2012年浙江高考自选模块数学试卷及答案

2012 年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（文史类） 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分） 1、计算： 3 1 i i   （i 为虚数单位） 2、若集合  2 1 0A x x   ，  1B x x  ，则 A B ＝ 3、函数 sin 2( ) 1 cos xf x x   的最小正周期是 4、若 (2,1)d  是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角 函数值表示） 5、一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2 ，该圆柱的表面积为 6、方程 14 2 3 0x x   的解是 7、有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、1 2 为公比的等比数列，体积分别记为 1 2, ,..., ,...nV V V ， 则 1 2lim( ... )nn V V V     8、在 61x x     的二项式展开式中，常数项等于 9、已知 ( )y f x 是奇函数，若 ( ) ( ) 2g x f x  且 (1) 1g  ，则 ( 1)g   10、满足约束条件 2 2x y  的目标函数 z y x  的最小值是 11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两人 选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示） 12、在矩形 ABCD 中，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上 的点，且满足 BM CN BC CD      ，则 AM AN  的取值范围是 13、已知函数 ( )y f x 的图像是折线段 ABC ，其中 (0,0)A 、 1( ,1)2B 、 (1,0)C ，函数 ( )y xf x （ 0 1x  ）的图像与 x 轴围成的图形的面积为 14 、已知 1( ) 1f x x   ，各项均为正数的数列 na 满足 1 1a  ， 2 ( )n na f a  ，若 2010 2012a a ，则 20 11a a 的值是 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分） 15、若1 2 i 是关于 x 的实系数方程 2 0x bx c   的一个复数根，则（ ） A、 2, 3b c  B、 2, 1b c   C、 2, 1b c    D、 2, 3b c   16、对于常数 m 、 n ，“ 0mn  ”是“方程 2 2 1mx ny  的曲线是椭圆”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 17、在△ ABC 中，若 2 2 2sin sin sinA B C  ，则△ ABC 的形状是（ ） A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 18、若 2sin sin ... sin7 7 7n nS       （ n N  ），则在 1 2 100, ,...,S S S 中，正数的个数是 （ ） A、16 B、72 C、86 D、100 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分） 19、（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分 如图，在三棱锥 P ABC 中，PA ⊥底面 ABC ，D 是 PC 的中点，已知∠ BAC ＝ 2  ， 2AB  ， 2 3AC  ， 2PA  ，求： （1）三棱锥 P ABC 的体积 （2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） P A D B C 20、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知 ( ) lg( 1)f x x  （1）若 0 (1 2 ) ( ) 1f x f x    ，求 x 的取值范围 （2）若 ( )g x 是以 2 为周期的偶函数，且当 0 1x  时， ( ) ( )g x f x ，求函数 ( )y g x （  1,2x ）的反函数 21、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向 建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处， 如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 212 49y x ；②定位后救援船即刻沿直线 匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t （1）当 0.5t  时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度 的大小和方向 （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ y P O x A 22、（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 2: 2 1C x y  （1）设 F 是C 的左焦点， M 是C 右支上一点，若 2 2MF  ，求点 M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为 k （ 2k  ）的直线l 交 C 于 P 、 Q 两点，若 l 与圆 2 2 1x y  相切，求 证： OP ⊥OQ 23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分 对于项数为 m 的有穷数列  na ，记  1 2max , ,...,k kb a a a （ 1,2,...,k m ），即 kb 为 1 2, ,..., ka a a 中的最大值，并称数列 nb 是 na 的控制数列，如 1，3，2，5，5 的控制数列 是 1，3，3，5，5 （1）若各项均为正整数的数列 na 的控制数列为 2，3，4，5，5，写出所有的 na （2）设 nb 是 na 的控制数列，满足 1k m ka b C   （C 为常数， 1,2,...,k m ），求证： k kb a （ 1,2,...,k m ） （3）设 100m  ，常数 1 ,12a     ，若 ( 1) 2 2( 1) n n na an n     ， nb 是 na 的控制数列， 求 1 1 2 2( ) ( )b a b a    100 100... ( )b a 