 1 2 2OD BD C D  ， 1 6OC D   ，②正确；设棱 1 1 1 1 1 1, , , , ,B D B C BB AB AD DD 的中 点分别为 , , , , ,E F G H M N ，则过点 , ,E F G 的正方形截面就是正六边形 EFGHMN ，  236 2 3 34S     ，  ③ 正 确 ； 连 结 1A P ， 易 证 1AA AP ， 又 1PQ AC ， 1 1,PA PQ PA PA  ， 1 1 1 1,Rt A PA Rt A PQ A A AQ     ， Q 为 1AC 上定点，又 PA PQ ， 点 P 在线段 AQ 的中垂面上，点 P 在 AQ 的中垂面与正方形 ABCD 的交线上，④正确； 故选 D 11.对任意 x R ，都有 2 21 1 0x x    ． 12. 5 2 原式 1 5sin( 30 ) 1 2 32 2         ． 13. 4 ,45     2 1 y x  可 看 作 点  1,0P  与 点  ,x y 连 线 斜 率 的 2 倍 ， 画 出 可 行 域 ， 由 4 2 6 0 x x y      得  4, 2A  , 由 3 0 2 6 0 x y x y        得  1,4B , 2 , 2,5PA PBk k    2 1 y x  的 取 值 范 围 为 4 ,45     ． 14. 1,9 以 O 为中心，边长为 2 的正方形上共有格点 1 8a  个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为  1,1 以O 为中心，边长为 4 的正方形上共有格点 2 16a  个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为  2,2 以O 为中心，边长为 6 的正方形上共有格点 3 24a  个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为  3,3 ……… 以O 为中心，边长为 2n 的正方形上共有格点 8na n 个，且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为  ,n n ， 由 前 n 个 正 方 形 上 格 点 的 总 数 1 2 3nS a a a    … 8 16 24na     … (8 8 )8 3502 n nn    得 9n  ． 当 9n  时 ， 前 9 个 正 方 形 上 格 点 的 总 数 9 9(8 72) 3602S   ，且蚂蚁在第 9 个正方形（边长为 18 ）上爬过的最后一个格点为  360 9,9A ，故蚂蚁在爬行过程中经过的第 350 个格点 350A 坐标为 1,9 ． 15.②③⑤ 对①： 2 5 1 2 1 d     ， 不合题意；对②：设直线 1 : 2l y x b  与曲线 2 9: 2 4C y x x    相 切 ， 把 2y x b  代 入 2 92 4y x x    得 2 9 04x b   ， 由 90 4 04 b        ，得 9 4b   ，此时直线 1l 与l 的距离 9 814 1805 d    ，符合题意； 对③：圆心  0,5C 到直线 l 的距离 0 5 5 5 d   ，圆 C 上的点到 l 距离的最小值为 5 1 1  ，符合题意；对④：设曲线C 上斜率为 2 的切线的切点为  0 0,P x y ， ' xy e ， 0 0 ' 2,x x xk y e    0 ln 2x  ，  ln 2,3P ， 切 线 ：  3 2 ln 2y x   ， 即 ： 2 3 2ln 2 0x y    ，  切 线 与 C 的 距 离 3 2ln 2 3 ln 4 5 5 d    ，  ln 4 1,2 ，  3 ln 4 1,2   ，而 5 2, 1d   ，不合题意；对⑤：设切点为  0 0,P x y ， ' 1y x  ， 0 ' 0 1 2,x xk y x    0 1 2x  ， 1 , 2 ln 22P      ， 1 ln 2 2 3 ln 2 1, 5 5 d       符合 题意。 16.解：（I）   4sin cos cos sin sin 16 6f x x x x       = 22 3sin cos 2sin 1x x x  = 3sin 2 cos2 2sin 2 6x x x       …………3 分 2 2T     …………5 分 （II）   2sin 2 2, sin 2 16 6f A A A                , 又 130 , 2 , 2 ,6 6 6 6 2 6A A A A               …………7 分 1 sin 3, 4 32ABCS bc A bc     …………9 分 又 2 2 2 2 2 23 2 cos 12a b c bc A b c       ， 2 2 21b c   …………12 分 17.解：（I）该校高三文科（1）班参加“江南十校”联考的总人数为 5 500.010 10  （人） ……………………3 分 （II）平均分 45 0.06 55 0.16 65 0.20 75 0.28 85 0.20 95 0.10x             2.7 8.8 30 21 9.5 72      （分） …………7 分 (Ⅲ) 成绩在 40,50 中共有 0.006 10 50 3   （人），记为 , ,a b c …………8 分 成绩在 90,100 中共有 0.010 10 50 5   （人），记为 1，2，3，4，5 总的基本事件有       , , , , ,1 , , 4,5a b a c a  共 28 个，其中 2 人来自同一分数段的基本事 件有           , , , , , , 1,2 , 1,3 , , 4,5a b a c b c  共 13 个 …………11 分 故概率 13 28P  …………12 分 18.（Ⅰ） 2 2 12 4n n n n na a a a a     且 0na  2 2 2 1) (2 )n n na a a   （ 2 12n n na a a    …………3 分  na 是首项为 1 =1a ，公差为 2 1 1a a  的等差数列 ………… 5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21 ( 1) 1 ,n na n n a n      …………7 分    2 222 2 1 1 1 1 1n nb nn n n       ……………………9 分 2 2 2 1 1 11 2 2 3nS      …  22 1 1 1n n     2 11 1 1n     ……………………12 分 19.证明：（I）连接 PA ， AB 为 O 的直径， PA PB  …1 分 又 AD PAB 面 ， ,PB PAB PB AD  面 ……2 分 又 ,PA AB A PB PAD    面 …………4 分 又 AQ PAD 面 ， AQ PB  …………5 分 （II）过点 P 作 PE AB ， E 为垂足，连结 DE ， 1 , ,OO PAB ABCD PAB PE ABCD     面 面 面 面 …………6 分 PDE 就是直线 PD 与 ABCD面 所成的角， 30PDE   …………8 分 又 » ¼1 3AP APB ， 1 1, 3O E PE   ， 又 tan PEPDE DE    22 2 23, 3 2 1 2 2DE AD DE AE        ……11 分 22 2 2 8 2V Sh        …………13 分 20.（Ⅰ）当 1a  时， 2( ) ln 1 xf x x x    ， / 2 2 1 2( 1) 2 1 2( ) ( 1) ( 1) x xf x x x x x       …… 2分 / 1 1(1) 1 2 2f    ，又 (1) 1f   切线方程为 1( 1) ( 1)2y x    即 1 3 2 2y x  ……5分 E O1 A B P CD O Q 第 19 题 （Ⅱ） ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 2 / 2 2 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)( ) ( 1) ( 1) a a x a x ax a x af x x x x x           …… 6分 ①当 0a  时， / 2 2 1( ) 0( 1) ( 1) xf x x x x       ( )f x 在 (0, ) 上单调递减 …… 7分 ②当 0a  时，设 2( ) ( 1) ( (0, ))g x ax a x a x      （ a ）当 2 2 2( 1) 4 3 2 1 0a a a a         即 1 3a  时， / ( ) 0,f x  ( )f x 在 (0, ) 上单调递增 ………… 9分 （b ）当 23 2 1 0a a      即 10 3a  时， 由 ( ) 0g x  得 21 3 2 1 2 a a ax a      2 2 2(1 ) ( 3 2 1) 4 0a a a a       2 2 1 2 1 3 2 1 1 3 2 10 2 2 a a a a a ax xa a               当 1(0, )x x 和 2( , )x  时， / ( ) 0f x  ， 当 1 2( , )x x x 时， / ( ) 0f x  ，  ( )f x 单调递增区间为 1(0, )x 和 2( , )x  ， ( )f x 单调递减区间为 1 2( , )x x ………… 12分 综上，当 0a  时， ( )f x 单调递减区间为 (0, ) ； 当 10 3a  时， ( )f x 单调递增区间为 1(0, )x 和 2( , )x  ，单调递减区间为 1 2( , )x x ； 当 1 3a  时， ( )f x 单调递增区间为 (0, ) …………13 分 21. （Ⅰ）由题意得： 3 24 , 4, 2a a a a   ………… 2分 又椭圆 C 过 3(1, )2 点， 2 2 3 1 2+ 14 b   （ ） …………3分 2 3b  ………… 5分 椭圆 C 的方程为 2 2 14 3 x y  ………… 6分 （Ⅱ） 21, : 3c l y x   设 1 1 2 2, ), ( , ), ( , 3)M x y N x y P t t （ 则直线 1 1: 14 3MP x x y yl   ………… 7分 直线 2 2: 14 3PN x x y yl   …………8分 又 , 3)P t t （ 在上述两切线上， 1 1( 3) 14 3 x t y t    ， 2 2 ( 3) 14 3 x t y t   直线 : ( 3) 14 3MN tx t yl   …………10分 即： (3 4 ) 12 12 0x y t y    由 3 4 0 12 12 0 x y y      得 4 3 1 x y      直线 MN 过定点，且定点坐标为 4( , 1)3  …13分