文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分
钟.
第 I 卷(选择题 共 50 分)
PE PF 的取值范围是（ ）
( A ) 0,15 ( B ) 5,15
(C ) 5,21 ( D ) 5,21
第 II 卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.
11．已知直线 1 : 2 6 0l ax y ， 2
2 : 1 1 0l x a y a ，若 1 2l l ，则 a ＿＿。
12.已知 0a , 0b ,且点 ,a b 在直线 2x y 上，则 2 2a b 的最小值为＿＿.
13.设 1m ,在约束条件
1
y x
y mx
x y
下,目标函数 z x my 的最大值等于 2 ,则 m ＿＿.
14.已知 1sin cos 2
, 0, ,则 tan ＿＿.
15.若函数 2 1f x x a x 在 0, 上单调递增,则实数 a 的取值范围是＿＿.
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指
定区域内.
16(本小题满分 12 分)
设向量 3sin2 ,sin 4a x
， 3cos , cos24b x
， f x a b 。
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）求 f x 在区间 0, 上的单调递减区间.
18(本小题满分 12 分)
设为 ABC 的内角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、 c ,且 2 cos 2a C b c .
(1)求角 A 的大小;
(2)若 1a ,求 b c 的取值范围.
19(本小题满分 13 分)
已知函数 lnf x x ax ,其中 0a .
(1)当 1a 时,求 f x 在 1,e 上的最大值;
(2)若1 x e 时,函数 f x 的最大值为 4 ,求函数 f x 的表达式;
20(本小题满分 13 分)
已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a ， 1 2 1n na S n N
.
(1)求数列 na 的通项公式;
(2)求数列 2 1
n
n
a
的前 n 项和 nT .
21(本小题满分 13 分)新*课*标*第*一*网
已知椭圆
2 2
2 2: 1x yC a ba b
经过点 0,1 ,离心率为 3
2 .
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设直线 : 1l x my 与椭圆C 交于 A 、B ,点 A 关于 x 轴的对称点 A ( A与 B 不重合),则直线 A B 与
x 轴是否交于一定点?若是,请写出定点坐标,并证明你的结论;若不是,请说明理由.
文科数学参考答案
1. C 2. A 3. D 4. C 5. C 6. C 7. A 8. D 9. D 10. C
11. 2
3
12. 4 13. 1 2 14. 4 7
3
15. 0,2
9. 令 4, 3 2
2
x x xg x x
或 ,作出 y g x 的图象,当直线 y k 与曲线
y g x 有三个交 点时, k 的取值范围是 2,1 .
10. PE PF PN NE PN NF PN NE PN NE 2
PN 2
NE
2
4PN .因为 a c PN a c ,即 3 5PN ,所以 PE PF 的范围是 5,21 .
14. 对 1sin cos 2
平方得 32sin cos 4
.由 0, 知 0, 2
.因为
2 3 7sin cos 1 2sin cos 1 4 4
,所以sin cos 7
2
.由sin cos
1
2
和sin cos 7
2
解得sin = 7 1
4
, cos 7 1
4
,所以 tan 4 7
3
15.
2
2
, 1,
, ,1
x ax a x
f x
x ax a x
, 1,x 时, f x 2x ax a =
2
2
ax
2
4
aa , ,1x 时, f x 2x ax a =
2 2
2 4
a ax a
.①当 12
a 即 a 时, f x 在
2
a
上单调递减,在 ,2
a
上单调递增,不合题意;②当 0 12
a 即 0 2a 时,符合题意;③当
02
a 即 0a 时,不符合题意.综上, a 的取值范围是 0,2 .
（2）由 3 32 2 22 4 2k x k ，得 5 9
8 8k x k ，k∈Z. 又0 x ,因此 f x 在
区间 0, 上的单调递减区间为 0, 8
, 5 ,8
.（12 分）
17.(1)因为 1a 、 2a 、 4a 成等比数列,所以 2
1 1 1 3a d a a d ,整理得 1 2d a ,所以
1 1 2na a n d n .（5 分）
(2)因为 1 2 3
2 32 1 2 1 2 1 2 1
n
n n
b b b ba …①,所以 1
1 12 1n
ba
2
22 1
b
…
1
12 1
n
n
b
…②. ① ②得 na 1na
2 1
n
n
b
2n ,即 12 2 1 2 2n n
nb 2n ,当 1n 时,
1 6b 适合上式.所以 12 2 1 2 2n n
nb .（7 分）
18.(1)解法 1 由 2 cos 2a C b c 得 2sin cos 2sin sinA C B C .又 sin sinB A C
sin cos cos sinA C A C ,所以 2cos sinA C sinC .因为 sin 0C ,所以 1cos 2A ,又因为 0 A ,
所以
3A .（6 分）
解法 2由 2 cos 2a C b c 得
2 2 2
2 22
a b ca b cab
,即 2 2 2a b c bc ,又
2 2 2 2 cosa b c bc A ,所以 1cos 2A ,又因为 0 A ,所以
3A .（6 分）
(2)解法 1 由正弦定理得 sin 2 sinsin 3
a Bb BA
, 2 sin
3
c C . 2 sin sin
3
b c B C
2 2sin sin 33
B C
2sin 6B
.因为
3A ,所以 20, 3B
,
6B
5,6 6
,所以 1sin ,16 2B
.故b c 的取值范围是 1,2 .（12 分）
解法 2 由(1)及余弦定理得 2 2 1b c bc ,所以
2
2 1 3 1 3 2
b cb c bc
,
2b c ,又 1b c a .故 b c 的取值范围是 1,2 .（12 分）
19. 1f x ax
1 ax
x
.(1) 当 1a ,时, 1 xf x x
, 1,x e 时, 0f x ,
所以 f x 在 1,e 上单调递减,最大值为 1 1f .（5 分）
(2)因为 1f x ax
,所以 f x 在 10 a
上单调递增,在 1 ,a
上单调递减.
①当 10 a
,即 1a 时, max 1 4f x f ,解得 4a 符合题意;[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
②当 11 ea
,即 1 1ae
时, max
1 4f x f a
,解得 3 1a e (舍去);
③当 1 ea
,即 10 a e
时, max 4f x f e ,解得 5 1a e e
(舍去).
综上, ln 4f x x x .（13 分）
20.(1)因为 1 2 1n na S n N
,所以 12 1 2n na S n ,两式相减得 1 3n na a
2n .由 1 2 1n na S 得 2 12 1 3a a ,所以 2 13a a .因此数列 na 是首项为1,公比为 3 的等比数列,
13n
na ;（6 分）
(2) 因 为 0 2 1
3 5 2 1 2 1
3 3 3 3n n n
n nT
, 所 以 2 1
1 3 5 2 1 2 1
3 3 3 3 3n n n
n nT
, 两 式 相 减 得
2 1
2 1 1 1 2 13 23 3 3 3 3n n n
nT
2 44 3n
n ,所以 1
26 3n n
nT
.
（13 分）
21.(1)由题意得
2 2 2
1
3
2
b
c
a
a b c
,解得 2a ,所以椭圆C 的方程为
2
2 14
x y .（5 分）
由
2
2 14
1
x y
x my
消去 x 得 2 21 4 4my y ,即 2 24 2 3 0m y my .设 1 1,A x y ,
2 2,B x y ,则 1 1,A x y ,且 1 2 2
2
4
my y m
, 1 2 2
3
4y y m
.经过 1 1,A x y ,
2 2,B x y 的直线方程为 1 2
1 1
2 1
y yy y x xx x
,令 0y ,则 1 2 2 1
1 2
y x y xx y y
.又因为
1 1 1x my , 2 2 1x my ,所以 1 2 2 1
1 2
1 1y my y myx y y
1 2 1 2
1 2
2my y y y
y y
2 2
2
6 2
4 4 42
4
m m
m m
m
m
.即直线 A B 与 x 轴交于一定点 4,0 .（13 分）
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