2015安庆五校高三3月联考数学（理）试题

理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分 钟.[来源:Z*xx*k.Com] 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1．若复数 ib ia 3  （ Rba , ）对应的点在虚轴上，则 ab 的值是 A. 15 B. 3 C. 3 D. 15 2．设抛物线 21 4y x 上的一点 P 到 x 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离为 A.3 B.4 C.5 D.6 3．下列命题是假命题的是 A. ,a b R  ， lg( ) lg lga b a b   B. R  ，使得函数 ( ) sin(2 )f x x   是偶函数 C. , R   ，使得 cos( ) cos cos      D. m R  ，使 2 4 3( ) ( 1) m mf x m x     是幂函数，且在 (0, ) 上递减 4．设函数 ( ) sin cosf x x x x  的图像在点 ( , ( ))t f t 处切线的斜率为 k ，则函数 ( )k g t 的部分图像 为 5．由直线 xyexy 2,,0  及曲线 xy 2 所围成的封闭的图形的面积为 A. 2ln23  B. 3 C. 32 2 e D. e 6．已知函数 ( ) | lg |f x x ， 0a b  ， ( ) ( )f a f b ，则 2 2a b a b   的最小值等于 A. 2 2 B. 5 C. 2 3 D. 2 3 7．已知数列{ }na 是等差数列， 1 tan225a   ， 5 113a a ，设 nS 为数列{( 1) }n na 的前 n 项和，则 2015S  A. 2015 B. 2015 C. 3024 D. 3022 8．已知 a 、 b 为平面向量，若 a b 与 a 的夹角为 3  ， a b 与 b 的夹角为 4  ，则 | | | | a b A. 3 3 B. 6 4 C. 5 3 D. 6 3 9．已知 1F 、 2F 是双曲线 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0a b  )的左、右焦点，点 1F 关于渐近线的对称点恰好 落在以 2F 为圆心， 2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 10．定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 1( 2) ( )2f x f x  ，当 [0,2)x 时， 2 31 | |2 1 2 ,0 1,2( ) 2 ,1 2. x x x f x x           函数 3 2( ) 3g x x x m   ．若 [ 4, 2)s    ， [ 4, 2)t    ，不等式 ( ) ( ) 0f s g t  成立，则实数 m 的取值 范围是 A. ( , 12]  B. ( , 4]  C. ( ,8] D. 31( , ]2  第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11 ． 已 知 直 线 1 : 2 6 0l ax y   ，   2 2 : 1 1 0l x a y a     ， 若 1 2l l ， 则 a  ________． 12．设 1m  ,在约束条件 1 y x y mx x y       下,目标函数 z x my  的最大值等于 2 ,则 m  _________． 13．执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为 ． 14．已知定义在 R 上的奇函数 ( )f x ，当 0x  时， 3( ) log ( 1) f x x ．若关于 x 的不等式 2[ ( 2)] (2 2 )f x a a f ax x    的解集为 A ，函数 ( )f x 在[ 8,8] 上 的值域为 B ，若“ x A ”是“ x B ”的充分不必要条件，则实数 a 的 取值范围是 ． 15．已知曲线C ： 2 2y x a  在点 nP ( , 2 )n n a （ 0,a n N ）处的切线 nl 的斜率为 nk ，直线 nl 交 x 轴， y 轴分别于点 ( ,0)n nA x ， (0, )n nB y ，且 0 0x y ．给出以下结论： ① 1a  ； ②当 *nN 时， ny 的最小值为 5 4 ； ③当 *nN 时， 12 sin 2 1nk n   ； ④当 *n N 时，记数列{ }nk 的前 n 项和为 nS ，则 2( 1 1)  nS n ． 其中，正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) sin (2cos sin ) cosf x x x x x    ． (Ⅰ)讨论函数 ( )f x 在[0, ] 上的单调性； (Ⅱ)设 4 2    ，且 5 2( ) 13f    ，求 sin 2 的值． 17.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A B C、 、 所对的边分别为 a b c、 、 ，已知 sin3 cos a c CA  ， （Ⅰ）求 A 的大小； （Ⅱ）若 6a ，求b c 的取值范围. 19.（本小题满分 13 分） 设各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 2 1 4 4 1, ,n na S n n N       且 2 5 14, ,a a a 恰 好是等比数列 nb 的前三项． （Ⅰ）求数列 na 、 nb 的通项公式； （Ⅱ）记数列 nb 的前n 项和为 nT ,若对任意的 *n N ， 3( ) 3 62nT k n   恒成立，求实 数 k 的取值范围． 20.（本小题满分 13 分） 已知椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的焦距为 2 3 ，且经过点 3(1, )2 ． (Ⅰ)求椭圆 E 的方程； (Ⅱ) A是椭圆 E 与 y 轴正半轴的交点, 椭圆 E 上是否存在两点 M 、 N ，使得 AMN 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分 13 分）[来源:Z,xx,k.Com] 已知函数 ( ) exf x ax a   （其中 aR ， e 是自然对数的底数， 2.71828e   ）． (Ⅰ)当 a e 时，求函数 ( )f x 的极值； (Ⅱ)若 ( ) 0f x  恒成立，求实数 a 的取值范围； (Ⅲ)求证：对任意正整数 n，都有 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 e n n      ． 1-5：BCABB 6-10:ADDCC 11． 4 3 12．1 2 13． 3 14． 2 0a   15．①③④ 16.（本小题满分 12 分） 解析：(Ⅰ) 2 2( ) sin 2 sin cosf x x x x   sin 2 cos2x x  2 sin(2 )4x   ，········· 2 分 由 [0, ]x  得 92 [ , ]4 4 4x     ， 当 2 [ , ]4 4 2x     即 [0, ]8x  时， ( )f x 递增； 当 32 [ , ]4 2 2x     即 5[ , ]8 8x   时， ( )f x 递减； 当 3 92 [ , ]4 2 4x     即 5[ , ]8x   时， ( )f x 递增． 综上，函数 ( )f x 在区间[0, ]8  、 5[ , ]8   上递增，在区间 5[ , ]8 8   上递减．·········· 6 分 (Ⅱ)由 5 2( ) 13f    ，即 5 22 sin(2 )4 13     ，得 5sin(2 )4 13     ，············7 分 因为 4 2    ，所以 3 524 4 4      ，可得 12cos(2 )4 13     ，·················· 9 分 则 sin 2 sin[(2 ) ]4 4     2 2sin(2 ) cos(2 )2 4 2 4       ························· 11 分 2 5 2 12 7 2( ) ( )2 13 2 13 26        ．···································································12 分 18.（本小题满分 12 分） [来源:学#科#网 Z#X#X#K] 19（本小题满分 12 分） (Ⅱ) 1 1 (1 ) 3(1 3 ) 3 3 1 1 3 2 n n n n b qT q       ， 13 3 3( ) 3 62 2 n k n      对 *n N 恒成立， 2 4 3n nk   对 *n N 恒成立，----9 分， 20.（本小题满分 13 分） (Ⅰ)由题 2 2 2 2 3, 1 3 1,4 a b a b      解得 2 4a  ， 2 1b  ． 所以椭圆Ω的方程为 2 2 14 x y  ．································································4 分 (Ⅱ)由题意可知，直角边 AM，AN 不可能垂直或平行于 x 轴，故可设 AM 所在直线的方程为 1y kx  ， 不妨设 0k  ，则直线 AN 所在的方程为 1 1y xk    ．···········································5 分 联立方程 2 2 1, 4 4, y kx x y      消去 y 整理得 2 2(1 4 ) 8 0k x kx   ，解得 2 8 1 4M kx k    ，··6 分 将 2 8 1 4M kx k    代入 1y kx  可得 2 2 8 11 4M ky k   ，故点 M 2 2 2 8 8( , 1)1 4 1 4 k k k k    . 所以 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 1( ) ( )1 4 1 4 1 4 k k k kAM k k k        ．·······································8 分 同理可得 2 2 8 1 4 kAN k   ，由 AM AN ，得 2 2(4 ) 1 4k k k   ，···················· 10 分 所以 3 24 4 1 0k k k    ，则 2( 1)( 3 1) 0k k k    ，解得 1k  或 3 5 2k  ．····· 12 分 当 AM 斜率 1k  时，AN 斜率 1 ；当 AM 斜率 3 5 2k  时，AN 斜率 3 5 2   ；当 AM 斜率 3 5 2k  时，AN 斜率 3 5 2   ． 综上所述，符合条件的三角形有 3个. ························································· 13 分 21.（本小题满分 13 分） 解析：(Ⅰ) 当 ea  时， ( ) e e exf x x   ， ( ) e exf x   ， 当 1x  时， ( ) 0f x  ；当 1x  时， ( ) 0f x  ． 所以函数 ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减，在 (1, ) 上单调递增， 所以函数 ( )f x 在 1x  处取得极小值 (1) ef   ，函数 ( )f x 无极大值．·················3 分 (Ⅱ)由 ( ) exf x ax a   ， ( ) exf x a   ， 若 0a  ，则 ( ) 0f x  ，函数 ( )f x 单调递增，当 x 趋近于负无穷大时， ( )f x 趋近于负无穷大；当 x 趋 近于正无穷大时， ( )f x 趋近于正无穷大，故函数 ( )f x 存在唯一零点 0x ，当 0x x 时， ( ) 0f x  ；当 0x x 时， ( ) 0f x  ．故 0a  不满足条件．······································································ 5 分 若 0a  ， ( ) e 0xf x   恒成立，满足条件．··················································6 分 若 0a  ，由 ( ) 0f x  ，得 lnx a ，当 lnx a 时， ( ) 0f x  ；当 lnx a 时， ( ) 0f x  ，所以函数 ( )f x 在 ( ,ln )a 上 单 调 递 减 ， 在 (ln , )a  上 单 调 递 增 ， 所 以 函 数 ( )f x 在 lnx a 处 取 得 极 小 值 (ln )f a lne ln lna a a a a a       ，由 (ln ) 0f a  得 ln 0a a   ，解得 0 1a  ． 综上，满足 ( ) 0f x  恒成立时实数 a 的取值范围是[0,1] ．································ 8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，当 1a  时， ( ) 0f x  恒成立，所以 ( ) e 1 0xf x x    恒成立， 即 e 1x x  ，所以 ln( 1)x x  ，·······································································9 分 令 1 2nx  ( *nN )，得 1 1ln(1 )2 2n n  ，·························································10 分 则有 2 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln(1 )2 2 2 n      2 1 1[1 ( ) ]1 1 1 12 2 1 ( ) 112 2 2 21 2 n n n            ，…………11 分 所以 2 1 1 1(1 )(1 ) (1 ) e2 2 2n      ， 所以 2 1 1 1 1 1 e(1 )(1 ) (1 )2 2 2 n       ，即 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 e n n      ．·················13 分